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1、解析不等式恒成立问题纵观近年来各地高考数学试题，有关不等式恒成立问题屡见不鲜，这类问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、知识交汇点多等特点 .考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立， 二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的值或取值范围 .解决这类问题的关键是转化，通过等价转化能使问题起到“柳暗花明”的成效.而等价转化过程往往渗透着换元、化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想方法，其常用方法主要有：更换主元法、别离参数法、数形结合法、最值法等，笔者试图通过本文能对学生突破这一难点有所启迪. 一、更换主元法在解决不等式恒成立问题
2、时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数， 利用函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数. 221(1)xm x对满足2,2m的一切实数m恒成立， 求x的取值范围 . 解：设2()(1)(21),f mxmx则不等式221(1)xm x对满足2,2m的一切实数m恒成立()0f m对2,2m22m时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页()0f m22(2)2(1)(21)0,( 2
3、)2(1)(21)0fxxfxx即222210,2230xxxx解得131322,171722xxx或故x的取值范围是7131(,)22. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于x的不等式讨论，此种解法因计算繁琐易出错；假设变换一个角度，以m为变量，使2()(1)(21),f mxmx则问题转化为求一次函数或常数函数()f m的值在2,2内恒为负时，参数x应满足的条件“换位”思考优势明显. 二、别离参数法当不等式中的参数或关于参数的代数式能够与其它变量完全别离出来，且别离后不等式另一边的函数或代数式的最值可求时，常用别离参数法. ( )ln()xf xeaa为常数是实数集R上的奇函数，函
4、数( )cosg xxx在区间2,33上是减函数 . 求a的值与的范围；假设对中的任意实数都有( )1g xt在2,33上恒成立，求实数t的取值范围 . 假设0m，试讨论关于x的方程2ln2( )xxexmfx的根的个数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页解： 、 略由题意知，函数( )cosg xxx在区间2,33上是减函数. max1( )(),332g xg( )1g xt在2,33上恒成立11,32t132t(1)1,.32t注：此类问题可把要求的参变量别离出来，单独放在不等式的一侧， 将另一侧看成新函数
5、，于是将问题转化成新函数的最值问题：假设对于x取值范围内的任一个数都有( )( )f xg a恒成立，则min( )( )g af x；假设对于x取值范围内的任一个数都有( )( )f xg a恒成立，则max( )( )g af x. 三、数形结合法如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时， 可通过图象、 图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 36,2( ),63 ,2xxyf xx x假设不等式( )2fxxm恒成立，则实数m的取值范围是 . 解：在同一个平面直角坐标系中分别作出函数2yxm及( )yfx的 图 象 ， 由 于 不 等 式( )2f xxm恒 成 立 ，
6、所 以 函 数2yxm的图象应总在函数( )yfx的图象下方，因此，当2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页时，40,ym所以4,m故m的取值范围是4,.注：解决不等式问题经常要结合函数的图象，根据不等式中量的特点， 选择适当的两个函数，利用函数图像的上、下位置关系来确定参数的范围.利用数形结合解决不等式问题关键是构造函数，准确做出函数的图象.如：不等式2log0axx，在1(0,)2x时恒成立， 求a的取值范围 .此不等式为超越不等式，求解时一般使用数形结合法，设2( ), ( )log,af xxg xx然后在同
7、一坐标系下准确做出这两个函数的图象，借助图象观察便可求解. 四、最值法当不等式一边的函数或代数式 的最值较易求出时，可直接求出这个最值最值可能含有参数，然后建立关于参数的不等式求解 . 3( )(ln),( ).3afxxxmg xxx当2m时，求( )f x的单调区间；假设32m时，不等式( )( )g xf x恒成立，求实数a的取值范围 . 解： 略Oxy( )yf x2yxm2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页当32m时，不等式( )( )g xf x即33(ln)32axxxx0x，231ln32axx， 亦
8、 即21ln32axx， 所 以213(ln)2xax. 令( )h x213(ln)2xx，则36ln( )xh xx，由( )0h x得1x.且当01x时，( )0h x；当1x时，( )0h x，即( )h x在(0,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，所以( )h x在1x处取得极大值3(1)2h，也就是函数( )h x213(ln)2xax恒成立，需要32a，所以a的取值范围为3,2. 注：恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考的一个热门题型，它以“参数处理”为主要特征，以“导数”为主要解题工具.往往与函数的单调性、极值、最值等有关，所以解题时要善于将这类问题与函数最值联系起来，通过函数最值求解相关问题. 不等式恒成立问题，因题目涉及知识面广，解题方法灵活多样， 技巧性强， 难度大等特点， 要求有较强的思维灵活性和创造性、 较高的解题能力， 上述方法是比较常用的，但因为问题形式千变万化， 考题亦常考常新， 因此在备考的各个阶段都应渗透恒成立问题的教与学，在平时的训练中不断领悟和总结，教师也要介入心理辅导和思想方法指导，从而促使学生在解决此类问题的能力上得到改善和提高. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
