矩阵相似对角化

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1、第第5.25.2节节 矩阵相似对角化矩阵相似对角化慨茎蔫绍朝蓟掠遥廷硅籽糟粗匆开柞襟颐府播朝血泥捏翔裔户葛惯怔诗裹矩阵相似对角化矩阵相似对角化1主要内容主要内容一、矩阵相似的概念一、矩阵相似的概念二、矩阵相似对角形二、矩阵相似对角形三、小结三、小结四、思考与练习四、思考与练习灯皆粳扫建宵践恫月峡崇紧惜陪告料够忽湛掇嗜掸匈十邑锻指夷彩谓蛆亿矩阵相似对角化矩阵相似对角化2一一. 相似矩阵的概念相似矩阵的概念定义定义: 设设 都是都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得，使得则称矩阵则称矩阵 是矩阵是矩阵 的的相似矩阵，相似矩阵，对对 进行运算进行运算 称为对称为对 进行进行相似变

2、换，相似变换，可逆矩阵可逆矩阵 称为把矩阵称为把矩阵 变成矩阵变成矩阵 的的相似变换矩阵。相似变换矩阵。或称矩阵或称矩阵 与矩阵与矩阵 相似，相似，记作记作注：注：1 矩阵相似是一种等价关系矩阵相似是一种等价关系（1）反身性：）反身性：（2）对称性：若）对称性：若 则则（3）传递性：若）传递性：若 则则驶亭史鹤翻兽雀膊榔役曲宁留盐岂蹭朴酪役纶街伙浅享恐颖掣般午入筷翱矩阵相似对角化矩阵相似对角化3分析分析: ,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 ,使使2.若若 与与 相似相似, 则则 与与 相似相似( 为正整数为正整数).3.若若,则则其中其中 是任意常数是任意常数.分析分析:产揣延诫辗虎梳蓝矗逮拄山

3、匿潍搬冈汽污翠纂躬猴帧抱侥嗣盛颈检努未戏矩阵相似对角化矩阵相似对角化4定理定理1: 阶方阵阶方阵 相似相似,则有则有和和 的特征多项式相同的特征多项式相同,即即从而从而 和和 的特征值相同的特征值相同注注:满足满足(1),(2),(3)时时A和和B不一定相似不一定相似辨裸躁蹬焙悟呻窖蒜宪帮乙琴技恶菠肌械趴对辜狡合乓陇璃廉钩银纯蔑覆矩阵相似对角化矩阵相似对角化5推论：推论：若矩阵若矩阵 与对角阵与对角阵 相似，相似，则则 是是 的的 个特征值。个特征值。恐绢特盈帜众铝扎陋蔽恭你势怔驼获峡障甸辕结冶璃亥赚抒华湛厕毒戍榔矩阵相似对角化矩阵相似对角化6例例1:设矩阵设矩阵 与与 相似相似,求求.解解:

4、利用利用得到方程得到方程,再利用再利用得到得到镐跑撰卓哦裤耐邯碴循俐劝钨劫革橙钞冈挣怕勃糯斡似省衡癌未茨遗文典矩阵相似对角化矩阵相似对角化7利用对角矩阵计算矩阵的方幂利用对角矩阵计算矩阵的方幂若若则则k个个的多项式的多项式饵擅轰栋雇簿缕蓝赠沾悄例峻勒悲轻猪搽钥碟药乱八弯州骂柳甸栖坠回胆矩阵相似对角化矩阵相似对角化8特别地特别地,若可逆矩阵若可逆矩阵 ,使使为对角矩阵为对角矩阵,则则对于对角矩阵对于对角矩阵 ,有有悠巨桔钾旋疚贼昨光桥髓工驶购今晒帜邵唱柯紧疤寝疫狮辟版垃毒枝郡胡矩阵相似对角化矩阵相似对角化9二二. 矩阵相似对角形矩阵相似对角形对对 阶方阵阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵，如果可以找

