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1、第第4 4课时课时 三角形的高线三角形的高线4.1 4.1 认识三角形认识三角形 大竹县石桥铺中学大竹县石桥铺中学 汤家华汤家华1.什么是三角形的中线？什么是三角形的角平分线？什么是三角形的中线？什么是三角形的角平分线？2.三角形的三条中线、角平分线相交于一点吗？三角形的三条中线、角平分线相交于一点吗？这一交点在三角形的内部还是外部？这一交点在三角形的内部还是外部？复复习习回回顾顾1知识点知识点三角形的高三角形的高 你能过三角形的一个顶点，你能画出它的你能过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗对边的垂线吗?BAC你还记得你还记得 “过一点画已知直线的垂线过一点画已知直线的垂线” 吗吗?
2、从三角形的一个顶点向它从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线的对边所在直线作垂线，顶点顶点和垂足之间的线段叫做三角形和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高这边上的高，简称三角形的高. .如图所示如图所示. .ABCD如图如图, 线段线段AD是是BC边上的高边上的高.ABC注意：注意：标明垂直的记号和垂足标明垂直的记号和垂足的字母的字母.D锐角三角形的三条高锐角三角形的三条高每人每人画一个锐角三角形画一个锐角三角形.(1) 你能画出这你能画出这个三角形的三条高吗个三角形的三条高吗?(2) 这三条高之间有怎样的位置关系？这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流将你的
3、结果与同伴进行交流.O锐角三角形的三条高是锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部在三角形的内部还是外部?ABCDEF锐角三角形的三条高交于同一点锐角三角形的三条高交于同一点.锐角三角形的三条高都在三角形的内部锐角三角形的三条高都在三角形的内部.直角三角形的三条高直角三角形的三条高在纸上画出一个直角三角形在纸上画出一个直角三角形.将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流. .A AB BC C(1)画出画出直角三角形的三条高直角三角形的三条高.直角边直角边BC边上的高是边上的高是_; AB直角边直角边AB边上的高是边上的高是_; ;CB(2)它们有怎样的位置关系？它们有怎样的位置关系
4、？D D斜边斜边AC边上的高是边上的高是_. BD直角三角形的三条高交于直角顶点直角三角形的三条高交于直角顶点.ABCDEF钝角三角形的三条高钝角三角形的三条高(1) 钝角三角形的三条高交于钝角三角形的三条高交于 一点吗？一点吗？(2)它们所在的直线交于一点吗？它们所在的直线交于一点吗？将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.钝角三角形的三条高不相交于钝角三角形的三条高不相交于一点一点.钝角三角形的三条高所在直线钝角三角形的三条高所在直线交于一点交于一点. 叫做三角形这边上的高叫做三角形这边上的高. .从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作
5、垂线，顶点和垂足之间的线段顶点和垂足之间的线段总结总结三角形的三条高的特性：三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高所在的直线是否相交高之间是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量高在三角形内部的数量钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形锐角三角形锐角三角形311相交相交相交相交不相交不相交相交相交相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三条高所在直线的交点的位置三角形内部三角形内部直角顶点直角顶点三角形外部三角形外部例例1 动手操作题，易错题动手操作题，易错题 画画出下图中出下图中ABC的三的三条高条高(要标明字母，不写画法要标明字母，不写画法)“作一边上的高作一边上的高”，即可看
6、成，即可看成“过过一点一点(这边所对角的顶点这边所对角的顶点)作已知直作已知直线线(这边所在的直线这边所在的直线)的垂线的垂线”按按照照“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”进进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意需注意AB，BC边上的高在三角形的外部，作高时边上的高在三角形的外部，作高时先延长先延长AB与与CB.如图所示如图所示解：解：总总 结结(1)作三角形的高时，找准作三角形的高时，找准顶点和对边顶点和对边是关键，作高是关键，作高的的步骤步骤就是就是“过一点作已知直线的垂线过一点作已知直线的垂线”的步骤的步骤：一一靠靠(
7、三角尺的一条直角边靠在要作高的边上三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、二二找找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点顶点)、三三画线画线(画垂线段画垂线段)，如，如图图.(2)注意：注意：高是线段，垂线是直线高是线段，垂线是直线知知1 1练练1如图，在如图，在ABC中，中，BC边上的高是边上的高是_；在；在BCE中，中，BE边上的高是边上的高是_；在；在ACD中，中，AC边上的高是边上的高是_AFCECD2 在在ABC中，正确画出中，正确画出AC边上的高的图形边上的高的图形 是是()C2【中考中考淄博淄博】如如图，图，ABC的面积为的面积为16，点，点
