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1、学习必备欢迎下载第六节二次函数的应用【回顾与思考】二次函数应用刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少【例题经典】用二次函数解决最值问题例 1已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图), 其中 AF=2 , BF=1 试在 AB上求一点 P,使矩形PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合题,把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用能力同时,也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本10 元,试销阶段每件产品的销售价x(元) ?与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:x(元)15 20 30 y(件)25 20 10 若日
2、销售量y 是销售价x 的一次函数(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元??此时每日销售利润是多少元?【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b 则1525,220kbkb解得 k=-1 ,b=40,?即一次函数表达式为y=-x+40 (2)设每件产品的销售价应定为x 元,所获销售利润为w元 w=(x-10 ) (40-x )=-x2+50x-400=- ( x-25 )2+225产品的销售价应定为25 元,此时每日获得最大销售利润为225元【点评】 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别, 主要有两点:
3、(1)设未知数在“当某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中, ?“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数; (2)?问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程【考点精练】1二次函数y=12x2+x-1 ,当 x=_时, y 有最 _值,这个值是_2在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0(m/s)竖直向上抛出,?在不计空气阻力精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页学习必备欢迎下载的情况下,其上升高度s(m )与抛出时间t(s)满足: S=V0t-12gt2(其中 g 是常数,通常取 10m/s2) ,若 V0
4、=10m/s,则该物体在运动过程中最高点距离地面_m 3影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数?有研究表明,晴天在某段公路上行驶上,速度为V (km/h)的汽车的刹车距离S(m )可由公式S=1100V2确定;雨天行驶时,这一公式为S=150V2如果车行驶的速度是60km/h,?那么在雨天行驶和晴天行驶相比,刹车距离相差_米4 (20XX 年南京市)如图,在矩形ABCD 中, AB=2AD ,线段EF=10在 EF 上取一点M , ?分别以 EM 、MF为一边作矩形EMNH 、矩形 MFGN ,使矩形 MFGN 矩形 ABCD 令 MN=x ,当x 为何值时,矩形EMNH 的
5、面积 S有最大值?最大值是多少?5 (20XX年青岛市) 在 20XX年青岛崂山北宅樱桃节前夕,?某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据:销售价 x(元 / 千克) 25 24 23 22 销售量 y(千克)2000 2500 3000 3500 (1)在如图的直角坐标系内,作出各组有序数对(x,y)所对应的点连接各点并观察所得的图形,判断y 与 x 之间的函数关系,并求出y 与 x 之间的函数关系式;(2)若樱桃进价为13 元/ 千克,试求销售利润P(元)与销售价x(元 /千克)之间的函数关系式,并求出当x 取何值时, P的值最大?6 (2006
6、 十堰市)市“健益”超市购进一批20 元/ 千克的绿色食品,如果以30?元/ 千克精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页学习必备欢迎下载销售,那么每天可售出400 千克由销售经验知,每天销售量y(千克) ?与销售单价x(元)(x30)存在如下图所示的一次函数关系式(1)试求出y 与 x 的函数关系式;(2)设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4480 元, ?现该超市经理要求每天利润不得低于4180 元,请
7、你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围( ?直接写出答案)7施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6 米,宽度OM为 12 米,现在 O点为原点, OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;(2)求出这条抛物线的函数解析式;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD ,使 A、 D点在抛物线上,B、C点在地面OM上为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下8 (20XX年泉州市)一条隧道的截面如图所示,它的上部是一个以AD? 为直径的半圆O ,下部是一个矩形
8、ABCD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页学习必备欢迎下载(1)当 AD=4米时,求隧道截面上部半圆O的面积;(2)已知矩形ABCD 相邻两边之和为8 米,半圆O的半径为r 米求隧道截面的面积S(米)关于半径r (米)的函数关系式(不要求写出r 的取值范围);若 2米 CD 3 米,利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值(取 3.14 ,结果精确到 0.1 米)答案 : 例题经典精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页学习必备欢迎下载例 1:解
9、:设矩形PNDM 的边 DN=x ,NP=y ,则矩形PNDM 的面积 S=xy(2x4)易知 CN=4-x, EM=4-y 且有NPBCBFCNAF(作辅助线构造相似三角形), 即34yx=12, y=-12x+5,S=xy=-12x2+5x(2x4) ,此二次函数的图象开口向下, 对称轴为x=5,当 x 5 时, ?函数的值是随x 的增大而增大,对 2x4 来说,当x=4 时, S有最大值S最大=-1242+54=12考点精练1-1 ,小, -32 2 7 3 36 4解:矩形MFGN 矩形 ABCD ,MNMFADAB,AB=2AD ,MN=x , MF=2x , EM=EF-MF=10
10、-2x ,S=x(10-2x )=-2x2+10x=-2 ( x-52)2+252,当 x=52时, S有最大值为2525解:(1)正确描点、连线由图象可知,y 是 x 的一次函数,设y=kx+b ,? 点( ?25,2000) , (24,2500)在图象上,200025500,:25002414500kbkkbb解得,y=-500x+14500 ( 2)P=( x-13 ) y=(x-?13 ) (-500x+14500 )=-500 x2+21000x-188500=-500 (x-21 )2+32000,P与 x 的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500 ,当销售价为
11、21 元/ 千克时,能获得最大利润6解: ( 1)设 y=kx+b 由图象可知,3040020,:402001000kbkkbb解之得,y=-20x+1000 (30x50)(2)P=(x-20 )y=(x-20 ) (-20x+1000 )=-20x2+1400x-20000 a=-200 , P有最大值当 x=-14002( 20)=?35 时, P最大值=4500精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页学习必备欢迎下载即当销售单价为35 元/ 千克时,每天可获得最大利润4500 元(3)31x?34 或 36x397
12、解:(1)M (12,0) ,P(6,6) (2)设这条抛物线的函数解析式为:y=a(x-6 )2+6,抛物线过O (0,0) , a(0-6 )2+6=0,解得 a=16,这条抛物线的函数解析式为y=-16(x-6 )2+6,即 y=-16x2+2x(3)设点 A的坐标为( m ,-16m2+2m ) ,OB=m ,AB=DC=-16m2+2m ,根据抛物线的轴对称,可得:OB=CM=m,BC=12-2m ,即 AD=12-2m ,L=AB+AD+DC=-16m2+2m+12-2m-16m2+2m=-13m2+2m+12=-13(m-3)2+15当 m=3 ,即 OB=3米时,三根木杆长度之
13、和L 的最大值为15 米8 (1)当 AD=4米时, S半圆=12(2AD)2=1222=2(米2) (2) AD=2r,AD+CD=8 , CD=8-AD=8-2r,S=12r2+AD CD=12r2+2r (8-2r )=(12-4 )r2+16r ,由知CD=8-2r,又 2 米 CD 3米, 28-2r 3, 25r 3,由知 S=(12-4 )r2+16r= (123.14-4 )r2+16r =-2.43r2+16r=-2.43 (r-82.43)2+642.43, -2.430 ,函数图象为开口向下的抛物线,函数图象对称轴r=82.433.3 又 2.5 r 33.3 ,由函数图象知,在对称轴左侧S随 r 的增大而增大,故当 r=3 时, S有最大值,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页学习必备欢迎下载S最大值=(12-4 ) 32+163(123.14-4 ) 9+48=26.13 26.1 (米2) 答:隧道截面面积S的最大值约为26.1 米2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页