2022年九年级数学《相似三角形》提优训练题

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1、优秀学习资料欢迎下载九年级数学相似三角形提优训练题一选择题（共10 小题）1 （2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD 中， AB=6 ，AD=9 ， BAD 的平分线交BC 于 E，交 DC 的延长线于F，BGAE 于 G，BG=，则 EFC 的周长为（）A11 B10 C9D82（2013?重庆） 如图，在平行四边形ABCD 中， 点 E 在 AD 上， 连接 CE 并延长与BA 的延长线交于点F， 若 AE=2ED ，CD=3cm ，则 AF 的长为（）A5cm B6cm C7cm D8cm 3 （2013?孝感） 如图，在 ABC 中，AB=AC=a ，BC=b（a b） 在ABC

2、 内依次作 CBD= A，DCE= CBD ，EDF= DCE则 EF 等于（）ABCD4 （2013?咸宁）如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN 都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载ABCD5 （2013?绥化）如图，点A，B，C，D 为 O 上的四个点，AC 平分 BAD ，AC 交 BD 于点 E，CE=4，CD=6 ，则 AE 的长为（）A4B5C6D76 （2013?内江）

3、如图，在?ABCD 中， E 为 CD 上一点，连接AE、BD ，且 AE、BD 交于点 F，SDEF： SABF=4：25，则 DE：EC=（）A2：5 B2：3 C3：5 D3：2 7 （2013?黑龙江）如图，在直角梯形ABCD 中， AD BC， BCD=90 ， ABC=45 ， AD=CD ， CE 平分 ACB交 AB 于点 E，在 BC 上截取 BF=AE ，连接 AF 交 CE 于点 G，连接 DG 交 AC 于点 H，过点 A 作 AN BC，垂足为 N，AN 交 CE 于点 M 则下列结论； CM=AF ； CEAF； ABF DAH ； GD 平分 AGC，其中正确的个

4、数是（）A1B2C3D48 （2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（）A1：4 B1：3 C2：3 D1：2 9 （2013?德阳）如图，在O 上有定点C 和动点 P，位于直径AB 的异侧，过点C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点 Q，已知： O 半径为，tanABC=，则 CQ 的最大值是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载A5BCD10 （2012?岳阳）如图

5、，AB 为半圆 O 的直径， AD 、BC 分别切 O 于 A、B 两点， CD 切 O 于点 E，AD 与 CD相交于 D，BC 与 CD 相交于 C，连接 OD、OC，对于下列结论： OD2=DE ?CD； AD+BC=CD ； OD=OC ； S梯形ABCD=CD?OA ； DOC=90 ，其中正确的是（）A B C D 二填空题（共10 小题）11 （2013?昭通）如图， AB 是 O 的直径，弦BC=4cm ，F 是弦 BC 的中点， ABC=60 若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发在AB 上沿着 ABA 运动，设运动时间为t（s） （ 0 t16） ，连接 EF，当

6、 BEF 是直角三角形时，t（s）的值为_ （填出一个正确的即可）12 （2013?南通）如图，在?ABCD 中， AB=6cm ，AD=9cm ， BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=4cm，则 EF+CF 的长为_cm13 （2013?菏泽）如图所示，在ABC 中， BC=6 ，E、F 分别是 AB、AC 的中点，动点P 在射线 EF 上， BP 交 CE于 D， CBP 的平分线交CE 于 Q，当 CQ=CE 时， EP+BP=_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 38

7、 页优秀学习资料欢迎下载14 （2013?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 米的位置上，则球拍击球的高度h为_15 （2012?自贡） 正方形 ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点， 且始终保持AM MN ，当 BM=_cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为_cm216 （2012?宜宾）如图，在O 中，AB 是直径，点D 是 O 上一点，点C 是的中点，弦CEAB 于点 F，过点D 的切线交 EC 的延长线于点G，连接 AD ，分别交 CF、BC 于点 P、Q，连接 AC给出下列结论： BAD= ABC ； GP=GD ； 点

8、 P 是ACQ 的外心； AP?AD=CQ ?CB其中正确的是_（写出所有正确结论的序号）17（2012?泉州）在ABC 中，P是 AB 上的动点（P 异于 A、 B） ， 过点 P 的直线截 ABC ， 使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P 的ABC 的相似线，简记为P（lx） （x 为自然数）（1）如图 ，A=90 ，B= C，当 BP=2PA 时， P（ l1） 、P（l2）都是过点P 的ABC 的相似线（其中l1BC，l2AC ） ，此外，还有_条；（2）如图 ， C=90 ， B=30 ，当=_时， P（ lx）截得的三角形面积为ABC 面积的精选学习资料 - -

9、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载18 （2012?嘉兴）如图，在RtABC 中， ABC=90 ，BA=BC 点 D 是 AB 的中点，连接CD，过点 B 作 BG 丄CD，分别交CD、 CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点G，连接 DF给出以下四个结论：； 点 F 是 GE 的中点； AF=AB； SABC=5SBDF，其中正确的结论序号是_19 （2012?泸州） 如图， n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M1，M2，M3， Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4

10、， ，BnBn+1的中点， B1C1M1的面积为S1，B2C2M2的面积为 S2， BnCnMn的面积为Sn，则 Sn=_ （用含 n 的式子表示）20 （2013?荆州）如图，ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形，在ABC 内作第 1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在 AB 上，A1、B1分别在 AC 、BC 上） ，再在 A1B1C 内接同样的方法作第2 个内接正方形A2B2D2E2，如此下去，操作n 次，则第 n 个小正方形AnBnDnEn的边长是_三解答题（共8 小题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5

