《人教版高中数学必修五等差数列前n项和一课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修五等差数列前n项和一课件（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数列的前等差数列的前n项和项和2021/6/71一、教材分析一、教材分析二、学生学习情况目标分析二、学生学习情况目标分析六、教学重难点六、教学重难点四、教与学的方法分析四、教与学的方法分析五、教学目标五、教学目标三、设计思想三、设计思想说课的内容说课的内容2021/6/72教材分析：教材分析：学生已有知识基础学生已有知识基础本节课是在学习了等差数列的定义和性质的基础上来学习的。本节学习的主要内容本节学习的主要内容本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和公式以及该公式的应用等。本节的地位本节的地位等差数列在现实生活中比较常见,因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问
2、题.同时,求数列前n项和也是数列研究的基本问题,教材渗透的主要数学思想方法教材渗透的主要数学思想方法公式的推导,让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法，公式的运用让学生进一步体会函数的思想方法和整体代入的思想方法。2021/6/73学生学习情况分析：学生学习情况分析：学生已有知识学生已有知识 学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质,对高斯算法也有所了解,已有了函数的初步知识。难点的确定难点的确定 学生对高斯算法有所了解，为倒序相加法的教学提供了基础，但高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离, 如何从首尾配对法引出倒序相加法,这是学生学习的的难点.渗透函数思想的根据 从学生已有函数
3、知识出发，在教学中运用通项公式与求和公式解题时，可适当渗透函数思想.2021/6/74设计思想设计思想：理论依据 根据建构主义理论，让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验, 自主地在教师的引导下促进对新知识的建构.2021/6/75教与学的方法分析：教与学的方法分析： 在教学过程中,从介绍高斯的算法开始,探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法.通过设计一些从简单到复杂,从特殊到一般的问题,层层铺垫,组织和启发学生获得公式的推导思路。并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习,通过生生互动和师生互动等形式,让学生在问题解决中学会思考
4、、学会学习，以期达到高效大容量的目的. 为了促进成绩优秀学生的发展,还设计了选做题和探索题,进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力,达到了分层教学的目的.2021/6/76教学目标教学目标：1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程，掌握解倒序相加法的原理，掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式。2. 从公式的推导过程中,体验从特殊到一般的研究方法,渗透函数思想与方程(组)思想,培养学生观察、归纳、分析、分类讨论、反思的能力，提高学生推理能力，增强学生应用意识，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质。3. 通过有趣的历史故事，具体的实际问题构建“倒序相加”的模型，激发学生的求知欲望和探
5、究热情，体验问题驱动的科学学习方法，树立学生求真的勇气和自信。2021/6/77 教学重点和难点教学重点和难点： 重点：等差数列前n项和公式推导及应用 难点：是等差数列前n项和公式推导“倒序相加”思想的获得及灵活运用等差数列前n项和公式解决一些具体问题。2021/6/78课前热身(3)等差数列的性质等差数列的性质：（1）等差数列的定义等差数列的定义 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2项项起，每一项与它的前起，每一项与它的前一项的差等于一项的差等于同一个常数同一个常数，那，那么么这个数列就叫做这个数列就叫做等差数列等差数列即：即：an-an-1=d(2)等差数列通项公式等差数列通
