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1、学习必备欢迎下载二次函数专题存在性问题（提高部分）类型一：线段长度如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（-1，0） 、B（3，0）两点，直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中 C 点的横坐标为2（1）求抛物线的解析式及直线AC 的解析式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过P 点作 x 轴的垂线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由（2011 东莞）如图，抛物线2517144yxx与 y 轴交于
2、 A 点，过点 A 的直线与抛物线交于另一点B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线 AB 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作 PNx 轴，交直线AB 于点 M，交抛物线于点N. 设点 P 移动的时间为t秒， MN 的长度为 s 个单位，求s与 t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点 O，点 C 重合的情况），连接 CM ，BN，当 t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？请说明理由. 精选学习资料 - -
3、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页学习必备欢迎下载ENMDCBAOyx（2010 四川眉山）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为 （3，0） 、 （0，4） ，抛物线223yxbxc经过B点，且顶点在直线52x上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若DCE是由ABO沿x轴向右平移得到的，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点M作MN平行于y轴交CD于点N设点M的横坐标为t，
4、MN的长度为l求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点M的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页学习必备欢迎下载类型二：面积问题（2010 重庆江津）如图，抛物线y x2bxc与 x轴交于 A( 1，0)，B(3，0)两点（1）求该抛物线的解析式；（2）设 （1）中的抛物线交y轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P，使 PBC 的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及 PBC
5、 的面积最大值；若不存在，请说明理由（2009 广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为 ( 2，0)，连结 OA，将线段 OA 绕原点 O顺时针旋转 120，得到线段OB（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由O B A C y x A x y B O 精选学习资料 - -
6、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2010 绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4 与x轴的两个交点分别为A（ 4，0） 、B（2，0） ，与y轴交于点C，顶点为DE（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，EFK的面积最大？并求出最大面积（2009 湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C( 1，4) ，交
7、x 轴于点 A(3，0) ，交 y 轴于点 B.（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求 CAB 的铅垂高 CD 及 SCAB ；（3）设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使 SP AB89SCAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.x C O y A B D 1 1 图 2 C E D G A x y O B F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2010 四川宜宾）将直角边长为6 的等腰 RtAOC 放在如图所示的平面直角坐标系中，点O 为坐标原
8、点，点 C、A 分别在 x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C 及点 B( 3，0)(1)求该抛物线的解析式；(2)若点 P是线段 BC 上一动点，过点P 作 AB 的平行线交AC 于点 E，连接 AP，当 APE 的面积最大时，求点 P 的坐标；(3)在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使 AGC 的面积与（ 2）中 APE 的最大面积相等?若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由yxCBOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页学习必备欢迎下载类型三：特殊三角形（2010 四川乐山）如图所示，抛物线y
9、=x2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，与y 轴交于点C（0，2） ，连接AC，若 tanOAC=2（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；（2）在抛物线的对称轴l 上是否存在点P，使 APC=90 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图所示，连接BC，M 是线段 BC 上（不与 B、C 重合）的一个动点，过点M 作直线 l l，交抛物线于点 N，连接 CN、BN ，设点 M 的横坐标为t当 t 为何值时， BCN 的面积最大？最大面积为多少？（2009 甘肃省武威、金昌、定西、白银、酒泉、嘉峪关）如图1，抛物线 yx22xk 与 x 轴交于 A、B两点，与 y 轴
10、交于点 C（0，3） （图 2、图 3 为解答备用图）（1）k_，点 A 的坐标为 _，点 B 的坐标为 _；（2）设抛物线yx22xk 的顶点为 M，求四边形ABMC 的面积；（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线yx22xk 上求点 Q，使 BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形y x B A O C 图 1 y x B A O C 图 2 y x B A O C 图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页学
11、习必备欢迎下载（2009 辽宁省锦州市）如图，抛物线与x 轴交于 A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1x2，与 y 轴交于点C（0，4），其中 x1，x2是方程 x22x80 的两个根（1）求这条抛物线的解析式；（2）点 P 是线段 AB 上的动点， 过点 P 作 PEAC ，交 BC 于点 E，连接 CP，当 CPE 的面积最大时，求点 P的坐标；（3）探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使 QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由B A y O P E C x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
12、归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页学习必备欢迎下载类型四：相似三角形（2011?临沂）如图，已知抛物线经过A（ 2，0） ，B（ 3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作 PMx 轴，垂足为M，是否存在点P，使得以 P、M、A 为顶点的三角形BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由（2009 辽宁省十二市、丹东市）已知：在平面直角坐标系中，抛物线yax2x3（a0）交
13、x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，且对称轴为直线x2（1）求该抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若点 P（0，t）是 y 轴上的一个动点，请进行如下探究：探究一：如图1，设PAD 的面积为 S，令 Wt S，当 0t4 时， W 是否有最大值？如果有，求出W 的最大值和此时t 的值；如果没有，说明理由；探究二： 如图 2，是否存在以P、A、D 为顶点的三角形与RtAOC 相似？如果存在， 求点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由y x O C B A D 图 1 y x O C B A D 图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
14、 - -第 8 页，共 11 页学习必备欢迎下载（山东省德州市（德城） ）如图，已知抛物线yx21 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx 轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由A B O P C x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页学习必备欢迎下载类型五：线段求
15、和（2009 山东省菏泽市） 如图，已知抛物线yax2bxc与 y轴交于点A( 0，3) ，与 x 轴分别交于B( 1，0) 、C(5，0) 两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点 D 为线段 OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自 OA 的中点 M 出发，先到达x 轴上的某点（设为点E） ，再到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F） ，最后运动到点A求使点 P 运动的总路径最短的点E、点 F 的坐标，并求出这个最短总路径的长（2011 广东深圳）如图13，抛物线 y=ax2bxc(a0) 的顶点为（ 1,4 ） ，交 x 轴于 A、B，交 y 轴于 D，其中 B
16、点的坐标为（ 3,0 ）（1）求抛物线的解析式（2）如图 14，过点 A 的直线与抛物线交于点E，交 y 轴于点 F，其中 E 点的横坐标为2，若直线 PQ 为抛物线的对称轴，点G 为 PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H，使 D、G、F、H 四点围成的四边形周长最小 .若存在，求出这个最小值及G、H 的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图 15，抛物线上是否存在一点T，过点 T 作 x 的垂线，垂足为M，过点 M 作直线 MNBD ，交线段 AD于点 N，连接 MD ，使 DNM BMD ，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由. O y x A B C 精选学习资料 - - -
17、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页学习必备欢迎下载（2011 福州） 已知 ,如图 11, 二次函数223yaxaxa (0)a图象的顶点为H, 与x轴交于A、B两点(B在A点右侧 ), 点H、B关于直线l:333yx对称 . (1) 求A、B两点坐标 , 并证明点A在直线l上; (2) 求二次函数解析式; (3) 过点B作直线BKAH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点 , 连接HN、NM、MK, 求HNNMMK和的最小值 . ABKHxyOl图 11ABKHxyOl备用图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