11、 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载21 （2013?珠海）如图， 在 RtABC 中，C=90 ，点 P 为 AC 边上的一点， 将线段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 （点P对应点 P ） ，当 AP 旋转至 APAB 时，点 B、P、P 恰好在同一直线上，此时作P EAC 于点 E（1）求证： CBP=ABP；（2）求证： AE=CP；（3）当，BP=5时，求线段AB 的长22 （2013?湛江）如图，已知AB 是 O 的直径， P 为 O 外一点，且OPBC， P=BAC （1）求证： PA 为 O 的切线；（2）若 OB=5， OP=，求 AC 的长23 （2013?宜宾）如图，A

12、B 是 O 的直径， B=CAD （1）求证： AC 是 O 的切线；（2）若点 E 是的中点，连接AE 交 BC 于点 F，当 BD=5 ，CD=4 时，求 AF 的值24 （2013?襄阳）如图， ABC 内接于 O，且 AB 为 O 的直径 ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 O的切线 PD 交 CA 的延长线于点P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F（1）求证： DPAB ；（2）若 AC=6， BC=8，求线段PD 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 38 页优秀学习资

13、料欢迎下载25 （2013?绍兴）在 ABC 中， CAB=90 ， AD BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点， EC 与 AD 交于点 G，点 F 在BC 上（1）如图 1， AC：AB=1 ：2，EFCB，求证： EF=CD（2）如图 2， AC：AB=1 ：，EFCE，求 EF：EG 的值26 （2013?汕头）如图，O 是 RtABC 的外接圆， ABC=90 ，弦 BD=BA ，AB=12 ，BC=5 ，BEDC 交 DC 的延长线于点E（1）求证： BCA= BAD ；（2）求 DE 的长；（3）求证： BE 是 O 的切线27 （2013?朝阳）如图，直线AB 与 O 相切

14、于点A，直径 DC 的延长线交AB 于点 B，AB=8 ， OB=10 （1）求 O 的半径（2）点 E 在 O 上，连接 AE，AC ，EC，并且 AE=AC ，判断直线EC 与 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论（3）求弦 EC 的长28 （2013?成都）如图，点B 在线段 AC 上，点 D，E 在 AC 同侧， A= C=90 ，BDBE，AD=BC （1）求证： AC=AD+CE ；（2）若 AD=3 ，CE=5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接DP，作 PQ DP，交直线BE 于点 Q；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

15、-第 7 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载（i）当点 P 与 A，B 两点不重合时，求的值；（ii）当点 P 从 A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出解答过程）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载九年级数学相似三角形提优训练题参考答案与试题解析一选择题（共10 小题）1 （2013?自贡）如图，在平行四边形ABCD 中， AB=6 ，AD=9 ， BAD 的平分线交BC 于 E，交 DC 的延长线于F，BGAE 于 G，BG=，则 EFC

16、 的周长为（）A11 B10 C9D8考点 ： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质分析：判断出 ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形，DF 的长度，继而得到EC 的长度，在Rt BGE 中求出 GE，继而得到AE，求出 ABE 的周长， 根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出 EFC 的周长解答：解：在 ?ABCD 中， AB=CD=6 ， AD=BC=9 ， BAD 的平分线交BC 于点 E， BAF= DAF ， ABDF，AD BC， BAF= F=DAF ， BAE= AEB， AB=BE=6 ， AD=DF=9 ， ADF 是等腰三角形，ABE 是等腰三角形

17、， AD BC， EFC 是等腰三角形，且FC=CE， EC=FC=96=3，在 ABG 中， BGAE，AB=6 ，BG=4， AG=2， AE=2AG=4 ， ABE 的周长等于16，又 CEF BEA ，相似比为1：2， CEF 的周长为8故选 D点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大2（2013?重庆） 如图，在平行四边形ABCD 中， 点 E 在 AD 上， 连接 CE 并延长与BA 的延长线交于点F， 若 AE=2ED ，CD=3cm ，则 AF 的长为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名

18、师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载A5cm B6cm C7cm D8cm 考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：由边形 ABCD 是平行四边形，可得AB CD，即可证得 AFE DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案解答：解：四边形ABCD 是平行四边形， ABCD， AFE DEC， AE：DE=AF ：CD， AE=2ED ，CD=3cm ， AF=2CD=6cm 故选 B点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用3 （2013?孝感） 如图，在 ABC 中，

19、AB=AC=a ，BC=b（a b） 在ABC 内依次作 CBD= A，DCE= CBD ，EDF= DCE则 EF 等于（）ABCD考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析：依次判定 ABC BDCCDE DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF 的长度解答：解： AB=AC ， ABC= ACB ，又 CBD= A， ABC BDC ，同理可得： ABC BDC CDE DFE，=，=，=，=， AB=AC ， CD=CE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 38 页优

20、秀学习资料欢迎下载解得： CD=CE=，DE=，EF=故选 C点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错4 （2013?咸宁）如图，正方形ABCD 是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN 都是正方形的花圃已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）ABCD考点 ： 相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率专题 ： 压轴题分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD 的边长为a，则 BF=BC=，AN=NM=MC

21、=a，阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，小鸟在花圃上的概率为=故选 C点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积5 （2013?绥化）如图，点A，B，C，D 为 O 上的四个点，AC 平分 BAD ，AC 交 BD 于点 E，CE=4，CD=6 ，则 AE 的长为（）A4B5C6D7考点 ： 圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质分析：根据圆周角定理CAD= CDB ，继而证明 ACD DCE，设 AE=x ，则 AC=x+4 ，利用对应边成比例，可求出 x 的值解答：解：设 AE=x ，则 AC=

