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1、1 数字信号处理课程设计设计题目切比雪夫 I 型 IIR 低通数字滤波器设计题目编号0201 学院名称电气学院指导教师陈忠泽班级电子 11 级 02 班学号20114470203 学生姓名设计说明说每位同学抽签得到一个四位数， 由该四位数索引下表确定待设计数字滤波器的类型及其设计方法，然后用指定的设计方法完成滤波器设计。要求：滤波器的设计指标：低通：通带截止频率radidpc20)ln(,过渡带宽度radidtz100)(log10, 滚降dBroll60;高通 ：阻带截止频率radidsc20)ln(,通带截止频率2 radiiddpc100)(log20)ln(10,通带最大衰减dBp1,
2、阻带最小衰减dBs60;带 通 ： 阻 带 下 截 止 频 率radidsl20)ln(, 通 带 下 截 止 频 率radiiddpl100)(log20)ln(10,通带上截止频率radiiddpu100)(log20)ln(110,阻带上截止频率radidsu20)ln(1,通带最大衰减dBp1, 阻带最小衰减dBs60;带 阻 ： 通 带 下 截 止 频 率radidpl20)ln(, 阻 带 下 截 止 频 率radiiddsl100)(log20)ln(10,阻带上截止频率radiiddsu100)(log20)ln(110,通带上截止频率radidpu20)ln(1,通带最大衰减
3、dBp1, 阻带最小衰减dBs60;等 波 纹 滤 波 器 : 通 带 波 纹05. 0pr, 阻 带 波 纹05. 0sr, 过 渡 带 宽 度radidtz100)(log10,滚降dBroll60陷波器 :陷波中心频率radidno20)ln(,陷波频率分量最小衰减dBno60, -3 dB处的频带宽度radidno100)(log10其中，di抽签得到那个四位数。滤波器的初始设计通过手工计算完成；在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析） ；在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；以上各项要有理论分析和推导、
4、原程序以及表示计算结果的图表；课程设计结束时提交设计说明书。3 表一滤波器设计方法010203040506滤波器类型01低通窗函数FIR等波纹FIR插值滤波 FIR最小方差FIR频率抽样 FIR巴特沃思 IIR02低通切比雪夫型IIR切比雪夫型IIR椭圆IIRInverse Sinc 技术HalfbandAlgorithm线形相位 FIR03Raised Cosine窗函数FIR04高通（数字频带变换）窗函数FIR等波纹FIR插值滤波 FIR最小方差FIR频率抽样 FIR巴特沃思 IIR05高通（数字频带变换）切比雪夫型IIR切比雪夫型IIR椭圆IIRInverse Sinc 技术06Peak
5、ing峰值滤波Single Pinking IIRComb IIR07带通（数字频带变换）窗函数FIR等波纹FIR插值滤波 FIR最小方差FIR频率抽样 FIR巴特沃思 IIR08带通（数字频带变换）切比雪夫型IIR切比雪夫型IIR椭圆IIR脉冲响应不变 IIRInverse Sinc 技术09带阻（数字频带变换）窗函数FIR等波纹FIR插值滤波 FIR最小方差FIR频率抽样 FIR巴特沃思 IIR10带阻（数字频带变换）切比雪夫型IIR切比雪夫型IIR椭圆IIR脉冲响应不变 IIRInverse Sinc 技术11高通（模拟频带变换）巴特沃思 IIR切比雪夫型IIR切比雪夫型IIR椭圆 II
6、R12Differentiator等波纹FIR最小方差 FIR13Hilbert变换滤波器等波纹FIR最小方差 FIR4 摘要随着信息和数字时代的到来， 数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。 在现代通信系统中， 由于信号中经常混有各种复杂的成分，因此很多信号的处理都是基于滤波器而进行的。所以数字滤波器在数字信号处理中起着举足轻重的作用。 而数字滤波器的设计都要以模拟滤波器为基础的，这是因为模拟滤波器的设计方法都已发展的相当成熟，且有典型的模拟滤波器供我们选择。如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。本次课程设计将手工计算一个切比雪夫I 型的 IIR的低通模拟滤波器的系统函数，并在
7、MATLAB的辅助计算帮助下， 用双线性变换法将其转换为数字滤波器。并用 FDA设计工具分析其性能指标。关键词： IIR 切比雪夫模拟低通滤波器数字低通滤波器目录1数字滤波器的设计 . 11.1设计流程图 . 11.2手工计算 . 12滤波器的不同结构对性能指标的影响. 32.1利用直接型结构构建数字滤波器. 32.2利用级联结构构建数字滤波器 . 42.3两种结构滤波器对指标影响比较与原因分析 . 63参数字长对性能指标的影响 . 63.1参数字长取 4 位对性能指标的影响 . 73.2参数字长取 8 位对性能指标的影响 . 83.3参数字长取 12 位对性能指标的影响 . 85 3.4参数