6、项公式 （引申） 在等差数列中，若在等差数列中，若m+n=2p则则am+an=2ap 若若m、n、p、q N*且且m+n=p+q,则则am+an=ap+aq a1+an=a2+an-1=a3+an-2=.=ak+ak+1=.an=am+(m-n)dm. nN nm1（4）.公差公差 d=an-an-1若若a、b、c成等差数列，则成等差数列，则2b=a+c 教学过程教学过程2021/6/79问题1： 泰泰姬姬陵陵坐坐落落于于印印度度古古都都阿阿格格，是是十十七七世世纪纪莫莫卧卧儿儿帝帝国国皇皇帝帝沙沙杰杰罕罕为为纪纪念念其其爱爱妃妃所所建建，她她宏宏伟伟壮壮观观，纯纯白白大大理理石石砌砌建建而而
7、成成的的主主体体建建筑筑叫叫人人心心醉醉神神迷迷，成成为为世世界界七七大大奇奇迹迹之之一一。陵陵寝寝以以宝宝石石镶镶饰饰，图图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。 传传说说陵陵寝寝中中有有一一个个三三角角形形图图案案，以以相相同同大大小小的的圆圆宝宝石石镶镶饰饰而而成成，共共有有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？2021/6/710 著名数学家高斯的一个小故事著名数学家高斯的一个小故事 在高斯10岁的时候，他的老师出了一道数学题： 1+2+3+4+100=？ 在别的同学都在忙着
8、计算的时候，高斯很快得出了正确答案，你知道高斯是怎 么计算的吗？ 高斯(Gauss,C.F.,1777年1855年） 德国著名数学家（1+100)+(2+99)+(3+98)+（50+51） =50101 =50502021/6/711等差数列前n 项和的定义：设an为等差数列，它的前n项和用Sn表示.即Sn=a1+a2+a3+an则:1+2+3+100表示S100S100=1+2+3+1002021/6/712从高斯的（从高斯的（1+100)+(2+99)+（50+51）首尾配对相加导出倒序相加。首尾配对相加导出倒序相加。 设 S100=1 + 2 + 3 +99 +100 则 S100=1
9、00 +99 +98+ 2 + 1故 2S100=(1+100)+(2+99) +（99+2）+(100+1) =(1+100)100 S100=由此猜想等差数列an前n项和sn为： sn=2021/6/713 高斯的算法其实给出了求等差数列前n项和的方法-倒序相加法以字母代替数以字母代替数来来探究探究 设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn Sn=a1 + a2 + a3 + + an-2 + an-1 + an Sn=an + an-1+ an-2+ + a3 + a2 + a1 两式对应相加得两式对应相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1）+(a3+an-2 )+(a
10、n-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1） 在等差数列在等差数列an中中,若若m+n=p+q,则则am+an=ap+aq 故故a1+an=a2+an-1=a3+an-2= 2Sn=n(a1+an) Sn=2021/6/714探究发现方法方法2：如何根据等差数列：如何根据等差数列an=a1+(n-1)d 来推导等差数列前来推导等差数列前n项和公式项和公式sn?2021/6/715 等差数列前等差数列前n项和公式项和公式 记一记记一记帮助我记公式啦帮助我记公式啦2021/6/716 根据下列条件,求出等差数列an的前n项和Sn(1)a1=5,an=95,n=10 （2)a1=100,d=
11、-2, n=50 解：(1)sn= =500 （2）sn=50100+ =2550热身练习热身练习2021/6/717 Sn= Sn=na1+ 例例1:如图如图 超市超市一个堆放铅笔的一个堆放铅笔的V形架，最下面第一层放形架，最下面第一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一一支铅笔，往上每一层都比它下面多放一支，就这样一层一层地往上放。最上面一层放层地往上放。最上面一层放120支。求这个支。求这个V形架上共放着多形架上共放着多少支铅笔？少支铅笔？ 分析分析：由题意知，这个V形架上共120层铅笔，各层的铅笔数自下上成等差数列,记为an，a1=1,an=120,n=120,d=1
12、.代入等差数列前n项和公式可求得结果 应用提升应用提升解：依题知，各层铅笔数自下而上成等差数列，设为解：依题知，各层铅笔数自下而上成等差数列，设为aan n 则则a a1 1=1,a=1,an n=120,n=120,d=1=120,n=120,d=1代入公式得代入公式得S Sn n= = =7260 答：这个答：这个V V形架上共放了形架上共放了72607260支铅笔支铅笔2021/6/718 Sn=na1+ 例例2 2:等差数列-10,-6,-2,2，前多少项和是54? 分析分析:等差数列首项为-10,前n项和为54,由前几项可知公差为4,依前n项和公式可得关于n的方程,解之可得n. 解解