22、x+4 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载 AC 平分 BAD ， BAC= CAD ， CDB= BAC （圆周角定理） ， CAD= CDB， ACD DCE，=，即=，解得： x=5故选 B点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出CAD= CDB ，证明 ACD DCE 6 （2013?内江）如图，在?ABCD 中， E 为 CD 上一点，连接AE、BD ，且 AE、BD 交于点 F，SDEF： SABF=4：25，则 DE：EC=（）A2：5 B2：3

23、 C3：5 D3：2 考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出DEF BAF，再根据SDEF：SABF=4： 25 即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD 即可得出结论解答：解：四边形ABCD 是平行四边形， ABCD， EAB= DEF， AFB= DFE， DEF BAF ， SDEF：SABF=4：25， DE：AB=2 ：5， AB=CD ， DE：EC=2：3故选 B点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是

24、解答此题的关键7 （2013?黑龙江）如图，在直角梯形ABCD 中， AD BC， BCD=90 ， ABC=45 ， AD=CD ， CE 平分 ACB交 AB 于点 E，在 BC 上截取 BF=AE ，连接 AF 交 CE 于点 G，连接 DG 交 AC 于点 H，过点 A 作 AN BC，垂足为 N，AN 交 CE 于点 M 则下列结论； CM=AF ； CEAF； ABF DAH ； GD 平分 AGC，其中正确的个数是（）A1B2C3D4考点 ： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

25、 - -第 12 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载专题 ： 压轴题分析：如解答图所示：结论 正确：证明 ACM ABF 即可；结论 正确：由 ACM ABF 得 2=4，进而得 4+6=90 ，即 CE AF；结论 正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论 正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等解答：解： （1）结论 正确理由如下： 1=2， 1+CMN=90 ， 2+6=90 ， 6=CMN ，又 5= CMN ， 5=6， AM=AE=BF 易知 ADCN 为正方形， ABC 为等腰直角三角形，AB=AC 在 ACM 与ABF 中， ACM ABF （SAS

26、） ， CM=AF ；（ 2）结论 正确理由如下： ACM ABF ， 2= 4， 2+6=90 ， 4+ 6=90 ， CEAF；（ 3）结论 正确理由如下：证法一： CEAF， ADC+ AGC=180 ， A、D、C、G 四点共圆， 7=2， 2=4， 7=4，又 DAH= B=45 ， ABF DAH ；证法二： CEAF， 1=2， ACF 为等腰三角形，AC=CF ，点 G 为 AF 中点在 RtANF 中，点 G 为斜边 AF 中点， NG=AG ， MNG= 3， DAG= CNG在 ADG 与 NCG 中， ADG NCG（SAS） ， 7=1，又 1= 2=4， 7=4，又

27、 DAH= B=45 ， ABF DAH ；（ 4）结论 正确理由如下：证法一： A、D、C、G 四点共圆， DGC=DAC=45 ， DGA= DCA=45 ， DGC=DGA ，即 GD 平分 AGC 证法二： AM=AE ，CEAF， 3=4，又 2= 4， 3=2 则 CGN=180 190 MNG=180 190 3=90 1 2=45 ADG NCG，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载 DGA= CGN=45 =AGC ， GD 平分 AGC 综上所述，正确的结论是：，共 4 个故

28、选 D点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考8 （2013?恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD 中， AC 与 BD 相交于点 O，E 为 OD 的中点，连接AE 并延长交 DC 于点 F，则 DF：FC=（）A1：4 B1：3 C2：3 D1：2 考点 ： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：首先证明 DFE BAE ，然后利用对应变成比例，E 为 OD 的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC ，即可得出DF：FC 的值解答：解：在平行四

29、边形ABCD 中， ABDC，则 DFE BAE ，=， O 为对角线的交点， DO=BO ，又 E 为 OD 的中点， DE=DB，则 DE： EB=1：3， DF：AB=1 ：3， DC=AB ， DF：DC=1 ：3， DF：FC=1：2故选 D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明 DFE BAE ，然后根据对应边成比例求值9 （2013?德阳）如图，在O 上有定点C 和动点 P，位于直径AB

30、 的异侧，过点C 作 CP 的垂线，与PB 的延长线交于点 Q，已知： O 半径为，tanABC=，则 CQ 的最大值是（）A5BCD考点 ： 圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质专题 ： 计算题；压轴题分析：根据圆周角定理的推论由AB 为 O 的直径得到 ACB=90 ，再根据正切的定义得到tanABC=，然后根据圆周角定理得到A= P，则可证得 ACB PCQ，利用相似比得CQ=?PC= PC，PC 为直径时， PC 最长，此时CQ 最长，然后把PC=5 代入计算即可解答：解： AB 为 O 的直径， AB=5 ， ACB=90 ， tanABC=，=， CPCQ， PC

31、Q=90 ，而 A=P， ACB PCQ，=， CQ=?PC=PC，当 PC 最大时， CQ 最大，即PC 为 O 的直径时， CQ 最大，此时CQ= 5=故选 D点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了三角形相似的判定与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载10 （2012?岳阳）如图，AB 为半圆 O 的直径， AD 、BC 分别切 O 于 A、B 两点， CD 切 O 于点 E，AD 与 CD相交于 D，BC 与 CD