5、到可逆矩阵 ，使得使得 为对角阵，就称为为对角阵，就称为把方阵把方阵 对角化。对角化。定义定义:定理定理2： 阶矩阵阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）可对角化（与对角阵相似） 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。(逆命题不成立逆命题不成立)推论推论1 :若若 阶方阵阶方阵 有有 个互不相同的特征值个互不相同的特征值,则则 可对角化。（与对角阵相似）可对角化。（与对角阵相似）僵庞郝挟挤搽伍拢林雀啸捍中玛纯只去滴淳澜呼婚寿九寅身立祷芽歧婴薄矩阵相似对角化矩阵相似对角化10推论推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件是的阶方阵相似于对角阵的充要条件是的每一个每一个重特征值对应个线性无关的特征

6、向量重特征值对应个线性无关的特征向量说明：说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化宏枫牲垣督佐蜗琶胆毡睡屹责孰屋赖一聂吝腕币涩背牧铣软瘩极兆响浆疽矩阵相似对角化矩阵相似对角化11例例1:1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？解解: :得得诲楚殿狂蜕问依材冗妨了佃厄址润介支缀巍喀何壬向义嗓馋糯蕊瓤押噎跪矩阵相似对角化矩阵相似对角化12得基础解系得基础解系当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为楚渺

7、介邵含锄雁谆岸茸腥硅怜巳冬翻规疥喀狂朗扇脆尊接很呸侧五静炒庐矩阵相似对角化矩阵相似对角化13得基础解系得基础解系线性无关线性无关即即A有有3个线性无关的特征向量，所以个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。可以对角化。怔酞敬赠宴睹享砷峨驰艺蓉诉稗坛未淄冒拄女壤祥冕愈池敖殿幻粳楞饭馆矩阵相似对角化矩阵相似对角化14得基础解系得基础解系所以所以 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为作考纪谢壶耙物础桅片吠嘲脯叙马置钞涎假邵襄辈需纫扒窄爽卵拥炒竖兴矩阵相似对角化矩阵相似对角化15三小结三小结相似矩阵相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之

8、间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：(1) 与相似，则与相似，则(2)若与相似，且可逆，则也可逆，且若与相似，且可逆，则也可逆，且与相似与相似(3)与相似，则与相似，则 与与 相似相似.为常数为常数(4)与相似，而是一多项式，则与与相似，而是一多项式，则与相似相似娱诚宗胀溅弹腻其浇罢必础制逐银坯东构储井涵氓童浅皑芒挫媒狮咆拴惹矩阵相似对角化矩阵相似对角化16相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵相似变换是对方阵进行的一种运算，它把相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成变成而可逆矩阵而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩

9、阵称为进行这一变换的相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算化为比较简单的对角矩阵的运算拇着木蔷竹货处红虚央乱下洒去描炉纽叛侗蒜冒补呢坟绣霄喉贮儡献淘巡矩阵相似对角化矩阵相似对角化17解：解：例例2 2：设设若能对角化，求出可逆矩阵若能对角化，求出可逆矩阵 使得使得 为对角阵。为对角阵。问问 能否对角化

10、？能否对角化？四思考与练习四思考与练习踪鳞弊吮历绞留绞幕薛禹庶撕嫂娜诸载覆烬蒙惕嚏希楚臆四佃瓢炙臻仲省矩阵相似对角化矩阵相似对角化18得基础解系得基础解系当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为当当 时，齐次线性方程组为时，齐次线性方程组为孜硼睡匆衅将戴忿奋隔拓摊挨阁便矛淬魏梅间陌棋捞播夯强块浩忻艳斩锚矩阵相似对角化矩阵相似对角化19得基础解系得基础解系线性无关，线性无关，可以对角化。可以对角化。令令则有则有缘捌恩耳夹菊包驼职乳疮屠谅卢肋渭颂写逻永摧罪楞匡珊岁茹卒绵朱陇胚矩阵相似对角化矩阵相似对角化20注意：注意：若令若令即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的的列向量和对角矩阵中特征

11、值的位置要相互对应位置要相互对应则有则有通艺兑唇夯赏厄藻周卯坐它楼剃台莹蠢道杨诗赌目惭芹投秧破随眶倡芯浅矩阵相似对角化矩阵相似对角化21把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下可对角化的矩阵主要有以下几种应用：几种应用：1. 由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵例例3：已知方阵已知方阵 的特征值是的特征值是相应的特征向量是相应的特征向量是求矩阵求矩阵超询廊朽敷嫡噶蛔掉众载凄沮料蓉钠菏辰公烧箭那峙淬矩疯朱孟飘享捉糙矩阵相似对角化矩阵相似对角化22解：

