《2022年中考数学专题训练:定值和最值问题解析版》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年中考数学专题训练:定值和最值问题解析版(8页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载定值问题解1、如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形 AOCD 的顶点 A的坐标是( 0,4 ) ,现有两动点P、Q ,点 P从点 O出发沿线段OC (不包括端点 O,C)以每秒2 个单位长度的速度,匀速向点C运动,点Q从点 C出发沿线段CD (不包括端点C,D)以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点D运动 .点 P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t 秒,当 t=2 秒时 PQ=52. (1)求点 D的坐标,并直接写出t 的取值范围;(2)连接 AQ并延长交x轴于点 E,把 AE沿 AD翻折交 CD延长线于点F, 连接 EF,则A EF的面积 S是否随 t 的变化而变化?若变化
2、,求出S与 t 的函数关系式;若不变化,求出S的值 . (3)在( 2)的条件下, t 为何值时,四边形APQF是梯形?【答案】 解: (1)由题意可知,当t=2 (秒)时, OP=4 ,CQ=2 ,在 RtPCQ中,由勾股定理得:PC=2222PQCQ2 52=4,OC=OP+P C=4+4=8 。又矩形AOCD ,A(0,4) ,D( 8,4) 。t 的取值范围为:0t 4。(2)结论: AEF 的面积 S不变化。AOCD 是矩形, AD OE , AQD EQC 。CECQADDQ,即CEt84t,解得 CE=8t4t。由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4 t ,则 CF=CD+DF=8
3、t 。S=S梯形 AOCFSFCE SAOE=12( OA+CF )?OC+12CF?CE 12OA?OE=12 4 ( 8t ) 8+12( 8t )?8t4t124( 88t4t) 。化简得: S=32为定值。所以 AEF 的面积 S不变化, S=32。(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与 CF不平行,所以只有PQ AF 。由 PQ AF 可得: CPQ DAF 。CP : AD=CQ :DF,即 8 2t :8= t :4t ,化简得 t212t 16=0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页学习必备欢迎下载
4、解得: t1=6+25,t2=62 5。由( 1)可知, 0t4,t1=6+25不符合题意,舍去。当 t=62 5秒时,四边形APQF是梯形。2、如图所示,在菱形ABCD 中, AB=4 ,BAD=120 , AEF 为正三角形,点E、F 分别在菱形的边BC CD上滑动,且E、F不与 BC D重合(1)证明不论E、F 在 BC CD上如何滑动,总有BE=CF ;(2)当点 E、F在 BC CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值【答案】 解: (1)证明:如图,连接AC 四边形ABCD 为菱形, BAD=120 ,B
5、AE+ EAC=60 , FAC+ EAC=60 ,BAE= FAC 。BAD=120 , ABF=60 。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60 , AC=AB 。 ABE= AFC 。在 ABE和ACF中, BAE= FAC , AB=AC ,ABE= AFC ,ABE ACF ( ASA ) 。BE=CF 。(2)四边形AECF 的面积不变, CEF 的面积发生变化。理由如下:由( 1)得 ABE ACF ,则SABE=SACF。S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC,是定值。作 AH BC于 H点,则 BH=2 ,22AECFABC11SSBC AHBC
6、ABBH4 322四形边。由“垂线段最短”可知:当正三角形AEF的边 AE与 BC垂直时,边 AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化, 且当 AE最短时, 正三角形 AEF的面积会最小,又 SCEF=S四边形 AECFSAEF,则此时 CEF 的面积就会最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页学习必备欢迎下载SCEF=S四边形 AECFSAEF2214 32 323332。CEF的面积的最大值是3。(二)由运动产生的线段和差问题(最值问题)1、如图所示,已知A11(,y )2,B2(2, y )为反比例函数1yx
7、图像上的两点,动点 P(x,0)在 x 正半轴上运动,当线段AP与线段 BP之差达到最大时,点P的坐标是【】A. 1(,0)2 B. (1,0) C. 3(,0)2 D. 5(,0)2【答案】 D。【考点】 反比例函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,三角形三边关系。【分析】 把 A11(, y )2,B2(2, y )分别代入反比例函数1yx得: y1=2,y2=12,A(12,2) ,B(2,12) 。在 ABP中,由三角形的三边关系定理得:|APBP| AB ,延长 AB交 x 轴于 P,当 P在 P点时, PA PB=AB ,即此时线段AP与线段 BP之差达到最大。设直线
8、 AB的解析式是y=kx+b,把 A、B的坐标代入得:12=k+b21=2k+b2,解得:k=15b=2。直线AB的解析式是5yx2。当 y=0 时, x= 52,即 P(52,0) 。故选 D。2、如图,抛物线l 交 x 轴于点 A( 3,0) 、B(1,0) ,交 y 轴于点 C(0, 3) 将抛物线l 沿 y 轴翻折得抛物线l1(1)求 l1的解析式;(2)在 l1的对称轴上找出点P,使点 P到点 A的对称点A1及 C两点的距离差最大,并说出理由;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页学习必备欢迎下载【答案】 解:
