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1、学习必备欢迎下载二次函数专题存在性问题(提高部分)类型一:线段长度如图,抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A(-1,0) 、B(3,0)两点,直线l 与抛物线交于A、C 两点,其中 C 点的横坐标为2(1)求抛物线的解析式及直线AC 的解析式;(2)P 是线段 AC 上的一个动点,过P 点作 x 轴的垂线交抛物线于E 点,求线段PE 长度的最大值;(3)点 G 是抛物线上的动点,在x 轴上是否存在点F,使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F 点坐标;如果不存在,请说明理由(2011 东莞)如图,抛物线2517144yxx与 y 轴交于
2、 A 点,过点 A 的直线与抛物线交于另一点B,过点 B 作 BCx 轴,垂足为点C(3,0). (1)求直线 AB 的函数关系式;(2)动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动,过点P 作 PNx 轴,交直线AB 于点 M,交抛物线于点N. 设点 P 移动的时间为t秒, MN 的长度为 s 个单位,求s与 t 的函数关系式,并写出t 的取值范围;(3)设在(2)的条件下(不考虑点P 与点 O,点 C 重合的情况),连接 CM ,BN,当 t 为何值时,四边形BCMN 为平行四边形?问对于所求的t 值,平行四边形 BCMN 是否菱形?请说明理由. 精选学习资料 - -
3、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页学习必备欢迎下载ENMDCBAOyx(2010 四川眉山)如图,RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为 (3,0) 、 (0,4) ,抛物线223yxbxc经过B点,且顶点在直线52x上(1)求抛物线对应的函数关系式;(2)若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;(3)若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横坐标为t,
4、MN的长度为l求l与t之间的函数关系式,并求l取最大值时,点M的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页学习必备欢迎下载类型二:面积问题(2010 重庆江津)如图,抛物线y x2bxc与 x轴交于 A( 1,0),B(3,0)两点(1)求该抛物线的解析式;(2)设 (1)中的抛物线交y轴于 C 点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 QAC 的周长最小?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在( 1)中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P,使 PBC 的面积最大?,若存在,求出点P的坐标及 PBC
5、 的面积最大值;若不存在,请说明理由(2009 广东省深圳市)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为 ( 2,0),连结 OA,将线段 OA 绕原点 O顺时针旋转 120,得到线段OB(1)求点 B 的坐标;(2)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式;(3)在( 2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使 BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由(4)如果点 P 是( 2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么PAB 是否有最大面积?若有,求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积;若没有,请说明理由O B A C y x A x y B O 精选学习资料 - -
6、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页学习必备欢迎下载(2010 绵阳)如图,抛物线y = ax2 + bx + 4 与x轴的两个交点分别为A( 4,0) 、B(2,0) ,与y轴交于点C,顶点为DE(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;(2)在直线EF上求一点H,使CDH的周长最小,并求出最小周长;(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,EFK的面积最大?并求出最大面积(2009 湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C( 1,4) ,交
7、x 轴于点 A(3,0) ,交 y 轴于点 B.(1)求抛物线和直线AB 的解析式;(2)求 CAB 的铅垂高 CD 及 SCAB ;(3)设点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,是否存在一点P,使 SP AB89SCAB,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.x C O y A B D 1 1 图 2 C E D G A x y O B F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页学习必备欢迎下载(2010 四川宜宾)将直角边长为6 的等腰 RtAOC 放在如图所示的平面直角坐标系中,点O 为坐标原
8、点,点 C、A 分别在 x、y轴的正半轴上,一条抛物线经过点A、C 及点 B( 3,0)(1)求该抛物线的解析式;(2)若点 P是线段 BC 上一动点,过点P 作 AB 的平行线交AC 于点 E,连接 AP,当 APE 的面积最大时,求点 P 的坐标;(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G,使 AGC 的面积与( 2)中 APE 的最大面积相等?若存在,请求出点G 的坐标;若不存在,请说明理由yxCBOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页学习必备欢迎下载类型三:特殊三角形(2010 四川乐山)如图所示,抛物线y
9、=x2+bx+c 与 x 轴交于 A,B 两点,与y 轴交于点C(0,2) ,连接AC,若 tanOAC=2(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(2)在抛物线的对称轴l 上是否存在点P,使 APC=90 ?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图所示,连接BC,M 是线段 BC 上(不与 B、C 重合)的一个动点,过点M 作直线 l l,交抛物线于点 N,连接 CN、BN ,设点 M 的横坐标为t当 t 为何值时, BCN 的面积最大?最大面积为多少?(2009 甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关)如图1,抛物线 yx22xk 与 x 轴交于 A、B两点,与 y 轴