32、 相交于 C，连接 OD、OC，对于下列结论： OD2=DE ?CD； AD+BC=CD ； OD=OC ； S梯形ABCD=CD?OA ； DOC=90 ，其中正确的是（）A B C D 考点 ： 切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 计算题；压轴题分析：连接 OE， 由 AD ， DC， BC 都为圆的切线， 根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA ，CE=CB ，由 CD=DE+EC ，等量代换可得出CD=AD+BC ，选项 正确；由AD=ED ，OD 为公共边，利用HL 可得出直角三角形ADO 与直角三角形EDO 全等，可得出AOD= EOD，

33、同理得到 EOC=BOC，而这四个角之和为平角，可得出DOC 为直角，选项 正确；由 DOC 与 DEO 都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO 与三角形DOC 相似，由相似得比例可得出 OD2=DE?CD，选项 正确； 又 ABCD 为直角梯形， 利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD 的面积为AB （AD+BC ） ，将 AD+BC 化为 CD，可得出梯形面积为AB?CD，选项 错误，而 OD 不一定等于OC，选项 错误，即可得到正确的选项解答：解：连接 OE，如图所示： AD 与圆 O 相切， DC 与圆 O 相切， BC 与圆 O 相切， DA

34、O= DEO=OBC=90 ， DA=DE ， CE=CB，AD BC， CD=DE+EC=AD+BC，选项 正确；在 RtADO 和 RtEDO 中， RtADO RtEDO（HL ） ， AOD= EOD，同理 RtCEO RtCBO， EOC=BOC，又 AOD+ DOE+EOC+COB=180 ， 2（ DOE+ EOC）=180 ，即 DOC=90 ，选项 正确； DOC=DEO=90 ，又 EDO=ODC， EDO ODC，=，即 OD2=DC?DE，选项 正确；而 S梯形ABCD=AB ?（AD+BC ）=AB ?CD，选项 错误；由 OD 不一定等于OC，选项 错误，精选学习资

35、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载则正确的选项有故选 A 点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键二填空题（共10 小题）11 （2013?昭通）如图， AB 是 O 的直径，弦BC=4cm ，F 是弦 BC 的中点， ABC=60 若动点 E 以 1cm/s 的速度从 A 点出发在AB 上沿着 ABA 运动，设运动时间为t（s） （ 0 t16） ，连接 EF，当 BEF 是直角三

36、角形时，t（s）的值为4s （填出一个正确的即可）考点 ： 圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 压轴题；开放型分析：根据圆周角定理得到C=90 ，由于 ABC=60 ，BC=4cm ，根据含30 度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm ，而 F 是弦 BC 的中点，所以当EFAC 时， BEF 是直角三角形，此时E 为 AB 的中点，易得 t=4s；当从 A 点出发运动到B 点名，再运动到O 点时，此时t=12s；也可以过F 点作 AB 的垂线，点E点运动到垂足时，BEF 是直角三角形解答：解： AB 是 O 的直径， C=90 ，而 ABC=60 ，BC=4cm

37、， AB=2BC=8cm ， F 是弦 BC 的中点，当 EFAC 时， BEF 是直角三角形，此时 E 为 AB 的中点，即AE=AO=4cm ， t=4（s） 故答案为4s点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半也考查了圆周角定理的推论以及含30 度的直角三角形三边的关系12 （2013?南通）如图，在?ABCD 中， AB=6cm ，AD=9cm ， BAD 的平分线交BC 于点 E，交 DC 的延长线于点F，BGAE，垂足为G，BG=4cm，则 EF+CF 的长为5cm考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质

38、；勾股定理；平行四边形的性质专题 ： 压轴题分析：首先，由于AE 平分 BAD ，那么 BAE= DAE ，由 AD BC，可得内错角DAE= BEA ，等量代换后可证得 AB=BE ，即ABE 是等腰三角形， 根据等腰三角形“ 三线合一 ” 的性质得出AE=2AG ，而在 RtABG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载中，由勾股定理可求得AG 的值，即可求得AE 的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC 的长，即可得出答案解答：解： AE 平分 BAD ， DAE= BAE；

39、又 AD BC ， BEA= DAE= BAE ， AB=BE=6cm ， EC=96=3（cm） ， BGAE，垂足为G， AE=2AG 在 RtABG 中， AGB=90 ，AB=6cm ，BG=4cm， AG=2（cm） ， AE=2AG=4cm ； ECAD ，=，=，=，解得： EF=2（ cm） ，FC=3（cm） ， EF+CF 的长为 5cm故答案为： 5点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中13 （2013?菏泽）如图所示，在ABC 中， BC=6 ，E、F 分别是

40、AB、AC 的中点，动点P 在射线 EF 上， BP 交 CE于 D， CBP 的平分线交CE 于 Q，当 CQ=CE 时， EP+BP=12考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理专题 ： 压轴题分析：延长 BQ 交射线 EF 于 M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EFBC，根据两直线平行，内错角相等可得 M= CBM ，再根据角平分线的定义可得PBM= CBM ，从而得到M=PBM，根据等角对等边可得 BP=PM ，求出 EP+BP=EM ，再根据CQ=CE 求出 EQ=2CQ，然后根据 MEQ 和BCQ 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可精

41、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载解答：解：如图，延长BQ 交射线 EF 于 M， E、F 分别是 AB、AC 的中点， EFBC， M= CBM ， BQ 是 CBP 的平分线， PBM= CBM ， M= PBM， BP=PM， EP+BP=EP+PM=EM ， CQ=CE， EQ=2CQ，由 EFBC 得， MEQ BCQ，=2， EM=2BC=2 6=12，即 EP+BP=12故答案为： 12点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ 构造出相似三角形

