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1、第一部分第一部分 教材知识梳理教材知识梳理第三章第三章 函数函数第五节第五节 二次函数的应用二次函数的应用中招考点清单中招考点清单考点一考点一 二次函数的实际应用二次函数的实际应用 1. 解题步骤：解题步骤： （1）先分析问题中的数量关系，列出函数）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；关系式； （2）研究自变量的取值范围；）研究自变量的取值范围； （3）研究所得的函数；）研究所得的函数； （4）检验）检验x的取值是否在自变量的取值范围的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；内，并求相关的值； （5）解决提出的实际问题）解决提出的实际问题. 2. 主要考查方向有：主要考查方向有： （1
2、）和实际生活相结合的最大（小）值问）和实际生活相结合的最大（小）值问题；题； （2）结合动点计算几何图形的长度和面积）结合动点计算几何图形的长度和面积的考题；的考题； （3）和其他函数相结合的考题；）和其他函数相结合的考题； （4）其他类型）其他类型. 【温馨提示温馨提示】二次函数应用关键在于建立二次函数应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意解题意. .利用二次函数解决实际问题，应用最利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最多的是根据二次函数的最值确定最大利润，最节省方案等问题节省方案等问题. .考
3、点二考点二 二次函数与几何图形的综合二次函数与几何图形的综合（高频考高频考点点） 【考情总结考情总结】近近7年每年必考，且均在解答年每年必考，且均在解答题的第题的第23题考查，常与三角形或四边形及动点题考查，常与三角形或四边形及动点结合，涉及分类讨论思想结合，涉及分类讨论思想.2008年是以一次函数年是以一次函数为背景考查，但涉及到列二次函数关系式及二为背景考查，但涉及到列二次函数关系式及二次函数求最值的问题次函数求最值的问题. 函数与几何知识的综合应用题型很多，最函数与几何知识的综合应用题型很多，最常见的类型有存在性问题、动点问题、动手操常见的类型有存在性问题、动点问题、动手操作问题，涉及的
4、内容有方程、函数、等腰三角作问题，涉及的内容有方程、函数、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、特殊的平行四边形等多种知识特殊的平行四边形等多种知识.解决这类综合应解决这类综合应用问题，关键是要善于借助题中所隐含的数形用问题，关键是要善于借助题中所隐含的数形结合、转化、方程等重要的数学思想建立函数结合、转化、方程等重要的数学思想建立函数模型模型.通常情况下，它们的应对策略如下：通常情况下，它们的应对策略如下： 1. 对存在性问题：注意灵活运用数形结合对存在性问题：注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在，然后再借助已知条件求思想，可先假设存在，然
5、后再借助已知条件求解，如果有解（求出的结果符合题目要求），解，如果有解（求出的结果符合题目要求），则假设成立，即存在；如果无解（推出矛盾或则假设成立，即存在；如果无解（推出矛盾或求出的结果不符合题目要求），则假设不成立，求出的结果不符合题目要求），则假设不成立，即不存在即不存在. 2. 对动点问题：通常利用数形结合、分类和对动点问题：通常利用数形结合、分类和转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过转化思想，借助图形，切实把握图形运动的全过程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然程，动中取静，选取某一时刻作为研究对象，然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解后根据题意建立方程模型或者函数模型
