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1、第十一章第十一章 量子跃迁量子跃迁1、量子态随时间的演化、量子态随时间的演化量子态问题的分类量子态问题的分类哈密顿量不含时的体系哈密顿量不含时的体系2、量子跃迁几率，含时微、量子跃迁几率，含时微扰论扰论量子跃迁量子跃迁含时微扰论含时微扰论3、量子跃迁理论与不含时、量子跃迁理论与不含时微扰论的关系微扰论的关系不含时微扰论的分类不含时微扰论的分类4、能量时间测不准关系、能量时间测不准关系能量时间测不准关系的能量时间测不准关系的引入引入普遍情形普遍情形5、光的吸收和辐射的半经、光的吸收和辐射的半经典处理典处理光的吸收与受激辐射光的吸收与受激辐射自发辐射的爱因斯坦理论自发辐射的爱因斯坦理论内容提要内容
2、提要111.1 量子态随时间的演化量子态随时间的演化1、量子态问题的分类、量子态问题的分类(1) 体系可能状态体系可能状态 力学量本征态与本征值问题力学量本征态与本征值问题量量子子力力学学基基本本假假定定之之一一：力力学学量量的的观观测测值值与与力力学学量相应算符的本征值对应。量相应算符的本征值对应。 例例如如，能能量量本本征征态态和和本本征征值值问问题题，假假设设哈哈密密顿顿量量不显含时间不显含时间 t，能量本征方程能量本征方程但但能能级级往往往往有有简简并并，必必须须找找到到一一组组含含哈哈密密顿顿量量在在内内的的力力学学量量完完全全集集，得得到到共共同同本本征征态态，用用一一组组量量子数
3、才能标记清楚简并的各态。子数才能标记清楚简并的各态。2(2) 体系的状态随时间的演化问题体系的状态随时间的演化问题量子力学基本假定之二就是，体系状态随时间的量子力学基本假定之二就是，体系状态随时间的演化遵守含时的薛定谔方程，即演化遵守含时的薛定谔方程，即2、哈密顿量不含时的体系、哈密顿量不含时的体系若若 H/ t = 0，则体系能量为守恒量，此时，则体系能量为守恒量，此时， (t) 可写为可写为其中，其中，U(t)为时间演化算符，为时间演化算符，U(t) = exp(-iHt/)3在能量表象中，体系任何初始态在能量表象中，体系任何初始态 (0) 均可用能量均可用能量本征态本征态 n 展开，即展
4、开，即其中其中注注意意： n 是是含含 H 在在内内的的一一组组力力学学量量完完全全集集的的共共同本征态，同本征态，n 代表一组完备的量子数。代表一组完备的量子数。4将将 t 时刻的态记为时刻的态记为 (t)，显然有，显然有特特例例：如如果果体体系系一一开开始始的的初初态态就就是是某某个个本本征征态态 k，相应的能量本征值是，相应的能量本征值是 Ek ，则，则 an = nk。便有。便有即体系以后将保持原来的能量本征态，为定态。即体系以后将保持原来的能量本征态，为定态。相相反反，如如果果体体系系初初态态就就不不处处于于某某一一个个能能量量本本征征态态，则则以以后后也也不不会会处处于于该该本本征
5、征态态，而而是是很很多多本本征征态态的的叠加。叠加。53、例题：、例题：设一个定域电子处于沿设一个定域电子处于沿 x 方向的均匀磁场方向的均匀磁场 B 中中(忽忽略电子的轨道运动略电子的轨道运动)，电子内禀磁矩与外磁场的作，电子内禀磁矩与外磁场的作用为用为设初始时刻，电子自旋态为设初始时刻，电子自旋态为 sz 的本征态的本征态 sz = /2，即即 , 求求 t 时刻的电子自旋时刻的电子自旋 (t)？6解：从哈密顿量分析可知，现在的体系能量本征解：从哈密顿量分析可知，现在的体系能量本征态为态为 x 的本征态，的本征态，记为记为 ，则则7电子的初态为电子的初态为则则所所以以811.2 量子跃迁几