8、字长取 16 位对性能指标的影响 . 93.5结论 . 104心得体会 . 10附录. 11参考文献 . 126 1 1数字滤波器的设计1.1设计流程图1.2手工计算1.2.1 设计要求滤波器的设计指标要求为(1) 通带截止频率?pc=?20rad=0.8326rad ?pc=0.1326Hz(2) ?10(?)20rad=0.0723rad(3)阻带截止频率 ?s=0.9049rad ?s=0.1441Hz(3)滚降 =60dB，为方便计算，所以我设置：通带最大衰减?=1db ,阻带最小衰减?=61db其中?为我编号的后四位。我的编号0201，所以 ?=2011.2.2 数字边界频率转换成模
9、拟边界频率转换关系为： =2?tan?2其中,令 T=2s计算得?=1.099 rad/s?=1.2729 rad/s?=1db?=61db=?=1.15821.2.3 设计低通切比雪夫I 型低通滤波器由公式得?-1=100.1?-1100.1?-1=2205.128读 入 数 字 滤波 器 的 技 术指标将 指 标 转 换成 归 一 化 模拟 低 通 滤 波设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和 3db 截止频率模拟低通滤波器指标转换成数字低通滤波器2 N=?-1?=15.1120 16 ?=100.1?- 1=0.5088=116arsh1=0.0893由公式求出归一化极点，k=1,2,，16
10、.?=-chsin(2?-1)?16+jch cos(2?-1)?16?2为方便计算，小数点后取两位?(p)=10.5088?216-1(?-?)16?=1将?(p)去归一化得：?( ? ) = ?(? )|?=?=10-3?0.2716?16+1.0020?15+5.3332?14+4.6028?13+11.5428?12+8.4512?11+13.0013?10+7.8952?9?1+8.1120?8+ 3.9454?7+ 2.7498?6+ 1.0105?5+ 0.4582?4+ 0.1139?3+ 0.0291?2+ 0.0037?+ 0.00031.2.4 模拟低通滤波器转换为数字低
11、通滤波器经过查资料得， 模拟低通滤波器转变为数字低通滤波器的方法有很多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。而双线性变换法更适合设计片段常数滤波器低通滤波器就属于片段常数滤波器，因此我选择用双线性变换法。?=?|S=2(1-?-1)?(1+?-1),考虑到计算复杂问题， 我便用 MATLAB的 bilinear 函数程序辅助计算得到系统函数为：H(z)= (0.0001?-1+0.0005?-2+0.0022?-3+0.0071?-4+0.0171?-5+0.0314?-6)+ (0.0449?-7+0.0505?-8+0.0449?-9+0.0314?-10+0.0171?-11
12、+0.071?-12) + (0.0022?-13+0.0005?-14+0.0001?-15)/(1 - 4.6315?-1+14.4191?-2) - (32.9831?-3+61.0573?-4-94.3555?-5+124.6373?-6-142.3673?-7) + (141.5054?-8-122.5568?-9+92.1996?-10-59.7568?-11+32.8765?-12-(14.9704?-13+ 5.4030?-14-1.4139?-15+0.2195?-16)3 2滤波器的不同结构对性能指标的影响在理想状态下， 对于同一个传递函数几乎对应着无数种等效结构，然而这些
13、结构却并不一定都能实现。 在无限参数字长的情况下， 所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。下面我们就将对比直接型（包括直接I、II 型）和级联型两种结构在本例中对性能指标的影响。在 MATLAB中可以利用 FDATOOL 工具箱构建不同类型的数字滤波器。参数如下：den=1,-4.6315,14.4191,-32.9831,61.0573,-94.3555,124.6373,-142.3613,141.5054, -122.5568,92.1996,-59.7568,32.8765, -14.9704,5.4030, -