8、D是是BC边上一点边上一点，且，且BD BC，点，点G是是AB上一点，点上一点，点H在在ABC内部，且四边形内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中是平行四边形，则图中阴影部分的面积是阴影部分的面积是()A3B4C5 D6B知识点知识点三角形高的位置三角形高的位置做一做做一做每人准备一个锐角三角形纸片每人准备一个锐角三角形纸片.(1)你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方你能画出这个三角形的三条高吗？你能用折纸的方法得到它们吗法得到它们吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.议一议议一议在纸上画出一个直角三
9、角形和一个钝角三角形在纸上画出一个直角三角形和一个钝角三角形.(1)画画出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关出直角三角形的三条高，它们有怎样的位置关系系?(2)你你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗吗?(3)钝角三角形钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的的三条高交于一点吗？它们所在的直直线线交交于一点吗于一点吗? 将你的结果与同伴进行交流将你的结果与同伴进行交流.三角形的三条高所在的直线交于一点三角形的三条高所在的直线交于一点.归归 纳纳位置图例：位置图例：(1)三个角都是锐角的三角形：三条高都在三个角都是锐角的三角形：三条高都在三角形的
10、内部，其交点也在三角形的内三角形的内部，其交点也在三角形的内部部(如图如图)；(2)有一个直角的三角形：一条高在三角形有一个直角的三角形：一条高在三角形的内部，其余两条高在三角形边上；其的内部，其余两条高在三角形边上；其交点为直角顶点交点为直角顶点(如图如图)；(3)有一个钝角的三角形：一条高在三角形有一个钝角的三角形：一条高在三角形的内部，其余两条高在三角形的外部，的内部，其余两条高在三角形的外部，其所在直线的交点在三角形的外部其所在直线的交点在三角形的外部(如图如图)例例2 如图，如图，在在ABC中，中，BC边上的高边上的高AD4cm，BC4cm，AC5cm.(1)试求试求ABC的面积及的
11、面积及AC边上的高边上的高BE的长；的长；(2)试求试求AD BE的值的值利用三角形面积公式及面利用三角形面积公式及面积法求解积法求解导引：导引：(1)SABC BCAD 448(cm2)，因为因为SABC ACBE 5BE8(cm2)，所以所以BE cm.(2)AD BE4 解：解： 求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的思想高联想三角形的面积是解三角形问题中常用的思想方法之一，而用同一个三角形方法之一，而用同一个三角形不同不同的面积表达式建的面积表达式建立求线段长度的等量关系，是一种很重要的数学方立求线段长度
12、的等量关系，是一种很重要的数学方法：法：面积法面积法总总 结结例例3 如如图，图，已知已知ABC中，中，ABAC，DEAB，DFAC，BGAC.试试说明：说明：BGDEDF.要说明线段的和、差关系，需将它要说明线段的和、差关系，需将它们转化为三角形的高的和、差关系，们转化为三角形的高的和、差关系，再利用面积的和、差关系来解决再利用面积的和、差关系来解决其中只有其中只有BG是是ABC的高的高DE，DF要想成为高，很自然地联想要想成为高，很自然地联想到要连接到要连接AD.如图，连接如图，连接AD，因为，因为SABCSABDSADC，所以所以 ACBG ABDE ACDF.又因为又因为ABAC，所以
13、所以BGDEDF.解：解： “面积法面积法”是数学中很重要的方法，而在涉及垂是数学中很重要的方法，而在涉及垂直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的直的线段的关系时，常将线段的关系转化为面积的关系来解决关系来解决总总 结结1下图中，下图中，ABC的的BC边上的高画得对吗？边上的高画得对吗？若不对，请改正若不对，请改正. 解：解：(1)对对(2)不对改正如图不对改正如图(1)(2)2下列说法中正确的是下列说法中正确的是()A三角形的三条高都在三角形内三角形的三条高都在三角形内B直角三角形只有一条高直角三角形只有一条高C锐角三角形的三条高都在三角形内锐角三角形的三条高都在三角形内D三角形每一边上的高都小于其他两边三角形每一边上的高都小于其他两边C3下列结论：下列结论：三角形的角平分线、中线、高都三角形的角平分线、中线、高都是线段；是线段；直角三角形只有一条高；直角三角形只有一条高；三角形的中线可能在三角形外部；三角形的中线可能在三角形外部；三角形的高都在三角形内部三角形的高都在三角形内部其中正确的有其中正确的有()A1个个 B2个个 C3个个 D4个个A三角形三角形的高线：的高线：(1)定义；定义；(2)高线高线的的画法；画法；(3)三角形三角形的三条高线所在的直线相交于一点，的三条高线所在的直线相交于一点，这这 一点叫做一点叫做三角形的垂心三角形的垂心.1知识小结知识小结