42、，求出 EP+BP=EM 并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点14 （2013?巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4 米的位置上，则球拍击球的高度h为1.5 米考点 ： 相似三角形的应用分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DEBC 可知， ADE ACB ，根据其相似比即可求解解答：解： DEBC ， ADE ACB ，即=，则=， h=1.5m故答案为： 1.5 米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键

43、是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题15 （2012?自贡） 正方形 ABCD 的边长为1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点， 且始终保持AM MN ，当 BM=cm 时，四边形ABCN 的面积最大，最大面积为cm2考点 ： 相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质专题 ： 压轴题分析：设 BM=xcm ，则 MC=1 xcm，当 AM MN 时，利用互余关系可证ABM MCN ，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值解答：解：设 BM=xcm ，则 MC=1 xcm， AM

44、N=90 ， AMB+ NMC=90 ， NMC+ MNC=90 ， AMB= MNC ，又 B=C ABM MCN ，则，即，解得 CN=x（1x） ， S四边形ABCN= 1 1+x （ 1x）=x2+x+，0，当 x=cm 时， S四边形ABCN最大，最大值是 （）2+ +=cm2故答案是：，点评：本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式16 （2012?宜宾）如图，在O 中，AB 是直径，点D 是 O 上一点，点C 是的中点，弦CEAB 于点 F，过点D 的切线交 EC 的延长线于点G，连接 AD ，分别交 CF、BC 于点 P、Q，连接

45、AC给出下列结论： BAD= ABC ； GP=GD ； 点 P 是ACQ 的外心； AP?AD=CQ ?CB其中正确的是（写出所有正确结论的序号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载考点 ： 切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质专题 ： 计算题；压轴题分析：连接 BD ，由 GD 为圆 O 的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到GDP=ABD ，再由 AB 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到ACB 为直角，由CE 垂直于 AB ，得到 AFP 为直角

46、， 再由一对公共角，得到三角形APF 与三角形ABD 相似，根据相似三角形的对应角相等可得出APF 等于 ABD ，根据等量代换及对顶角相等可得出GPD=GDP，利用等角对等边可得出GP=GD ，选项 正确；由直径AB 垂直于弦CE，利用垂径定理得到A 为的中点，得到两条弧相等，再由C 为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出CAP=ACP，利用等角对等边可得出 AP=CP，又 AB 为直径得到 ACQ 为直角，利用等角的余角相等可得出PCQ=PQC，得出 CP=PQ，即 P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，选项 正确；利

47、用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC 相似，根据相似得比例得到 AC2=CQ?CB，连接 CD，同理可得出三角形ACP 与三角形ACD 相似，根据相似三角形对应边成比例可得出 AC2=AP?AD，等量代换可得出AP?AD=CQ ?CB，选项 正确解答：解： BAD 与 ABC 不一定相等，选项 错误；连接 BD ，如图所示： GD 为圆 O 的切线， GDP=ABD ，又 AB 为圆 O 的直径， ADB=90 ， CEAB ， AFP=90 ， ADB= AFP，又 PAF=BAD ， APF ABD ， ABD= APF，又 APF=

48、GPD， GDP=GPD， GP=GD，选项 正确；直径 AB CE， A 为的中点，即=，又 C 为的中点，=，=， CAP= ACP， AP=CP，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载又 AB 为圆 O 的直径， ACQ=90 ， PCQ=PQC， PC=PQ， AP=PQ，即 P为 RtACQ 斜边 AQ 的中点， P为 RtACQ 的外心，选项 正确；连接 CD，如图所示：=， B=CAD ，又 ACQ= BCA ， ACQ BCA ，=，即 AC2=CQ?CB，=， ACP= ADC

49、，又 CAP= DAC ， ACP ADC ，=，即 AC2=AP?AD ， AP?AD=CQ ?CB，选项 正确，则正确的选项序号有故答案为： 点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键17（2012?泉州）在ABC 中，P是 AB 上的动点（P 异于 A、 B） ， 过点 P 的直线截 ABC ， 使截得的三角形与ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P 的ABC 的相似线，简记为P（lx） （x 为自然数）（1）如图 ，A=90 ，B= C，当 BP=2PA 时， P（ l1） 、P（l2）都是过点P 的ABC

50、 的相似线（其中l1BC，l2AC ） ，此外，还有1条；（2）如图 ， C=90 ， B=30 ，当=或或时， P（lx）截得的三角形面积为ABC 面积的考点 ： 相似三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析：（ 1）过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则 APQ ABC ，l3是第 3 条相似线；（ 2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线总共有4 条，注意不要遗漏精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载解答：解： （1）存在另外1 条相似线如图 1 所示，过点P 作 l3BC 交 A

51、C 于 Q，则 APQ ABC ；故答案为： 1；（ 2）设 P（lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相似比为1：2如图 2 所示，共有4 条相似线： 第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点， l1AC ，=； 第 2 条 l2，此时 P 为斜边 AB 中点， l2BC，=； 第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且=，=； 第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且=，=，=故答案为：或或点评：本题引入 “ 相似线 ” 的新定义， 考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏18 （2012?嘉兴）如图，在RtABC

52、 中， ABC=90 ，BA=BC 点 D 是 AB 的中点，连接CD，过点 B 作 BG 丄CD，分别交CD、 CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点G，连接 DF给出以下四个结论：； 点 F 是 GE 的中点； AF=AB； SABC=5SBDF，其中正确的结论序号是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载考点 ： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形专题 ： 压轴题分析：首先根据题意易证得AFG CFB ，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC ，继而证得