14、1.4139,0.2195num=0.0000,0.0001,0.0005,0.0022,0.0071,0.0171,0.0314,0.0449,0.0505,0.0449,0.0314,0.0171,0.0071,0.0022,0.0005,0.0001,0.0000 图 2.1filter coefficients 工具工作界面2.1利用直接型结构构建数字滤波器图 2.1.1Direct-Form II型结构的滤波器幅频响应图4 图 2.1.2Direct-Form II型结构的滤波器幅频响应图读图可以得 Direct-Form II 结构的滤波器技术指标（ fs,fp 单位为 mHz；
15、, ,单位为dB）如表 1 所示：表 1Direct-Form II结构滤波器对性能指标的影响性能指标初始设计指标(Hz) Direct-Form II(Hz)(Hz)| 相对误差 | 0.13260.10391240.028687621.63%0.14410.14270020.00139980.97%s6165.77987-4.779877.83%p13.999452-2.999452299.94%分析：由图 2.1 和表 1 可以看出， fs 下降 0.0013998Hz ，fp 下降了 0.0286876，as上升了4.77987db，ap 上升了2.999452db。阻带的幅频响应曲线
16、更加陡峭，Direct-Form I造成性能指标的误差很大，不能忽略。2.2利用级联结构构建数字滤波器选择 Edit 下拉菜单中点击Convert to Second-order Sections 选项，将构建好的 Direct-Form II 结构的切比雪夫 I 型 IIR低通滤波器转换为级联滤波器，结果如图 5 所示。5 图 2.2.1 级联结构的滤波器幅频响应图图 2.2.2 级联结构的滤波器幅频响应图读图 2.2 可以得级联结构的滤波器技术指标（fs,fp 单位为 H； , ,单位为 dB）如表 2 所示：表 2 级联结构滤波器对性能指标的影响性能指标初始设计指标（Hz）Direct-
17、Form IIHz(Hz)| 相对误差 | 0.13260.10491940.027680620.87%0.14410.14392090.00017910.12%s6165.09189-4.091896.70%p13.238681-2.238681223.86%分析：由图 2.2 和表 2 可以看出， fs 下降了 0.0001791， fp 上升了 0.0276806，6 as下降 4.09189dB，ap下降了 2.238681dB。与上面相比误差减小， 级联结构造成性能指标误差较 Direct-Form II更小。可能是阶数比较大的原因， 他们之间的差别还不大。2.3两种结构滤波器对指标
18、影响比较与原因分析比较表 1 和表 2 发现：在参数字长仅保留了小数点后4 位的情况下， 两种结构的滤波器较初始设计在性能指标方面均有误差。但是直接型误差比级联型更大，受有限参数字长影响更大，主要表现在：直接型fs,fp, 和 与设计要求相应的性能间的差的绝对值普遍大于级联型。此外，直接型和级联型的幅频响应曲线的通带的波动均不稳定，但是级联型的稳定性要好于直接型。我们知道，直接型对应的系统函数为H(Z)=?-?=01- ?-?=1，级联型对应的系统函数为 H(Z)=A(1-?=1?-1)(1-?-1)?=1,可以分解成 H(Z)= ?1(? )?2(? ) ?3(? )。由公式的表现形式易得：
19、直接型对系数的敏感性较高， 从而使得系统的频率响应对参数的变化也特别敏感，也就是对参数的有限字长运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。而级联型的函数值的连接顺序具有较大的自由度，并且级联型滤波器每个二阶节系数单独控制一对零、 极点，有利于控制频率响应； 此外级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型就小。3参数字长对性能指标的影响在实际的数字滤波器的设计中， 由于计算机或 DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大， 造成滤波效果不佳。 下面就将以上述性能指标为依据，初始设计的切比雪夫I
20、 型数字 IIR 低通滤波器为例，研究不同参数字长对性能指标的影响。并为合适参数字长的确定探索规律。将计算获得的低通数字滤波器的系数输入图2.1所示的 filter coefficients 工具中，并点击 Import Filter 按钮，生成数字滤波器。运用FDATOOL 工具左下侧上数第三个的 Set quantization parameters 按钮，在 filter arithmetic 下拉菜单下选择Fixed Point选项，进入如图3 所示的界面。7 图 3Set quantization parameters工作界面通过改变 coefficient word length