13、:设等差数列设等差数列an首项首项a1= -10,前前n项和项和Sn=54,公差公差d=4, 代入公式得代入公式得 -10n + 4=54 整理得整理得 n2-6n-27=0 解得解得 n1=9 n2= -3(舍去）舍去） 故该等差数列前故该等差数列前9项和是项和是54. 等差数列中由前几项可确定首项、公差，再代等差数列中由前几项可确定首项、公差，再代 入前入前n项和公式项和公式第二公式可得关于第二公式可得关于n的二次方程，求解时应注意的二次方程，求解时应注意n为正整数为正整数能力能力提升提升例例2中通项公式中通项公式an 与与n及前及前n项和项和公式公式Sn 与与n的函数关系？的函数关系？想
14、一想：2021/6/719nSnO6an=f(n)、Sn=f(n)的深入认识nanOan = 4n-14Sn = 2n2-12n2021/6/720等差数列5，4，3，2，多少项和是-30？ 解解:设等差数列设等差数列an首项首项a1=5,前前n项和项和Sn= - 30,公差公差d= - 1 代入公式得代入公式得 5n + （- 1）= - 30 整理得整理得 n2 - 11n - 60=0 解得解得 n1=15 n2= - 4(舍去）舍去） 故该等差数列前故该等差数列前15项和是项和是 - 30.做一做做一做2021/6/721 例例3:3:已知在等差数列已知在等差数列aan n 中，中，d
15、=20,n=37,sd=20,n=37,sn n=629,=629,求求:a:a1 1及及a an n =629 a1+(37-1)20=an. 由以上两式联立求解方程组得由以上两式联立求解方程组得：a1= - 343 an=377 解：由题意得解：由题意得:2021/6/722 Sn= 例例4:(1)在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3+a99=200.求求S101? (2)在等差数列an中,已知a15+a12+a9+a6=20,求S20? 分析分析:等差数列中已知某几项和，求前n项和，充分利用通项或等 差数列 性质(如若m+n=p+q则am+an=ap+aq）进行整体代换 解:(1)
16、法一:a3+a99=200 a3+a99=2a1+100d 即 a1+50d=100 S101=101a1+ =101(a1+50d) =10100 法二:a3+a99=a1+a1o1=200 S101= (2) 方法一： 1+20=6+15=9+12 a1+a20=a6+a15=a9+a2 又 a15+a12+a9+a6=20 a1+a20=10 S20= = =100 已知等差数列若干项和已知等差数列若干项和,求前求前n项和是常见题型项和是常见题型,方法灵活方法灵活,利用通项公式或等差利用通项公式或等差数列数列性质进行整体代换性质进行整体代换是基本方法是基本方法。Sn=na1+灵灵活活变变
17、通通=101 =10100 方法二同（方法二同（1）题方）题方法一同学们课下探讨。法一同学们课下探讨。2021/6/723利用利用sn,判断一个数列是否为等差数列判断一个数列是否为等差数列 例5：根据数列an前n项和公式,判断下列数列 是否 为等差数列 (1) sn=2 n2 n (2) sn=2 n2 n + 1解：(1)当n1时，an=sn-sn-1 =2 n2 n-2( n-1)2 (n-) =4n-3 当n=1时，a1=s1=212-1=1也满足上式。 则:an-an-1=4n-3-4(n-1)-3=4 (常数) an是等差数列 (2)当n1时，an=sn-sn-1 =2 n2 n+1
18、-2( n-1)2 (n-)+1 =4n-3 当n=1时，a1=s1=212-1+1=2不满足上式。 则:当n2时，an-an-1=4n-3-4(n-1)-3=4 而当n=2时an-an-1=a2-a1=5-2=34 an不是等差数列 2021/6/724 在等差数列an中，(1)已知a2+a5+a12+a15=36求S16. （2)已知a6=20求S11. 解：（1）1+16=2+15=5+12 a2+a15=a5+a12=a1+a16 则：a1+a16=18 S16= = =144 （2）1+11=26 a1+a11=2a6 S11= =11a6 =220 做一做做一做2021/6/725
19、 (1)一种求和方法一种求和方法-倒序相加法倒序相加法. (2)等差数列前等差数列前n项和的两个公式项和的两个公式. (3)已知等差数列中首项、公差、末项、前已知等差数列中首项、公差、末项、前n项和中项和中某几项求他量。某几项求他量。 回顾与回顾与小结小结(4)an=f(n)、Sn=f(n)的函数思想2021/6/7261.阅读教材P42到P44，复习数列、等差数列定义、数列图像、二次函数图像. 2.书面作业：P132习题3.3 第1,2,3,4题.3.课外练习：已知等差数列16，14，12， 10， (1)前多少项的和为72？ (2)前多少项的和为0？ (3)前多少项的和最大？祝你成功祝你成功！2021/6/727部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！
