《2022年中考数学专题训练：定值和最值问题解析版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考数学专题训练：定值和最值问题解析版（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载定值问题解1、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形 AOCD 的顶点 A的坐标是（ 0,4 ） ，现有两动点P、Q ，点 P从点 O出发沿线段OC （不包括端点 O，C）以每秒2 个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点 C出发沿线段CD （不包括端点C，D）以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点D运动 .点 P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t 秒，当 t=2 秒时 PQ=52. （1）求点 D的坐标，并直接写出t 的取值范围；（2）连接 AQ并延长交x轴于点 E,把 AE沿 AD翻折交 CD延长线于点F, 连接 EF，则A EF的面积 S是否随 t 的变化而变化？若变化
2、，求出S与 t 的函数关系式；若不变化，求出S的值 . （3）在（ 2）的条件下， t 为何值时，四边形APQF是梯形？【答案】 解： （1）由题意可知，当t=2 （秒）时， OP=4 ，CQ=2 ，在 RtPCQ中，由勾股定理得：PC=2222PQCQ2 52=4，OC=OP+P C=4+4=8 。又矩形AOCD ，A（0，4） ，D（ 8，4） 。t 的取值范围为：0t 4。（2）结论： AEF 的面积 S不变化。AOCD 是矩形， AD OE ， AQD EQC 。CECQADDQ，即CEt84t，解得 CE=8t4t。由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4 t ，则 CF=CD+DF=8
3、t 。S=S梯形 AOCFSFCE SAOE=12（ OA+CF ）?OC+12CF?CE 12OA?OE=12 4 （ 8t ） 8+12（ 8t ）?8t4t124（ 88t4t） 。化简得： S=32为定值。所以 AEF 的面积 S不变化， S=32。（3）若四边形APQF是梯形，因为AP与 CF不平行，所以只有PQ AF 。由 PQ AF 可得： CPQ DAF 。CP ： AD=CQ ：DF，即 8 2t ：8= t ：4t ，化简得 t212t 16=0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载
4、解得： t1=6+25，t2=62 5。由（ 1）可知， 0t4，t1=6+25不符合题意，舍去。当 t=62 5秒时，四边形APQF是梯形。2、如图所示，在菱形ABCD 中， AB=4 ，BAD=120 ， AEF 为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC CD上滑动，且E、F不与 BC D重合（1）证明不论E、F 在 BC CD上如何滑动，总有BE=CF ；（2）当点 E、F在 BC CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值【答案】 解： （1）证明：如图，连接AC 四边形ABCD 为菱形， BAD=120 ，B
5、AE+ EAC=60 ， FAC+ EAC=60 ，BAE= FAC 。BAD=120 ， ABF=60 。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60 ， AC=AB 。 ABE= AFC 。在 ABE和ACF中， BAE= FAC ， AB=AC ，ABE= AFC ，ABE ACF （ ASA ） 。BE=CF 。（2）四边形AECF 的面积不变， CEF 的面积发生变化。理由如下：由（ 1）得 ABE ACF ，则SABE=SACF。S四边形 AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值。作 AH BC于 H点，则 BH=2 ，22AECFABC11SSBC AHBC
6、ABBH4 322四形边。由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边 AE与 BC垂直时，边 AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化， 且当 AE最短时， 正三角形 AEF的面积会最小，又 SCEF=S四边形 AECFSAEF，则此时 CEF 的面积就会最大精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载SCEF=S四边形 AECFSAEF2214 32 323332。CEF的面积的最大值是3。（二）由运动产生的线段和差问题（最值问题）1、如图所示，已知A11(,y )2，B2(2, y )为反比例函数1yx
7、图像上的两点，动点 P(x,0)在 x 正半轴上运动，当线段AP与线段 BP之差达到最大时，点P的坐标是【】A. 1(,0)2 B. (1,0) C. 3(,0)2 D. 5(,0)2【答案】 D。【考点】 反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形三边关系。【分析】 把 A11(, y )2，B2(2, y )分别代入反比例函数1yx得： y1=2，y2=12，A（12，2） ，B（2，12） 。在 ABP中，由三角形的三边关系定理得：|APBP| AB ，延长 AB交 x 轴于 P，当 P在 P点时， PA PB=AB ，即此时线段AP与线段 BP之差达到最大。设直线
8、 AB的解析式是y=kx+b，把 A、B的坐标代入得：12=k+b21=2k+b2，解得：k=15b=2。直线AB的解析式是5yx2。当 y=0 时， x= 52，即 P（52，0） 。故选 D。2、如图，抛物线l 交 x 轴于点 A（ 3，0） 、B（1，0） ，交 y 轴于点 C（0， 3） 将抛物线l 沿 y 轴翻折得抛物线l1（1）求 l1的解析式；（2）在 l1的对称轴上找出点P，使点 P到点 A的对称点A1及 C两点的距离差最大，并说出理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载【答案】 解：
9、 （1）如图 1，设经翻折后，点AB的对应点分别为A1、B1，依题意， 由翻折变换的性质可知A1（3，0） ，B1（ 1，0） ，C点坐标不变，抛物线l1经过 A1（3，0） ，B1（ 1， 0） ，C（ 0， 3）三点，设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则9a+3b+c=0ab+c=0c=3，解得a=1b=2c=3。抛物线l1的解析式为：y=x22x3。（2）抛物线l1的对称轴为： x=b2=12a2，如图 2，连接 B1C并延长， 与对称轴 x=1 交于点 P，则点 P即为所求。此时， |PA1PC|=|PB1PC|=B1C。设 P为对称轴x=1 上不同于点P的任意一点，则有：|