53、正确；由点 D 是 AB 的中点，易证得BC=2BD ，由等角的余角相等，可得DBE= BCD，即可得AG=AB ，继而可得 FG=BF；即可得 AF=AC ，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB ，即可求得AF=AB ；则可得 SABC=6SBDF解答：解：在 RtABC 中， ABC=90 ， ABBC，AGAB， AGBC， AFG CFB， BA=BC ，故 正确； ABC=90 ，BGCD， DBE+ BDE= BDE+ BCD=90 ， DBE= BCD， AB=CB ，点 D 是 AB 的中点， BD=AB=CB， tanBCD=，在 RtABG 中， tanDBE=，=，

54、FG=FB， GE BF，点 F 不是 GE 的中点故 错误； AFG CFB， AF：CF=AG ：BC=1：2， AF=AC， AC=AB ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载 AF=AB ，故 正确； BD=AB，AF=AC ， SABC=6SBDF，故 错误故答案为： 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识此题难度适中，解题的关键是证得 AFG CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用19 （2012?泸州） 如图， n 个边长为1 的相邻正方形

55、的一边均在同一直线上，点 M1，M2，M3， Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4， ，BnBn+1的中点， B1C1M1的面积为S1，B2C2M2的面积为 S2， BnCnMn的面积为Sn，则 Sn= （用含 n 的式子表示）考点 ： 相似三角形的判定与性质专题 ： 压轴题；规律型分析：由 n 个边长为1 的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M1， M2， M3， Mn分别为边B1B2， B2B3， B3B4， ，BnBn+1的中点， 即可求得 B1C1Mn的面积，又由BnCnB1C1，即可得 BnCnMn B1C1Mn，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案解答：解：

56、n 个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2， M3，Mn分别为边B1B2，B2B3，B3B4， ，BnBn+1的中点， S1= B1C1 B1M1= 1 =，SB1C1M2= B1C1 B1M2= 1 =，SB1C1M3= B1C1 B1M3= 1 =，SB1C1M4= B1C1 B1M4= 1 =，SB1C1Mn= B1C1 B1Mn= 1=， BnCnB1C1， BnCnMn B1C1Mn，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载 SBnCnMn：SB1C1Mn=（）2=（）2

57、，即 Sn：=， Sn=故答案为：点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键20 （2013?荆州）如图，ABC 是斜边 AB 的长为 3 的等腰直角三角形，在ABC 内作第 1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在 AB 上，A1、B1分别在 AC 、BC 上） ，再在 A1B1C 内接同样的方法作第2 个内接正方形A2B2D2E2，如此下去，操作n 次，则第 n 个小正方形AnBnDnEn的边长是考点 ： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题 ： 规律型分析：求出第一

58、个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n 个小正方形AnBnDnEn的边长解答：解： A= B=45 ， AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，第一个内接正方形的边长=AB=1 ；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n 个小正方形AnBnDnEn的边长 =AB=故答案为：点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律三解答题（共8 小题）21 （2013?珠海）如图， 在 RtABC 中，C=90 ，点 P 为 AC 边上的一点， 将线

59、段 AP 绕点 A 顺时针方向旋转 （点P对应点 P ） ，当 AP 旋转至 APAB 时，点 B、P、P 恰好在同一直线上，此时作P EAC 于点 E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载（1）求证： CBP=ABP；（2）求证： AE=CP；（3）当，BP=5时，求线段AB 的长考点 ： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP ，根据等边对等角的性质可得APP =APP，再根据等角的余角相等证

60、明即可；（ 2）过点 P 作 PDAB 于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出 PAD= AP E，利用 “ 角角边 ” 证明 APD 和PAE 全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP ，从而得证；（ 3） 设 CP=3k， PE=2k， 表示出 AE=CP=3k ， AP =AP=5k ， 然后利用勾股定理列式求出PE=4k， 再求出 ABP和 EPP 相似， 根据相似三角形对应边成比例列式求出PA=AB ，然后在 RtABP中，利用勾股定理列式求解即可解答：（1）证明： AP 是 AP 旋转得到， AP=AP ， APP=AP P， C=90 ，AP

61、AB， CBP+BPC=90 ， ABP+ APP=90 ，又 BPC=APP （对顶角相等） ， CBP=ABP；（ 2）证明：如图，过点P作 PDAB 于 D， CBP=ABP， C=90 ， CP=DP， P EAC ， EAP+AP E=90 ，又 PAD+EAP =90 ， PAD=APE，在 APD 和 PAE 中， APD PAE（AAS ） ， AE=DP ， AE=CP；（ 3）解：=，设 CP=3k，PE=2k，则 AE=CP=3k ，AP=AP=3k+2k=5k ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共

62、38 页优秀学习资料欢迎下载在 RtAEP中， P E=4k， C=90 ，P E AC， CBP+BPC=90 ， EPP+EPP =90 ， BPC=EPP（对顶角相等） ， CBP=EPP，又 BAP=P EP=90 ， ABP EPP ，=，即=，解得 PA=AB ，在 RtABP 中，AB2+PA2=BP2，即 AB2+AB2=（5）2，解得 AB=10 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP 并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出PA

63、=AB 是解题的关键22 （2013?湛江）如图，已知AB 是 O 的直径， P 为 O 外一点，且OPBC， P=BAC （1）求证： PA 为 O 的切线；（2）若 OB=5， OP=，求 AC 的长考点 ： 切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质分析：（1）欲证明PA 为 O 的切线，只需证明OA AP；（ 2）通过相似三角形ABC PAO 的对应边成比例来求线段AC 的长度解答：（1）证明： AB 是 O 的直径， ACB=90 ， BAC+ B=90 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 38 页优秀学习资料