6、求解. 3. 对于特殊图形判断题对于特殊图形判断题:首先把握特殊图形首先把握特殊图形的特点，如等腰三角形按三边分别相等分的特点，如等腰三角形按三边分别相等分 类；类；直角三角形按三个内角分别为直角进行分类，再直角三角形按三个内角分别为直角进行分类，再代入函数关系式中，利用方程思想来求解代入函数关系式中，利用方程思想来求解.失分点失分点8 8 用坐标表示线段长不注意取绝对值用坐标表示线段长不注意取绝对值 由于线段长恒为非负数，学生在利用两由于线段长恒为非负数，学生在利用两点坐标相减时不取绝对值造成失分点坐标相减时不取绝对值造成失分. 1. 若线段平行若线段平行y轴，则线段的长即上端点轴，则线段的
7、长即上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；的纵坐标减去下端点的纵坐标； 2. 若线段平行若线段平行x轴，则线段的长即右端点轴，则线段的长即右端点的横坐标减去左端点的横坐标；的横坐标减去左端点的横坐标； 3. x轴上的动点与轴上的动点与x轴上一个定点之间的轴上一个定点之间的距离，把动点的横坐标减去定点的横坐标，距离，把动点的横坐标减去定点的横坐标，再放进绝对值中，然后按动点在定点左或者再放进绝对值中，然后按动点在定点左或者右分类讨论右分类讨论.常考类型剖析常考类型剖析类型一类型一 二次函数实际应用题二次函数实际应用题 例例1 1（1414常州常州）某小商场以每件）某小商场以每件20元的价元的价格购进
8、一种服装，先试销一周，试销期间每天格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量的销量t(件件)与每件的销售价与每件的销售价x(元元/件件)如下表所示：如下表所示：x(元元/件件)38363432302826t(件件)481216202428假定试销中每天的销售量假定试销中每天的销售量t(件件)与销售价与销售价x(元元/件件)之间满足一次函数之间满足一次函数. （1）试求）试求t与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式； 【思路分析思路分析】根据表格中的对应值，运用根据表格中的对应值，运用待定系数法求出一次函数的解析式待定系数法求出一次函数的解析式. 解解：设：设t与与x之间的函数关系式为：之
9、间的函数关系式为：t=kx+b,因为其经过因为其经过(38,4)和和(36,8)两点，两点， , 解得：解得： , 故故y=-2x+80.4=38k+b8=36k+bk=-2b=80 （2）在商品不积压且不考虑其他因素的）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润的毛利润=每件服装的销售价每件服装的销售价-每件服装的进货每件服装的进货价）价） 【思路分析思路分析
10、】根据题意列出函数关系式，根据题意列出函数关系式，运用二次函数的最值解决问题运用二次函数的最值解决问题. . 解解：设每天的毛利润为：设每天的毛利润为w元，每件衣服销元，每件衣服销售的毛利润为售的毛利润为(x-20)元，每天售出元，每天售出(80-2x)件，件，则则w=(x-20)(80-2x)=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200，当，当x=30时，获得的毛利润最大，最时，获得的毛利润最大，最大毛利润为大毛利润为200元元. 【方法指导方法指导】对于二次函数的实际应用的对于二次函数的实际应用的题目，通常的方法是根据题中数量间的相等关题目，通常的方法是根据题中数量间的相等关
11、系列出函数关系式，即建立二次函数模型，然系列出函数关系式，即建立二次函数模型，然后运用二次函数的性质解决问题后运用二次函数的性质解决问题. .类型二类型二 二次函数与几何图形结合问题二次函数与几何图形结合问题 例例2 2（1414昆明昆明）如图，在平面直角坐标系）如图，在平面直角坐标系中，抛物线中，抛物线y=ax2+bx-3(a0)与与x轴交于点轴交于点A（-2，0）、）、B（4, 0）两点，与）两点，与y轴交于点轴交于点C. （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； 【思路分析思路分析】用待定系数法求出抛物线用待定系数法求出抛物线的解析式，把点的解析式，把点A、B代入抛物线解析式联立代入
