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1、第第6 6章章 非线性规划模型非线性规划模型 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法求解静态优化模型一般用微分法静静 态态 优优 化化 模模 型型6.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存
2、费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件，生产准备费件，生产准备费5000元，贮存费元，贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要要求求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。需求量、准备费、贮存费之间的关系。问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一
3、次，每次，每次100件，无贮存费，准备费件，无贮存费，准备费5000元。元。日需求日需求100件，准备费件，准备费5000元，贮存费每日每件元，贮存费每日每件1元。元。 10天生产一次天生产一次，每次，每次1000件，贮存费件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计9500元。元。 50天生产一次天生产一次，每次，每次5000件，贮存费件，贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费元，准备费5000元，总计元，总计127500元。元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用
4、最小吗天生产一次平均每天费用最小吗? ?每天费用每天费用5000元元 这是一个优化问题，关键在建立目标函数。这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短，产量小周期短，产量小 周期长，产量大周期长，产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少，准备费多贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模模 型型 假假 设设1. 产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数
5、r；2. 每次生产准备费为每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）天生产一次（周期）, 每次生产每次生产Q件，当贮存量件，当贮存量 为零时，为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；件产品立即到来（生产时间不计）；建建 模模 目目 的的设设 r, c1, c2 已知，求已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。使每天总费用的平均值最小。4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件，件，q
6、(0)=Q, q(t)以以需求速率需求速率r递减，递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用每天总费用平均每天总费用平均值（目标函数）值（目标函数）离散问题连续化离散问题连续化一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/2模型求解模型求解求求 T 使使模型分析模型分析模型应用模型应用c1=5000, c2=1，r=100T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答问题回答问题 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）每天需求量每天需求量 r，每次订货费，每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2 ，用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许
7、缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次天订货一次(周期周期), 每次订货每次订货Q件，当贮存量降到件，当贮存量降到零时，零时，Q件立即到货。件立即到货。允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时原模型假设：贮存量降到零时Q件件立即生产出来立即生产出来(或立即到货或立即到货)现假设：允许缺货现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补
8、足缺货需补足T一周期一周期贮存费贮存费一周期一周期缺货费缺货费周期周期T, t=T1贮存量降到零贮存量降到零一周期总费用一周期总费用每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数）（目标函数）一周期总费用一周期总费用求求 T ,Q 使使为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比，相比，T记作记作T , Q记作记作Q不允不允许缺许缺货模货模型型记记允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意：缺货需补足注意：缺货需补足Q 每周期初的存贮每周期初的存贮量量R每周期的生产量每周期的生产量R （或订货量）（或订货量）Q不允许缺货时的产量不允许缺货时的
9、产量(或订货量或订货量) 6.2 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设元资金，用于饲料、人力、设备，备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤。公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元，但是元，但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元，问生猪应何时出售。元，问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差，对结果有何影响。有误差，对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大时间减少，故存在最佳出售
10、时机，使利润最大求求 t 使使Q(t)最大最大10天后出售，可多得利润天后出售，可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw -C估计估计r=2，若当前出售，利润为若当前出售，利润为808=640（元）（元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1敏感性分析敏感性分析研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 估计估计r=2， g=0.1 设设g=0.1不变不变 t 对对r 的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪每天体重增加
11、量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟，出售时间推迟3%。 rt敏感性分析敏感性分析估计估计r=2， g=0.1研究研究 r, g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响 设设r=2不变不变 t 对对g的（相对）敏感度的（相对）敏感度 生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前，出售时间提前3%。 gt强健性分析强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由由 S(t,r)=3建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计 , 再作计算。再作计算。研究研究 r, g不是常数时对模型结果的影响不是常数
12、时对模型结果的影响 w=80+rt w = w(t)p=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 则则 （30%） 每天利润的增值每天利润的增值 每天投入的资金每天投入的资金 6.3 森林救火森林救火森林失火后，要确定派出消防队员的数量。森林失火后，要确定派出消防队员的数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x, 失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻
13、灭火时刻t2, 时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t). 损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数, 由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定. 救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数, 由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小 关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0, 开始救火时刻开始救火时刻t1, 灭火时刻灭火时刻t2, 画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较
14、困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.模型假设模型假设 3）f1(x)与与B(t2)成正比，系数成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费）烧毁单位面积损失费） 1）0 t t1, dB/dt 与与 t成正比，系数成正比，系数 (火势蔓延速度）火势蔓延速度） 2）t1 t t2, 降为降为 - x ( 为队员的平均灭火为队员的平均灭火速度）速度） 4）每个）每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心，火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，均匀向四周呈圆形蔓延，半径半径 r与与 t
15、成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比，成正比， dB/dt与与 t成正比成正比.模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1）目标函数目标函数总费用总费用假设假设3）4）假设假设2）模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果解释结果解释 / 是火势不继续蔓延的最少队员数是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中其中 c1,c2,c3, t1, , 为已知参数为已知参数模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知, t1可估计可估计, c2 x c1, t1, x c3 , x 结果结果解释解释c1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费, c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费, c3每个每个队员一次性费用队员一次性费用, t1开始救火时刻开始救火时刻, 火火势蔓延速度势蔓延速度, 每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么? ? , 可可设置一系列数设置一系列数值值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x