9、 (1)如图 1,设经翻折后,点AB的对应点分别为A1、B1,依题意, 由翻折变换的性质可知A1(3,0) ,B1( 1,0) ,C点坐标不变,抛物线l1经过 A1(3,0) ,B1( 1, 0) ,C( 0, 3)三点,设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c,则9a+3b+c=0ab+c=0c=3,解得a=1b=2c=3。抛物线l1的解析式为:y=x22x3。(2)抛物线l1的对称轴为: x=b2=12a2,如图 2,连接 B1C并延长, 与对称轴 x=1 交于点 P,则点 P即为所求。此时, |PA1PC|=|PB1PC|=B1C。设 P为对称轴x=1 上不同于点P的任意一点,则有:|
10、PAPC|=|PB1PC| B1C (三角形两边之差小于第三边),|PAPC| |PA1 PC|,即 |PA1 PC|最大。设直线 B1C的解析式为y=kx+b,则k+b=0b=3,解得 k=b=3。直线B1C的解析式为: y= 3x3。令 x=1,得 y=6。P( 1, 6) 。3、如图,已知抛物线y=x2+bx+c 与一直线相交于A( 1,0) ,C(2,3)两点,与y 轴交于点N其顶点为D(1)抛物线及直线AC的函数关系式;(2)设点 M (3,m ) ,求使 MN+MD 的值最小时m的值;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
11、页,共 8 页学习必备欢迎下载(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线 AC上的任意一点,过点E作 EF BD交抛物线于点F,以 B,D,E,为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;(4)若 P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求 APC 的面积的最大值【答案】 解: (1)由抛物线y=x2+bx+c 过点 A( 1,0)及 C(2,3)得,1b+c=04+2b+c=3,解得b=2c=3。抛物线的函数关系式为2yx2x3。设直线 AC的函数关系式为y=kx+n,由直线AC过点 A( 1,0)及 C( 2,3)得k+n=02k+n=3,解得k=1n
12、=1。直线 AC的函数关系式为y=x+1。(2)作 N点关于直线x=3 的对称点N,令 x=0,得 y=3,即 N( 0,3) 。N( 6, 3)由22yx2x3=x1+4得D(1,4) 。设直线 DN 的函数关系式为y=sx+t ,则6s+t=3s+t=4,解得1s=521t=5。故直线DN 的函数关系式为121yx55。根据轴对称的性质和三角形三边关系,知当M ( 3,m )在直线DN 上时, MN+MD 的值最小,12118m3=555。使 MN+MD 的值最小时m的值为185。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8
13、页学习必备欢迎下载(3)由( 1) 、 (2)得 D(1, 4) ,B( 1,2) ,当 BD为平行四边形对角线时,由B 、C、D、N的坐标知,四边形BCDN 是平行四边形,此时,点E与点 C重合,即 E(2,3) 。当 BD为平行四边形边时,点 E在直线 AC上,设E(x,x+1) ,则 F(x,2x2x3) 。又BD=2若四边形BDEF 或 BDFE 是平行四边形时,BD=EF 。2x2x3x1 =2,即2xx2 =2。若2xx2=2,解得, x=0 或 x=1(舍去), E(0, 1) 。若2xx2=2,解得,117x=2,E1+ 173+ 1722,或 E11731722,。综上,满足
14、条件的点E为( 2,3) 、 (0,1) 、1 +1 7 3 +1 722,、11731722,。(4)如图,过点P作 PQ x轴交 AC于点 Q ;过点 C作 CG x轴于点 G,设 Q(x, x+1) ,则 P(x, x2+2x+3) 。22PQx2x3x1xx2()()。APCAPQCPQ1SS+SPQ AG22213127xx23x2228()()。302,当1x=2时, APC的面积取得最大值,最大值为278。4、如图,已知抛物线2yaxbxc经过 A(4,0) ,B (2,3) ,C(0,3)三点(1)求抛物线的解析式及对称轴(2)在抛物线的对称轴上找一点M ,使得 MA+MB 的
15、值最小,并求出点M的坐标(3)在抛物线上是否存在一点P,使得以点A、B 、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形?若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页学习必备欢迎下载【答案】 解: (1)抛物线2yaxbxc经过 A( 4,0) , B(2,3) ,C(0,3)三点, 16a4bc04a2bc3 c3,解得3a83b4c3。 抛 物 线 的 解 析 式 为 :233y x x384, 其 对 称 轴 为 :bx12a。(2)由 B( 2,3) ,C(0,3) ,且对称轴为x
16、=1,可知点B、C 是关于对称轴 x=1 的对称点。如图 1 所示,连接AC,交对称轴x=1 于点 M ,连接 MB ,则 MA MB=MA MC=AC ,根据两点之间线段最短可知此时 MA MB的值最小。设直线 AC的解析式为y=kxb,A( 4,0) , C (0,3) , 4kb0 b3,解得3k4b3。直线 AC的解析式为:y=34x 3。令 x=1,得 y=94。M点坐标为( 1,94) 。(3)结论:存在。如图 2 所示,在抛物线上有两个点P满足题意:若 BC AP1,此时梯形为ABCP1。由 B(2,3) ,C(0,3) ,可知 BC x轴,则 x 轴与抛物线的另一个交点 P1即
17、为所求。在233y x x384中令 y=0,解得 x1=-2,x2=4。P1( 2,0) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页学习必备欢迎下载P1A=6,BC=2 ,P1ABC 。四边形ABCP1为梯形。若 AB CP2,此时梯形为ABCP2。设 CP2与 x 轴交于点N,BC x轴,AB CP2,四边形ABCN 为平行四边形。 AN=BC=2 。N(2,0) 。设直线 CN的解析式为y=k1x+b1,则有:1112kb0b3 ,解得3k2b3。直线 CN的解析式为:y=32x+3。点 P2既在直线CN :y=32x+3 上,又在抛物线:233y x x384上,32x+3=233 x x384,化简得: x2 6x=0,解得 x1=0(舍去),x2=6。点 P2横坐标为6,代入直线CN解析式求得纵坐标为6。P2(6, 6) 。ABCN ,AB=CN ,而 CP2CN ,CP2AB 。四边形ABCP2为梯形。综上所述,在抛物线上存在点P,使得以点A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形,点P 的坐标为( 2, 0)或( 6, 6) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页