10、交于点 C(0,3) (图 2、图 3 为解答备用图)(1)k_,点 A 的坐标为 _,点 B 的坐标为 _;(2)设抛物线yx22xk 的顶点为 M,求四边形ABMC 的面积;(3)在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC 的面积最大?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)在抛物线yx22xk 上求点 Q,使 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形y x B A O C 图 1 y x B A O C 图 2 y x B A O C 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页学
11、习必备欢迎下载(2009 辽宁省锦州市)如图,抛物线与x 轴交于 A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1x2,与 y 轴交于点C(0,4),其中 x1,x2是方程 x22x80 的两个根(1)求这条抛物线的解析式;(2)点 P 是线段 AB 上的动点, 过点 P 作 PEAC ,交 BC 于点 E,连接 CP,当 CPE 的面积最大时,求点 P的坐标;(3)探究:若点Q 是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使 QBC 成为等腰三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由B A y O P E C x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
12、归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页学习必备欢迎下载类型四:相似三角形(2011?临沂)如图,已知抛物线经过A( 2,0) ,B( 3,3)及原点 O,顶点为 C(1)求抛物线的解析式;(2)若点 D 在抛物线上,点E 在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形,求点 D 的坐标;(3)P 是抛物线上的第一象限内的动点,过点P 作 PMx 轴,垂足为M,是否存在点P,使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由(2009 辽宁省十二市、丹东市)已知:在平面直角坐标系中,抛物线yax2x3(a0)交
13、x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于点 C,且对称轴为直线x2(1)求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标;(2)若点 P(0,t)是 y 轴上的一个动点,请进行如下探究:探究一:如图1,设PAD 的面积为 S,令 Wt S,当 0t4 时, W 是否有最大值?如果有,求出W 的最大值和此时t 的值;如果没有,说明理由;探究二: 如图 2,是否存在以P、A、D 为顶点的三角形与RtAOC 相似?如果存在, 求点 P 的坐标;如果不存在,请说明理由y x O C B A D 图 1 y x O C B A D 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
14、 - -第 8 页,共 11 页学习必备欢迎下载(山东省德州市(德城) )如图,已知抛物线yx21 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C(1)求 A、B、C 三点的坐标(2)过点 A 作 APCB 交抛物线于点P,求四边形ACBP 的面积(3)在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点M,过 M 作 MGx 轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似?若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由A B O P C x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页学习必备欢迎下载类型五:线段求
15、和(2009 山东省菏泽市) 如图,已知抛物线yax2bxc与 y轴交于点A( 0,3) ,与 x 轴分别交于B( 1,0) 、C(5,0) 两点(1)求此抛物线的解析式;(2)若点 D 为线段 OA 的一个三等分点,求直线DC 的解析式;(3)若一个动点P 自 OA 的中点 M 出发,先到达x 轴上的某点(设为点E) ,再到达抛物线的对称轴上某点(设为点 F) ,最后运动到点A求使点 P 运动的总路径最短的点E、点 F 的坐标,并求出这个最短总路径的长(2011 广东深圳)如图13,抛物线 y=ax2bxc(a0) 的顶点为( 1,4 ) ,交 x 轴于 A、B,交 y 轴于 D,其中 B
16、点的坐标为( 3,0 )(1)求抛物线的解析式(2)如图 14,过点 A 的直线与抛物线交于点E,交 y 轴于点 F,其中 E 点的横坐标为2,若直线 PQ 为抛物线的对称轴,点G 为 PQ 上一动点,则x 轴上是否存在一点H,使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小 .若存在,求出这个最小值及G、H 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图 15,抛物线上是否存在一点T,过点 T 作 x 的垂线,垂足为M,过点 M 作直线 MNBD ,交线段 AD于点 N,连接 MD ,使 DNM BMD ,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由. O y x A B C 精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页学习必备欢迎下载(2011 福州) 已知 ,如图 11, 二次函数223yaxaxa (0)a图象的顶点为H, 与x轴交于A、B两点(B在A点右侧 ), 点H、B关于直线l:333yx对称 . (1) 求A、B两点坐标 , 并证明点A在直线l上; (2) 求二次函数解析式; (3) 过点B作直线BKAH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点 , 连接HN、NM、MK, 求HNNMMK和的最小值 . ABKHxyOl图 11ABKHxyOl备用图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页