64、欢迎下载又 OPBC， AOP=B， BAC+ AOP=90 P=BAC P+AOP=90 ，由三角形内角和定理知PAO=90 ，即 OA AP又 OA 是的 O 的半径， PA 为 O 的切线；（ 2）解：由（ 1）知， PAO=90 OB=5， OA=OB=5 又 OP=，在直角 APO 中，根据勾股定理知PA=，由（ 1）知， ACB= PAO=90 BAC= P， ABC POA ，=，解得 AC=8 即 AC 的长度为8点评：本题考查的知识点有切线的判定与性质，三角形相似的判定与性质，得到两个三角形中的两组对应角相等，进而得到两个三角形相似，是解答（2）题的关键23 （2013?宜宾

65、）如图，AB 是 O 的直径， B=CAD （1）求证： AC 是 O 的切线；（2）若点 E 是的中点，连接AE 交 BC 于点 F，当 BD=5 ，CD=4 时，求 AF 的值考点 ： 切线的判定；相似三角形的判定与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载专题 ： 压轴题分析：（1）证明 ADC BAC ，可得 BAC= ADC=90 ，继而可判断AC 是 O 的切线（ 2）根据（ 1）所得 ADC BAC ，可得出 CA 的长度，继而判断CFA=CAF，利用等腰三角形的性质得出 AF 的长

66、度，继而得出DF 的长，在RtAFD 中利用勾股定理可得出AF 的长解答：解： （1） AB 是 O 的直径， ADB= ADC=90 ， B=CAD ， C= C， ADC BAC ， BAC= ADC=90 ， BAAC ， AC 是 O 的切线（ 2） ADC BAC （已证），=，即 AC2=BC CD=36，解得： AC=6 ，在 RtACD 中， AD=2， CAF= CAD+ DAE= ABF+ BAE= AFD ， CA=CF=6 ， DF=CA CD=2 ，在 RtAFD 中， AF=2点评：本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理

67、、相似三角形的性质，勾股定理的表达式24 （2013?襄阳）如图， ABC 内接于 O，且 AB 为 O 的直径 ACB 的平分线交O 于点 D，过点 D 作 O的切线 PD 交 CA 的延长线于点P，过点 A 作 AECD 于点 E，过点 B 作 BFCD 于点 F（1）求证： DPAB ；（2）若 AC=6， BC=8，求线段PD 的长考点 ： 切线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 证明题；压轴题分析：（1）连结 OD，由 AB 为 O 的直径，根据圆周角定理得AB 为 O 的直径得 ACB=90 ，再由ACD= BCD=45 ，则 DAB= ABD

68、=45 ，所以 DAB 为等腰直角三角形，所以DOAB ，根据切线的性质得 ODPD，于是可得到DPAB ；（ 2）先根据勾股定理计算出AB=10 ，由于 DAB 为等腰直角三角形，可得到AD=5；由 ACE 为等腰直角三角形，得到AE=CE=3，在 Rt AED 中利用勾股定理计算出DE=4，则 CD=7，易证得 PDA PCD，得到=，所以 PA=PD，PC=PD，然后利用 PC=PA+AC 可计算出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载PD解答：（1）证明：连结OD，如图， AB 为 O 的

69、直径， ACB=90 ， ACB 的平分线交O 于点 D， ACD= BCD=45 ， DAB= ABD=45 ， DAB 为等腰直角三角形， DOAB ， PD 为 O 的切线， ODPD， DPAB ；（ 2）解：在RtACB 中， AB=10， DAB 为等腰直角三角形， AD=5， AECD， ACE 为等腰直角三角形， AE=CE=3，在 RtAED 中， DE=4， CD=CE+DE=3+4=7， ABPD， PDA= DAB=45 ， APD= PCD，而 DPA=CPD， PDA PCD，=， PA=PD，PC=PD，而 PC=PA+AC ，PD+6=PD， PD=点评：本题考

70、查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径也考查了圆周角定理定理、等腰直角三角形的性质和三角形相似的判定与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载25 （2013?绍兴）在 ABC 中， CAB=90 ， AD BC 于点 D，点 E 为 AB 的中点， EC 与 AD 交于点 G，点 F 在BC 上（1）如图 1， AC：AB=1 ：2，EFCB，求证： EF=CD（2）如图 2， AC：AB=1 ：，EFCE，求 EF：EG 的值考点 ： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质专题

71、： 压轴题分析：（1）根据同角的余角相等得出CAD= B，根据 AC：AB=1 ：2 及点 E 为 AB 的中点，得出AC=BE ，再利用 AAS 证明 ACD BEF，即可得出EF=CD；（ 2）作 EHAD 于 H，EQBC 于 Q，先证明四边形EQDH 是矩形，得出 QEH=90 ，则 FEQ=GEH，再由两角对应相等的两三角形相似证明EFQ EGH ，得出 EF：EG=EQ：EH，然后在 BEQ 中，根据正弦函数的定义得出EQ=BE，在 AEH 中，根据余弦函数的定义得出EH=AE，又 BE=AE ，进而求出EF：EG 的值解答：（1）证明：如图1，在 ABC 中， CAB=90 ，A

72、D BC 于点 D， CAD= B=90 ACB AC：AB=1 ：2， AB=2AC ，点 E 为 AB 的中点， AB=2BE ， AC=BE 在 ACD 与 BEF 中， ACD BEF， CD=EF，即 EF=CD；（ 2）解：如图2，作 EHAD 于 H，EQBC 于 Q， EHAD ，EQBC，AD BC，四边形EQDH 是矩形， QEH=90 ， FEQ=GEH=90 QEG，又 EQF=EHG=90 ， EFQ EGH ， EF：EG=EQ：EH AC：AB=1 ：， CAB=90 ， B=30 在 BEQ 中， BQE=90 ， sinB=，精选学习资料 - - - - -