21、的值便可以改变参与构建滤波器的参数字长。其中虚线代表理想情况，实现代表现实情况，通过比较他们之间的区别，可以看出参数字长对性能指标的影响。3.1参数字长取4 位对性能指标的影响将 coefficient word length 的值改为 4，点击下方的 Apply 按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图3.1 所示：图 3.1 中的虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为参数字长取为4 位时的滤波器幅频响应曲线。从图中可以看出：字长为4位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显， 滤波效果很差，远远不能满足设计指标的要求。8 图 3.1 参数字
22、长取 4 位时的滤波器幅频响应曲线图3.2参数字长取8 位对性能指标的影响将 coefficient word length 的值改为 8，点击下方的 Apply 按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图3.2 所示：图 3.2 参数字长取 8 位时的滤波器幅频响应曲线图由图 3.2 可以看出，当参数字长取为8 位时，幅频曲线失真度较4 位时有明显改进，但仍很明显：滤波效果很差。通带和阻带波动平缓，最小和最大衰减频率不明显，离设计指标差距仍然很大。3.3参数字长取12 位对性能指标的影响将 coefficient word length 的值改为 12，点击下方的 Apply 按钮，此
23、时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标所示：9 图 3.3 参数字长取 12位时的滤波器幅频响应曲线图由图 3.3 可以看出，当参数字长取为12 位时，幅频曲线失真进一步减小，已经初具低通滤波器的形制。 性能指标也开始接近设计要求： 但是通带最大衰减频率和阻带最小衰减频率与设计指间标误差还是很大，离设计要求距离还是较远。3.4参数字长取16 位对性能指标的影响将 coefficient word length 的值改为 16，点击下方的 Apply 按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图3.4 所示：图 3.4 参数字长取 16位时的滤波器幅频响应曲线图由图 3.4 可以看出，当参数字
24、长取为16 位及以上时，幅频曲线失真几乎为零，设计的曲线与要求的曲线几乎完全重合。截止频率， 同组带衰减也与设计要求几乎完全相同。设计的滤波器各项性能指标达到设计要求。10 3.5结论总结以上 4 个步骤发现：参数字长越长， 设计出的滤波器就越符合设计指标要求，误差越小，稳定性越好。且当参数字长达到16 及位及以上时，设计的滤波器便可达到设计性能指标。4心得体会刚开始拿到这个设计题目时， 真的是无从下手， 我把数字信号处理书看了两遍，才对我的设计题目理清了眉目，了解了制作数字滤波器的过程，首先将滤波器数字指标转换为模拟指标，用切比雪夫I 型设计模拟滤波器，再用双线性变换法将其转换为数字滤波器。
25、在这过程中也遇到了很多困难，比如在用matlab 验证我计算的结果是否正确的时候，程序一直出错， 后来经排查发现， 是一个函数名输错了， l 和 1 不分，看来千里之堤溃于蚁穴呀。 在这里衷心的感谢陈忠泽老师在设计中给予的帮助与意见，老师耐心的指导与讲解，让我在设计中受益匪浅。同时也了解了matlab功能的强大，每一个函数名都有其帮助命令系统， 也让我知道了学英语的重要性。通过这次课程设计，提高了我的自学能力， 让我知道了遇到问题要迎难而上，逃避是不会解决任何问题，只要沉下心来，慢慢看书，自然会有彻悟的那一天。11 附录由于阶数较高，为了简化计算，便用matlab 工具辅助计算，将模拟低通滤波
26、器系统函数系数转换为数字低通滤波器的系统函数。程序如下：B1 =1.0e-003 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.2716A1 = 1.0000 1.0020 5.3332 4.6028 11.5428 8.4512 13.0013 7.8952 8.1120 3.9454 2.7498 1.0105 0.4582 0.1139 0.0291 0.0037 0.0003subplot(1,2,2)Bz,Az=bilinear(B1,A1,0.5)H,f=freqz(Bz,Az,512,0.5);plot(f,20*log10(abs(H)xlabel(频率 HZ);ylabel(幅度(db)title(图 2)axis(0,0.26,-350,5)grid on参考文献1 高西全，丁玉美 .数字信号处理 .3 版.西安.西安电子科技大学出版社 .20082 万永革 .数字信号处理的 matlab 实现.科学出版社 .20123 飞思科技产品研发中心 .MATLAB7辅助信号处理与应用 .电子工业出版社 .2005
