《2022年初二数学上学期知识点和典型例题总结178》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年初二数学上学期知识点和典型例题总结178(16页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 16 页全等三角形类型一:全等三角形性质的应用1、如图,ABDACE,AB=AC,写出图中的对应边和对应角. 思路点拨 : AB=AC,AB和AC是对应边,A是公共角,A和A是对应角,按对应边所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边可求解.解析:AB和AC是对应边,AD和AE、BD和CE是对应边,A和A是对应角,B和C,AEC和ADB是对应角 .总结升华: 已知两对对应顶点,那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角,第三对角是对应角;再由对应角所对的边是对应边,可找到对应边.已知两对对应边,第三对边是对应边,对应边所对的角是对应角.举一反三:【变式 1】如图,ABCDBE. 问线
2、段AE和CD相等吗?为什么?【答案】证明:由ABCDBE,得 AB=DB,BC=BE,则 AB-BE=DB-BC,即 AE=CD 。【变式 2】如右图,。求证:AE CF【答案】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页第 2 页 共 16 页AE CF2、如图,已知 ABC DEF ,A=30 ,B=50 ,BF=2 ,求DFE的度数与 EC的长。思路点拨 :由全等三角形性质可知:DFE= ACB ,EC+CF=BF+FC,所以只需求ACB的度数与 BF的长即可。解析: 在 ABC中, ACB=180-A-B,又A=30
3、 ,B=50 ,所以ACB=100.又因为ABC DEF ,所以ACB= DFE , BC=EF (全等三角形对应角相等,对应边相等)。所以DFE=100 EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。总结升华: 全等三角形的对应角相等,对应边相等。举一反三:【变式 1】如图所示,ACD ECD ,CEF BEF ,ACB=90 .求证:( 1)CD AB ;( 2)EF AC.【答案】(1)因为 ACD ECD ,所以ADC= EDC (全等三角形的对应角相等) .因为ADC+ EDC=180,所以ADC= EDC=90.所以 CD AB.(2)因为 CEF BEF,所以CFE= BFE (全等三
4、角形的对应角相等) .因为CFE+ BFE=180 ,所以CFE= BFE=90 .因为ACB=90 , 所以ACB= BFE.所以 EF AC.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页第 3 页 共 16 页类型二:全等三角形的证明3、如图, AC BD ,DF CE ,ECB FDA ,求证:ADF BCE 思路点拨 :欲证ADF BCE ,由已知可知已具备一边一角,由公理的条件判断还缺少这角的另一边,可通过AC BD而得解析: AC BD(已知)AB-BD AB-AC(等式性质 )即 ADBC在ADF 与BCE中A
5、DF BCE(SAS)总结升华: 利用全等三角形证明线段 ( 角) 相等的一般方法和步骤如下:(1) 找到以待证角 (线段) 为内角 (边)的两个三角形,(2) 证明这两个三角形全等;(3) 由全等三角形的性质得出所要证的角( 线段) 相等举一反三:【变式 1】如图,已知 AB DC , AB DC ,求证:AD BC【答案】AB CD34在ABD 和CDB中ABD CDB(SAS)12(全等三角形对应角相等)AD BC( 内错角相等两直线平行)【变式 2】如图,已知 EB AD于 B,FC AD于 C ,且 EB FC ,AB CD 求证 AFDE 【答案】EB AD( 已知) EBD 90