10、PAPC|=|PB1PC| B1C （三角形两边之差小于第三边），|PAPC| |PA1 PC|，即 |PA1 PC|最大。设直线 B1C的解析式为y=kx+b，则k+b=0b=3，解得 k=b=3。直线B1C的解析式为： y= 3x3。令 x=1，得 y=6。P（ 1， 6） 。3、如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与一直线相交于A（ 1，0） ，C（2，3）两点，与y 轴交于点N其顶点为D（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点 M （3，m ） ，求使 MN+MD 的值最小时m的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4
11、页，共 8 页学习必备欢迎下载（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线 AC上的任意一点，过点E作 EF BD交抛物线于点F，以 B，D，E，为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若 P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求 APC 的面积的最大值【答案】 解： （1）由抛物线y=x2+bx+c 过点 A（ 1，0）及 C（2，3）得，1b+c=04+2b+c=3，解得b=2c=3。抛物线的函数关系式为2yx2x3。设直线 AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点 A（ 1，0）及 C（ 2，3）得k+n=02k+n=3，解得k=1n
12、=1。直线 AC的函数关系式为y=x+1。（2）作 N点关于直线x=3 的对称点N，令 x=0，得 y=3，即 N（ 0，3） 。N（ 6， 3）由22yx2x3=x1+4得D（1，4） 。设直线 DN 的函数关系式为y=sx+t ，则6s+t=3s+t=4，解得1s=521t=5。故直线DN 的函数关系式为121yx55。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M （ 3，m ）在直线DN 上时， MN+MD 的值最小，12118m3=555。使 MN+MD 的值最小时m的值为185。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8
13、页学习必备欢迎下载（3）由（ 1） 、 （2）得 D（1， 4） ，B（ 1，2） ，当 BD为平行四边形对角线时，由B 、C、D、N的坐标知，四边形BCDN 是平行四边形，此时，点E与点 C重合，即 E（2，3） 。当 BD为平行四边形边时，点 E在直线 AC上，设E（x，x+1） ，则 F（x，2x2x3） 。又BD=2若四边形BDEF 或 BDFE 是平行四边形时，BD=EF 。2x2x3x1 =2，即2xx2 =2。若2xx2=2，解得， x=0 或 x=1（舍去）， E（0， 1） 。若2xx2=2，解得，117x=2，E1+ 173+ 1722，或 E11731722，。综上，满足
14、条件的点E为（ 2，3） 、 （0，1） 、1 +1 7 3 +1 722，、11731722，。（4）如图，过点P作 PQ x轴交 AC于点 Q ；过点 C作 CG x轴于点 G，设 Q（x， x+1） ，则 P（x， x2+2x+3） 。22PQx2x3x1xx2（）（）。APCAPQCPQ1SS+SPQ AG22213127xx23x2228（）（）。302，当1x=2时， APC的面积取得最大值，最大值为278。4、如图，已知抛物线2yaxbxc经过 A（4，0） ，B （2，3） ，C（0，3）三点（1）求抛物线的解析式及对称轴（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得 MA+MB 的
15、值最小，并求出点M的坐标（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B 、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载【答案】 解： （1）抛物线2yaxbxc经过 A（ 4，0） ， B（2，3） ，C（0，3）三点， 16a4bc04a2bc3 c3，解得3a83b4c3。 抛 物 线 的 解 析 式 为 ：233y x x384， 其 对 称 轴 为 ：bx12a。（2）由 B（ 2，3） ，C（0，3） ，且对称轴为x
16、=1，可知点B、C 是关于对称轴 x=1 的对称点。如图 1 所示，连接AC，交对称轴x=1 于点 M ，连接 MB ，则 MA MB=MA MC=AC ，根据两点之间线段最短可知此时 MA MB的值最小。设直线 AC的解析式为y=kxb，A（ 4，0） ， C （0，3） ， 4kb0 b3，解得3k4b3。直线 AC的解析式为：y=34x 3。令 x=1，得 y=94。M点坐标为（ 1，94） 。（3）结论：存在。如图 2 所示，在抛物线上有两个点P满足题意：若 BC AP1，此时梯形为ABCP1。由 B（2，3） ，C（0，3） ，可知 BC x轴，则 x 轴与抛物线的另一个交点 P1即
17、为所求。在233y x x384中令 y=0，解得 x1=-2，x2=4。P1（ 2，0） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载P1A=6，BC=2 ，P1ABC 。四边形ABCP1为梯形。若 AB CP2，此时梯形为ABCP2。设 CP2与 x 轴交于点N，BC x轴，AB CP2，四边形ABCN 为平行四边形。 AN=BC=2 。N（2，0） 。设直线 CN的解析式为y=k1x+b1，则有：1112kb0b3 ，解得3k2b3。直线 CN的解析式为：y=32x+3。点 P2既在直线CN ：y=32x+3 上，又在抛物线：233y x x384上，32x+3=233 x x384，化简得： x2 6x=0，解得 x1=0（舍去），x2=6。点 P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为6。P2（6， 6） 。ABCN ，AB=CN ，而 CP2CN ，CP2AB 。四边形ABCP2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P 的坐标为（ 2， 0）或（ 6， 6） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