73、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载 EQ=BE在 AEH 中， AHE=90 ， AEH= B=30 ， cosAEH=， EH=AE点 E 为 AB 的中点， BE=AE ， EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度解题的关键是作辅助线，构造相似三角形，并且证明四边形EQDH 是矩形26 （2013?汕头）如图，O 是 RtABC 的外接圆， ABC=90 ，弦 BD=BA ，AB=12 ，BC=5 ，BED

74、C 交 DC 的延长线于点E（1）求证： BCA= BAD ；（2）求 DE 的长；（3）求证： BE 是 O 的切线考点 ： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析：（1）根据 BD=BA 得出 BDA= BAD ，再由 BCA= BDA 即可得出结论；（ 2）判断 BED CBA ，利用对应边成比例的性质可求出DE 的长度（ 3）连接 OB， OD，证明 ABO DBO ，推出 OBDE，继而判断OBDE，可得出结论解答：（1）证明： BD=BA ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 38

75、页优秀学习资料欢迎下载 BDA= BAD ， BCA= BDA （圆周角定理） ， BCA= BAD （ 2）解： BDE= CAB （圆周角定理） ， BED= CBA=90 ， BED CBA ，=，即=，解得： DE=（ 3）证明：连结OB，OD，在 ABO 和 DBO 中， ABO DBO ， DBO= ABO ， ABO= OAB= BDC， DBO= BDC， OBED， BEED， EBBO， OBBE， BE 是 O 的切线点评：本题考查了切线的判定及圆周角定理的知识，综合考查的知识点较多，解答本题要求同学们熟练掌握一些定理的内容27 （2013?朝阳）如图，直线AB 与 O

76、相切于点A，直径 DC 的延长线交AB 于点 B，AB=8 ， OB=10 （1）求 O 的半径（2）点 E 在 O 上，连接 AE，AC ，EC，并且 AE=AC ，判断直线EC 与 AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论（3）求弦 EC 的长考点 ： 切线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质分析：（1）连接 OA，交 EC 于 F，根据切线性质得出OAB=90 ，根据勾股定理求出即可；（ 2）根据 AE=AC 推出弧 AE= 弧 AC ，根据垂径定理求出OA EC，根据平行线判定推出即可；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34

77、 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载（ 3）证 OFC OAB ，求出 FC，根据垂径定理得出EC=2FC，代入求出即可解答：（1）解：连接AO ，交 EC 于 F， AB 切 O 于 A， OAAB ， OAB=90 ，在 RtOAB 中，由勾股定理得：OA=6，答： O 的半径是6（ 2）直线 EC 与 AB 的位置关系是ECAB证明： AE=AC ，弧 AE= 弧 AC， OA 过 O， OAEC， OAAB ， ECAB （ 3）解： ECAB ， OFC OAB ，=，=， FC=， OAEC，OA 过 O， EC=2FC=点评：本题考查了勾股定理，相似三角形的性质和判定，切线性质

78、，垂径定理，圆周角定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力28 （2013?成都）如图，点B 在线段 AC 上，点 D，E 在 AC 同侧， A= C=90 ，BDBE，AD=BC （1）求证： AC=AD+CE ；（2）若 AD=3 ，CE=5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接DP，作 PQ DP，交直线BE 于点 Q；（i）当点 P 与 A，B 两点不重合时，求的值；（ii）当点 P 从 A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长（直接写出结果，不必写出解答过程）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

79、-第 35 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载考点 ： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析：（1）根据同角的余角相等求出1=E，再利用 “ 角角边 ” 证明 ABD 和CEB 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE ，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；（ 2）（i） 过点 Q 作 QFBC 于 F， 根据 BFQ 和BCE 相似可得=， 然后求出QF=BF， 再根据 ADP和 FPQ 相似可得=，然后整理得到（APBF） （5AP） =0，从而求出AP=BF ，最后利用相似三角形对应边成比例可得=，从而得解；（ ii）判断出 DQ 的中点

80、的路径为BDQ 的中位线MN 求出 QF、BF 的长度，利用勾股定理求出BQ 的长度，再根据中位线性质求出MN 的长度，即所求之路径长解答：（1）证明： BDBE， 1+2=180 90 =90 ， C=90 ， 2+E=180 90 =90 ， 1=E，在 ABD 和CEB 中， ABD CEB（AAS ） ， AB=CE ， AC=AB+BC=AD+CE；（ 2） （i）如图，过点Q 作 QF BC 于 F，则 BFQ BCE，=，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载即=， QF=BF， D

81、PPQ， ADP+ FPQ=180 90 =90 ， FPQ+PQF=180 90 =90 ， ADP= FPQ，又 A=PFQ=90 ， ADP FPQ，=，即=， 5APAP2+AP?BF=3? BF，整理得，（APBF） （AP5） =0，点 P 与 A，B 两点不重合， AP 5， AP=BF ，由 ADP FPQ 得，=，=；（ ii）线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）就是BDQ 的中位线MN 由（ 2） （i）可知， QF=AP当点 P 运动至 AC 中点时， AP=4， QF= BF=QF =4在 RtBFQ 中，根据勾股定理得：BQ= MN=BQ=线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）长为点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件1=E 是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 38 页优秀学习资料欢迎下载解题的关键， （2） （i）根据两次三角形相似求出AP=BF 是解题的关键， （ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 38 页