6、(垂直定义 )同理可证FCA 90EBD FCAAB CD ,BC BCAC AB+BC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页第 4 页 共 16 页 BC+CD BD在ACF 和DBE中ACF DBE(S AS)AF DE(全等三角形对应边相等 )类型三:综合应用4、如图, AD为 ABC的中线。求证:AB+AC2AD. 思路点拨 :要证 AB+AC2AD,由图想到: AB+BDAD,AC+CDAD,所以AB+AC+BC2AD,所以不能直接证出。由2AD想到构造一条线段等于2AD ,即倍长中线。解析: 延长 AD至
7、E,使 DE=AD ,连接 BE因为 AD为 ABC的中线,所以 BD=CD.在 ACD和 EBD中,所以 ACD EBD(SAS).所以 BE=CA.在 ABE中,AB+BEAE,所以 AB+AC2AD.总结升华: 通过构造三角形全等,将待求的线段放在同一个三角形中。举一反三:【变式 1】已知:如图,在RtABC中,AB=AC, BAC=90 ,1=2,CE BD 的延长线于 E,求证: BD=2CE.【答案】分别延长CE 、BA交于 F. 因为BE CF,所以BEF= BEC=90 .在 BEF和 BEC中,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
8、 - -第 4 页,共 16 页第 5 页 共 16 页所以BEF BEC(ASA).所以CE=FE= CF.又因为BAC=90 ,BECF.所以BAC= CAF=90 ,1+BDA=90 ,1+BFC=90 .所以BDA= BFC.在 ABD和 ACF中,所以ABD ACF(AAS)所以BD=CF. 所以 BD=2CE.5、如图, AB CD ,BE DF ,BD ,求证: (1)AECF ,(2)AECF ,(3) AFE CEF思路点拨 : (1) 直接通过ABE CDF 而得, (2) 先证明AEB CFD , (3) 由(1)(2) 可证明AEF CFE 而得,总之,欲证两边 ( 角
9、) 相等,找这两边 ( 角) 所在的两个三角形然后证明它们全等解析:(1) 在ABE与CDF中ABE CDF(SAS)AE CF(全等三角形对应边相等 )(2) AEB CFD( 全等三角形对应角相等)AE CF(内错角相等,两直线平行)(3) 在AEF与CFE中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页第 6 页 共 16 页AEF CFE(SAS)AFE CEF( 全等三角形对应角相等)总结升华: 在复杂问题中,常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件举一反三:【变式 1】如图,在ABC 中,延长
10、 AC边上的中线 BD到 F,使 DF BD ,延长 AB边上的中线 CE到 G ,使 EG CE ,求证 AFAG 【答案】在AGE 与BCE中AGE BCE(SAS)AG BC(全等三角形对应边相等 )在AFD 与CBD中AFD CBD(SAS)AF CB(全等三角形对应边相等 )AF AG(等量代换 )6、如图 ABAC ,BD AC于 D,CE AB 于 E,BD 、CE相交于 F求证: AF平分BAC 思路点拨 :若能证得得 AD=AE ,由于ADB 、AEC 都是直角,可证得RtADF RtAEF ,而要证AD=AE ,就应先考虑 RtABD与 RtAEC ,由题意已知AB=AC
11、,BAC是公共角,可证得RtABD RtACE 解析: 在 RtABD与 RtACE中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页第 7 页 共 16 页RtABD RtACE(AAS)AD=AE( 全等三角形对应边相等)在 RtADF与 RtAEF中RtADF RtAEF(HL)DAF= EAF( 全等三角形对应角相等)AF 平分BAC( 角平分线的定义)总结升华: 条件和结论相互转化,有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。举一反三:【变式 1】求证:有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等【答案】根据题意,画出