12、抛物线解析式联立方程组，求出系数方程组，求出系数a、b,即可求出抛物线的解析即可求出抛物线的解析式式. 解解：把：把A(-2，0)，B(4,0)代入代入y=ax2+bx-3，得得 ，解得，解得 ， 抛物线的解析式为抛物线的解析式为y= x2 x-3.4a-2b-3=016a+4b-3=0a=b= （2）点）点P从从A点出发，在线段点出发，在线段AB上以每秒上以每秒3个单位长度的速度向个单位长度的速度向B点运动，同时点点运动，同时点Q从从B点点出发，在线段出发，在线段BC上以每秒上以每秒1个单位长度的速度个单位长度的速度向向C点运动点运动.其中一个点到达终点时，另一个点其中一个点到达终点时，另一
13、个点也停止运动也停止运动.当当PBQ存在时，求运动多少秒存在时，求运动多少秒使使PBQ的面积最大，最大面积是多少？的面积最大，最大面积是多少？ 【思路分析思路分析】求这个三角形的面积，首先求这个三角形的面积，首先想到的是用三角形面积的基本公式，作想到的是用三角形面积的基本公式，作PB边边上的高上的高QH，然后证，然后证BHQBOC，利用相，利用相似三角形的性质求出高似三角形的性质求出高.当当PBQ存在时，设存在时，设运动时间为运动时间为t秒，用秒，用t表示出表示出SPBQ的面积，得到的面积，得到一元二次函数的解析式，当一元二次函数的解析式，当t = 时，时，SPBQ最大最大. 解解：设运动时间
14、为：设运动时间为t秒，秒， 则则AP=3t,BQ=t， PB=6-3t. 由题意得，由题意得，C点坐标点坐标为为(0,-3)， 在在RtBOC中，中， BC = =5， 如解图如解图，过，过Q点作点作QHAB,垂足为垂足为H， QHCO,H例例2题解图题解图 BHQBOC， ， ，HQ= t， SPBQ = PBQH= (6-3t) t= . 当当PBQ存在时，存在时，0t2，当当 时，时，SPBQ最大最大SPBQ最大最大=当运动时间为当运动时间为1秒时，秒时，PBQ面积最大，最大面积最大，最大面积为面积为 . （3）当）当PBQ的面积最大时，在的面积最大时，在BC下方下方的抛物线上存在点的抛
15、物线上存在点K，使，使SCBK SPBQ=5 2,求求K点坐标点坐标. 【思路分析思路分析】如解图如解图，过点，过点K作作KEy轴，轴，交交BC于点于点E，求，求BCK的面积最简单的方法是的面积最简单的方法是用含用含EK的代数式来表示三角形的面积的代数式来表示三角形的面积.设设点点K的坐标的坐标(m, )，即可得到，即可得到EK与与m的关系，再由的关系，再由SCBK=SCEK+SBEK可求出点可求出点K的坐标的坐标. 解解：设直线：设直线BC的解析式为的解析式为y=kx+c(k0), 把把B(4,0),C(0,-3)代入代入y=kx+c得得 ,解得解得 , 直线直线BC的解析式为的解析式为y=
16、 x-3， 点点K在抛物线上，在抛物线上，4k+c=0c=-3k=c=-3 设设K点坐标为点坐标为(m, )（0m4）, 过点过点K作作KEy轴，交轴，交BC于点于点E，如解图，如解图,则则E点坐标为点坐标为(m, m-3), EK= m-3-( )= . 当当PBQ的面积最大时，的面积最大时， SCBK SPBQ=5 2,SPBQ = , SCBK = , 又又SCBK =SCEK +SBEK= EKm+ EK(4-m)= 4EK=2( )=- m2+3m, - m2+3m= , 解得：解得：m1=1,m2=3, K1(1, - ),K2(3, - ). 【方法指导方法指导】探究最值的存在性
17、问题的基探究最值的存在性问题的基本步骤：本步骤： 第一步第一步：首先要确定所求三角形或四边形：首先要确定所求三角形或四边形面积最值，可设动点运动的时间面积最值，可设动点运动的时间t或动点的坐或动点的坐标（标（t,at2+bt+c）；）； 第二步第二步：(1)求三角形面积最值时要用含求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高，此时就应先的代数式表示出三角形的底和高，此时就应先证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似，从而求得用含三角形相似，从而求得用含t的代数式表示的的代数式表示的底和高；（底和高；（2）求四边形的面积最值时，常用）求
18、四边形的面积最值时，常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方法求得用含形，从而利用三角形的方法求得用含t的代数的代数式表示的线段；式表示的线段； 第三步第三步：用含有未知数的代数式表示出图：用含有未知数的代数式表示出图形面积；形面积； 第四步第四步：用二次函数的知识来求最大值或：用二次函数的知识来求最大值或者最小值者最小值. 拓展题拓展题 如图，二次函数如图，二次函数y= x2+bx-的图象与的图象与x轴交于点轴交于点A（-3，0）和点）和点B，以，以AB为边在为边在x轴上方作正方形轴上方作正方形ABCD，点，点P是是x轴上轴上