12、解：因为特征向量是因为特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵 是是3 阶方阵。阶方阵。因为因为 有有 3 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得其中其中求得求得戮宙京蕊党均戚沃肿婴袁查棋忿蠢够狗椒俏咸筹挨花舌托茁贸嚷共份喳添矩阵相似对角化矩阵相似对角化23蜘炭佳滋先咋长锰承在金悉牲着化骗创渤究镜判迁赫旱虽破豹颅坚肆胖奋矩阵相似对角化矩阵相似对角化242. 求方阵的幂求方阵的幂例例4：设设 求求解：解：可以对角化。可以对角化。齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵令令 得基础解系得基础解系:剧婚裹

13、剑呵击朝听腻矗梨撂遮为巾啤怎贝晨缕汞恼淖琅漓脊弗粉碱衍阜怂矩阵相似对角化矩阵相似对角化25齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，系数矩阵系数矩阵令令 得基础解系得基础解系:令令求得求得即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得异蒸旨宠点仇广围涕套钳常网俞散他键杆饶蛊褥豪败淤咱设亿变眺丹狼淡矩阵相似对角化矩阵相似对角化26艾藕每驴沤蛛予矮布稀绝斥障外勾按尸剪弛簇毒拐矢喧预转涩惟别浸情晨矩阵相似对角化矩阵相似对角化273. 求行列式求行列式例例5：设设 是是 阶方阵，阶方阵， 是是 的的 个特征值，个特征值，计算计算解解：方法方法1 求求 的全部特征值，的全部特征值， 再求乘积即为行列式的

14、值。再求乘积即为行列式的值。设设的特征值是的特征值是即即的特征值是的特征值是鸦安囱硬轰喂跪彰该艘木向糖雍蔑贰楼谭贫祸袁拔葫克犹榴瓢找卯勉融巳矩阵相似对角化矩阵相似对角化28方法方法2：已知已知 有有 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化，可以对角化，即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得肩搓莲笆烦薛逃贬穗铣辊圃径腋韩捌个乎丹碾庇允烩肯修缄遵城分来鸿珐矩阵相似对角化矩阵相似对角化294. 判断矩阵是否相似判断矩阵是否相似解：解：方法方法1的特征值为的特征值为令令3阶矩阵阶矩阵 有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。例例6：已知已知3阶矩阵阶矩

15、阵 的特征值为的特征值为1，2，3，设设问矩阵问矩阵 能否与对角阵相似？能否与对角阵相似？砰喜躲悬宠扰季氰笔郡揽两床腿椭唤磷招党徊侍戊旁副配时罐贝枷阐帜寡矩阵相似对角化矩阵相似对角化30即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得方法方法2：因为矩阵因为矩阵 有有3个不同的特征值，所以可以对角化，个不同的特征值，所以可以对角化，所以矩阵所以矩阵 能与对角阵相似。能与对角阵相似。匪央画戚积夺赚恨衙邻隙澜旭陶燃藕绢猴邑膏赤谩颓昆奸爵颊机庇浊馈炳矩阵相似对角化矩阵相似对角化31例例7：设设 阶方阵阶方阵 有有 个互异的特征值，个互异的特征值， 阶方阵阶方阵 与与 有相同的特征值。有相同的特征值。证明：证明：与与 相似。相似。证：证：设设 的的n个互异的特征值为个互异的特征值为则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 , 使得使得刘及由懈堕墨推魄拎桂辙朱沤暇汝憨尚起掣扼脂驮北篙自揍尾碴找勺晌擅矩阵相似对角化矩阵相似对角化32又又也是矩阵也是矩阵 的特征值，的特征值，所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 , 使得使得即即即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得即即 与与 相似。相似。娜露唁疾拿禹郧瘟朝饯嫌教陵诱茸刮妹避烃懈喉钙几矣渭南顿屈场夕谚气矩阵相似对角化矩阵相似对角化33