12、图形,写出已知,求证已知:如图,在ABC 与ABC 中AB=A B,BC=B C ,AD BC于 D,AD BC 于D 且 AD=A D 求证:ABC ABC 证明: 在 RtABD与 RtABD 中RtABD RtABD (HL)B= B(全等三角形对应角相等 )在ABC 与ABC 中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页第 8 页 共 16 页ABC ABC (SAS)【变式 2】已知,如图, AC 、BD相交于 O ,AC=BD ,C D 90 求证:OC=OD【答案】C= D=90 ABD 、ACB 为直角三角
13、形在 RtABD和 RtABC中RtABD RtABC(HL)AD=BC在AOD 和BOC中AOD BOC(AAS)OD=OC7、ABC中,AB=AC ,D是底边 BC上任意一点,DE AB ,DF AC ,CG AB垂足分别是 E、F、G. 试判断:猜测线段 DE、DF 、CG的数量有何关系?并证明你的猜想。思路点拨 : 寻求一题多解和多题一解是掌握规律的捷径解析: 结论: DE+DF=CG方法一:(截长法)板书此种方法(3 分钟) 作 DM CG于 M DE AB ,CG AB ,DM CG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页
14、,共 16 页第 9 页 共 16 页 四边形 EDMG 是矩形 DE=GM DM/AB MDC=B AB=AC B= FCD MDC=FCD 而 DM CG ,DF AC DMC=CFD 在MDC和FCD中 MDC FCD (AAS ) MC=DF DE+DF=GM+MC=CG总结升华:方法二(补短法)作CM ED交 ED的延长线于 M (证明过程略) 总结:截长补短的一般思路,并由此可以引申到截长法有两种截长的想法方法三(面积法)使用等积转化 引申:如果将条件 “D 是底边 BC上任意一点 ”改为“D 是底边 BC的延长线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
15、- - - - - -第 9 页,共 16 页第 10 页 共 16 页图图2图QCABEFP上任意一点 ”,此时图形如何? DE 、DF和 CG 会有怎样的关系?画出图形,写出你的猜想并加以证明举一反三:【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。【答案】证明的过程使用三种证明方法,包括:(1)截长法( 2)补短法(3)面积法轴对称考点一、关于 “轴对称图形 ”与“轴对称”的认识典例 1下列几何图形中,线段角直角三角形半圆,其中一定是轴对称图1234形的有() A1 个 B2 个 C 3 个 D4 个2正 n边形有 _条对称轴,圆有 _条对称轴考点二、轴对称变换及用坐标
16、表示轴对称典例: 1、如图, Rt ABC ,C=90 , B=30 ,BC=8,D为 AB中点,P为 BC上一动点,连接AP 、DP,则 AP+DP 的最小值是2、已知等边 ABC ,E在 BC的延长线上, CF平分DCE ,P为射线BC上一点, Q为CF上一点,连接AP、PQ.若 AP=PQ ,求证APQ是多少度考点四、线段垂直平分线的性质线段是轴对称图形,它的对称轴是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页第 11 页 共 16 页EDCBA线段的垂直平分线上的点到_相等归类回忆角平分线的性质角是轴对称图形,其
17、对称轴是_ 角平分线上的点到_相等典例 1、如图,ABC中,A=90 ,BD为ABC平分线, DE BC ,E是 BC的中点,求 C的度数。2、 如图,ABC中,AB=AC ,PB=PC ,连 AP并延长交 BC于 D ,求证: AD垂直平分 BC3、如图 ,DE 是ABC中 AC边的垂直平分线,若BC=8厘米, AB=10厘米,则EBC 的周长为()A.16 厘米 B.18厘米 C.26厘米 D.28厘米4、 如图,BAC=30 ,P是BAC平分线上一点, PM AC ,PD AC ,PD=28 , 则 AM= 5、如图,在 RtABC中,ACB = 90 ,BAC的平分线交 BC 于 D.