19、一动点，连接一动点，连接DP，过点，过点P作作DP的垂线与的垂线与y轴交轴交于点于点E. （1）求）求b，并直接写出点，并直接写出点D的坐标：的坐标：_； （2）当点）当点P在线段在线段AO（点（点P不与不与A、O重合）重合）上运动至何处时，线段上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求的长有最大值，求出这个最大值；出这个最大值； （3）是否存在这样的点）是否存在这样的点P，使，使PED是等是等腰三角形？若存在，请求出点腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时的坐标及此时PED与正方形与正方形ABCD重叠部分的面积；若不重叠部分的面积；若不存在，请说明理由存在，请说明理由.D（-3,4) 【思路
20、分析思路分析】 （1）利用待定系数法求出）利用待定系数法求出二次函数的表达式，令二次函数的表达式，令y=0,求出点求出点B的坐标，的坐标，则则AB即为正方形的边长，则可确定点即为正方形的边长，则可确定点D的坐标的坐标；（；（2）利用）利用DAPPOE，求出线段，求出线段OE与与t的二次函数，再利用配方法化成顶点式，最的二次函数，再利用配方法化成顶点式，最后确定后确定OE的最大值；（的最大值；（3）分两种情况进行讨）分两种情况进行讨论：论：当当P点在点在y轴左侧；轴左侧；当当P点在点在y轴右侧轴右侧. 解解：（：（1）b=1,D（-3,4); 【解法提示解法提示】将点将点A（-3,0）代入二次函
21、数）代入二次函数y= x2+bx- 得得 9-3b- =0，解得，解得b=1.则则二次函数解析式为二次函数解析式为y= x2+x- ，令，令y=0，得，得 x2+x- =0，解得，解得x1=-3,x2=1，则点，则点B坐标为坐标为（1,0），即正方形），即正方形ABCD的边长为的边长为4，所以点，所以点D的坐标为（的坐标为（-3,4）. 解解： （2）设）设PA=t，OE=l. 由由DAP=POE=DPE=90， 得得DAPPOE， , , l= , 当当t= 时，时，l有最大值为有最大值为 ，即，即P为为OA中点时，中点时，OE的最大值为的最大值为 . 解解： （3）存在）存在. 当当P点在
22、点在y轴左侧时，如解图轴左侧时，如解图，P点的点的坐标为（坐标为（-4,0），）， 由由DAPPOE得得 OE=PA=1,OP=OA+PA=4. ADGOEG， AG GO=AD OE=4 1 AG= AO= 重叠部分的面积重叠部分的面积= 4 = ； 当当P点在点在y轴右侧时，轴右侧时，P点的坐标为（点的坐标为（4,0）. （仿照（仿照的步骤）此时重叠部分的面积为的步骤）此时重叠部分的面积为 .第第3题解图题解图 【方法指导方法指导】此题是一个难度适中的动点此题是一个难度适中的动点问题，在给出动态的运动情况时，首先根据条问题，在给出动态的运动情况时，首先根据条件找出运动过程中有可能出现的几种
23、情况，采件找出运动过程中有可能出现的几种情况，采用用“以静制动以静制动”的方法，将动态问题静止化的方法，将动态问题静止化然后寻找各量与变量之间的关系动态中线段然后寻找各量与变量之间的关系动态中线段的长常常与特殊点的横、纵坐标联系在一起的长常常与特殊点的横、纵坐标联系在一起 （1）会用待定系数法求函数解析式；）会用待定系数法求函数解析式；（2）利用）利用“数形结合数形结合”的思想，按照的思想，按照解析式解析式坐标坐标距离（线段长度）距离（线段长度）几何图形性质及几何图形性质及应用应用的思路思考；（的思路思考；（3）在运动中求最大值或）在运动中求最大值或最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最小值时，通常可以考虑将问题转化为函数的最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函最值讨论问题，利用二次函数的顶点坐标或函数取值范围解决；对于数形结合的思想的应用数取值范围解决；对于数形结合的思想的应用要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提要注意几何图形的性质为相应的函数或方程提供的供的