6、率，含时微扰论量子跃迁几率，含时微扰论1、量子跃迁、量子跃迁 (Quantum transition)实实际际上上，关关注注的的重重点点在在于于：当当体体系系在在某某种种外外界界作作用下，体系在定态之间的跃迁几率。用下，体系在定态之间的跃迁几率。体系初态为体系初态为当外界作用当外界作用 H (t) 加上后，哈密顿量变为加上后，哈密顿量变为设设无无外外界界作作用用时时，体体系系哈哈密密顿顿量量不不显显含含时时间间，记记为为 H0，F 为为一一组组含含 H0 在在内内的的力力学学量量完完全全集集，共共同本征态记为同本征态记为 n，n 为一组完备的量子数。为一组完备的量子数。9体体系系受受 H 作作
7、用用后后， F 中中所所有有力力学学量量不不再再都都还还是是守守恒恒量量，体体系系不不再再保保持持在在原原来来的的本本征征态态，而而变变为为F 所有本征态的叠加，所有本征态的叠加，在在 t 时刻测量时刻测量 F，得到，得到 Fn 的测值几率为的测值几率为也可理解为从初态也可理解为从初态 k 跃迁到跃迁到 n 态的态的跃迁几率跃迁几率。10跃迁速率跃迁速率(Transition rate) 单位时间内的跃迁几率单位时间内的跃迁几率即，给定初始条件即，给定初始条件 如何求解如何求解 Cnk(t) ?注意：注意：令令人人感感兴兴趣趣的的量量子子跃跃迁迁是是初初态态和和末末态态的的不不同同态态之之间间
8、的的跃跃迁迁。但但由由于于能能级级一一般般有有简简并并，所所以以量量子子跃跃迁迁不不一一定定意意味味着着末末态态能能量量与与初初态态能能量量不不同同，如如完完全全弹弹性性散射，初态和末态波函数不同，但能量却相同。散射，初态和末态波函数不同，但能量却相同。11跃迁速率方程跃迁速率方程上式两边左乘上式两边左乘 k *，积分得，积分得其中其中 122、含时微扰论、含时微扰论分分 析析 ： 对对 于于 一一 般般 的的 H (t) 矩矩 阵阵 元元 Hk n 很很难难计计算算。但但如如果果 H 很很微微弱弱( H H0)，可可以以想想见见， |Cnk(t)|2 将将随随时时间间缓缓慢慢变变化化，体体系
9、系仍仍有有很很大大的的几几率率处处于于原原本本的的初初态态，即即 |Cnk(t)|2 。设微扰。设微扰 为外电场强度，为外电场强度， 为参数。求从基态到为参数。求从基态到 |n 态的态的跃迁几率。跃迁几率。解：从解：从 |0 跃迁到跃迁到 |n 态跃迁态跃迁19所以跃迁只发生在所以跃迁只发生在 |0 到到 |1即第一激发态之间即第一激发态之间20讨论：讨论：如果如果 ，微扰无限缓慢的被引入，则，微扰无限缓慢的被引入，则可见，粒子仍然保持在基态，不跃迁可见，粒子仍然保持在基态，不跃迁212、突发微扰、突发微扰 (sudden perturbation)：设体系受到了一个有限的突发微扰作用设体系受
10、到了一个有限的突发微扰作用解：按照薛定谔方程，解：按照薛定谔方程，H t22可见，有限的突发微扰并不改变体系的状态，即可见，有限的突发微扰并不改变体系的状态，即末态与初态相等。末态与初态相等。注意：有限突发微扰的时间注意：有限突发微扰的时间 远远小于体系的远远小于体系的特征特征时间时间。例例如如 衰衰变变，原原子子核核 (Z, N) (Z+1, N-1)。原原子子释释放放一一个个电电子子(电电子子速速度度接接近近光光速速)，持持续续时时间间为为 Ta/Zc, a 为为玻玻尔尔半半径径。原原子子中中1s 轨轨道道电电子子运运动动的的特征时间特征时间 (a/Z)/Z c ( = 137, 精细结构
11、常数精细结构常数)。 T (设原子序数设原子序数 Z 远小于远小于 137)衰衰变变前前原原子子中中 1s 电电子子状状态态来来不不及及改改变变，仍仍维维持持原原本的状态。本的状态。23但原子核电荷已经改变，原本的状态不能维持为但原子核电荷已经改变，原本的状态不能维持为新原子的能量本征态，特别是，不能维持为新原新原子的能量本征态，特别是，不能维持为新原子的子的 1s 态。态。试问，原本的试问，原本的 1s 轨道的电子有多大的几率处于新轨道的电子有多大的几率处于新原子的原子的 1s 态？态？对于对于 1s 轨道轨道( K 壳层壳层)电子，其波函数为电子，其波函数为24按照波函数统计诠释，测得此按照波函数统计诠释，测得此 K 电子处于新原子电子处于新原子的的 1s 态的几率为态的几率为25