18、 过 C点作CG AB于 G ,交 AD于 E. 过 D点作 DF AB于 F.下列结论:MDACPBCED= CDE ;AECSACSAEG AG ;ADF=2 ECD;DFBCEDSS;CE=DF. 其中正确结论的序号是( ) A B C DBDCAPCEBDAFEDCBAG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页第 12 页 共 16 页考点五、等腰三角形的特征和识别典例 1、如图, ABC 中,AB=AC=8 ,D在 BC上,过 D作 DE AB 交 AC于 E,DF AC交 AB于 F,则四边形AFDE的周长
19、为 _ 。2、 如图,ABC中,BD 、CD分别平分 ABC与ACB ,EF过 D且 EFBC ,若 AB = 7 ,BC = 8 ,AC = 6 ,则AEF周长为 ( )A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图 , 点 B、D 、F 在 AN上,C、E在 AM上,且AB=BC=CD=ED=EF,A=20o, 则FEB=_ 度4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40,则它的一个底角的度数是_5、 ABC中, DF 是 AB的垂直平分线,交BC于 D,EG是 AC的垂直平分线,交BC于E,若DAE=20 ,则BAC等于 6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发,能将其剪
20、成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的底角等于7、已知,在ABC中,ACB=90 ,点 D 、E在直线 AB上,且 AD=AC ,BE=BC ,则DCE = 度.NMFECDBAFEDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页第 13 页 共 16 页FCDBEA8、如图:在ABC中, AB=AC ,AD BC , DEAB于点 E, DFAC于点 F。试说明 DE=DF 。9、如图 ,E 在 ABC的 AC边的延长线上, D点在 AB边上, DE交 BC于点 F,DF=EF ,BD=CE.求证:ABC是等腰三
21、角形 .考点六、等边三角形的特征和识别等边三角形的各_相等,各 _相等并且每一个角都等于_三个角相等的三角形是_三角形有一个角是60 的_三角形是等边三角形FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页第 14 页 共 16 页乙ODCBA特别的:等边三角形的中线、高线、角平分线_典例 1、下列推理中,错误的是 ( )A ABC, ABC 是等边三角形BAB AC ,且 BC, ABC 是等边三角形C A 60 ,B 60, ABC是等边三角形DAB AC ,B 60,ABC是等边三角形2、如图,等边三角形ABC
22、中,D是 AC的中点, E为 BC延长线上一点,且CE CD ,DM BC ,垂足为 M 。求证: M是 BE的中点。考点七、 30 所对的直角边是斜边的一半典例1、如图,是屋架设计图的一部分,点D是斜梁 AB的中点,立柱BC 、DE垂直于横梁 AC ,AB=8m ,A=30 ,则DE等于()A1m B2m C3m D4m2、如图:ADC中,A = 15 ,D=90 ,B 在 AC的垂直平分线上,AB =34,则 CD = ( )A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对3、一张折叠型方桌如图甲,其主视图如图乙,已知AO=BO=40cm,C0=D0=30 cm ,现将桌子放平,两条
23、桌腿叉开的角度AOB刚好为 120 ,求桌面到地面的距离是多少?ABDCEDCBAABCDEMFECBAD第 4 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页第 15 页 共 16 页FECBA4、如图, AB=AC ,DE AB于 E,DF AC于 F,BAC=120o,BC=6 ,则 DE+DF=5、在中,的垂直平分线交于点,交于ABC120ABACA,ABBCDAB点如果,求的长E1DEBC实数例 1、( 1)下列各数是否有平方根,请说明理由 (-3)2 0 2 -0.01 2(2) 下列说法对不对?为什么? 4
24、 有一个平方根只有正数有平方根任何数都有平方根若 a0,a 有两个平方根,它们互为相反数解:( 1) (-3)2 和 0 2 有平方根,因为(-3)2 和 0 2 是非负数。 - 0.01 2 没有平方根,因为 -0.01 2 是负数。(2)只有对,因为一个正数有正、负两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。例 2、求下列各数的平方根:(1) 9 (2) (3) 0.36 (4) 例 3、设,则下列结论正确的是() A. B. 甲14169精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页第 16 页 共 1
25、6 页 C. D. 解析:(估算)因为,所以选 B【变式1】1)1.25 的算术平方根是 _ ;平方根是 _.2 ) -27立方根是 _. 3 )_ ,_ ,_. 【答案】 1);.2)-3. 3 ),【变式 2】求下列各式中的( 1)( 2)( 3)【答案】( 1)(2)x=4 或 x=-2 (3)x=-4例 4、判断下列说法是否正确( 1)的算术平方根是 -3;( 2)的平方根是 15.( 3)当 x=0 或 2 时,解析:( 1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故(2)表示 225 的算术平方根,即=15. 实际上,本题是求15 的平方根,故的平方根是.(3)注意到,当x=0 时,=,显然此式无意义,发生错误的原因是忽视了 “负数没有平方根 ”,故x0,所以当x=2 时,x=0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页