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1、学习好资料欢迎下载1 2012 中考数学压轴题选讲(一)1.如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点 . (1) 求抛物线的解析式. (2)已知 AD = AB (D 在线段 AC 上),有一动点P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段 BC 移动,经过 t 秒的移动,线段PQ 被 BD垂直平分,求t 的值;(3)在( 2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使 MQ+MC 的值最小?若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。(注:抛物线2yaxbxc的对称轴为2bxa)解:设抛物线的解析式为
2、2(0)yaxbxca,依题意得: c=4 且934016440abab解得1313ab所以所求的抛物线的解析式为211433yxx(2)连接 DQ,在 RtAOB 中,2222345ABAOBO所以 AD=AB= 5 ,AC=AD+CD=3 + 4 = 7 ,CD = AC - AD = 7 5 = 2 因为 BD 垂直平分 PQ,所以 PD=QD,PQBD,所以 PDB=QDB 因为 AD=AB ,所以 ABD= ADB ,ABD= QDB,所以 DQAB 所以 CQD=CBA 。CDQ=CAB ,所以 CDQ CAB DQCDABCA即210,577DQDQ精选学习资料 - - - -
3、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页学习好资料欢迎下载2 所以 AP=AD DP = AD DQ=5 107=257,2525177t所以 t 的值是257(3)答对称轴上存在一点M,使 MQ+MC 的值最小理由:因为抛物线的对称轴为122bxa所以 A(- 3,0),C(4,0)两点关于直线12x对称连接 AQ 交直线12x于点 M, 则 MQ+MC 的值最小过点Q 作 QEx 轴,于 E, 所以 QED=BOA=90 DQAB , BAO= QDE,DQE ABOQEDQDEBOABAO即107453QEDE所以QE=87,DE=67,所以
4、OE = OD + DE=2+67=207,所以 Q(207,87)设直线 AQ 的解析式为(0)ykxmk则2087730kmkm由此得8412441km所以直线AQ 的解析式为8244141yx联立128244141xyx由此得128244141xyx所以 M128(,)241则:在对称轴上存在点M128(,)241,使 MQ+MC 的值最小。2.如图 9,在平面直角坐标系中,二次函数)0(2acbxaxy的图象的顶点为D 点,与 y 轴交于 C点,与 x 轴交于 A、B 两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为( 3,0),OBOC ,tanACO 31(1)求这个二次函数的表达式(2)
5、经过 C、D 两点的直线, 与 x 轴交于点 E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页学习好资料欢迎下载3 (3)如图 10,若点 G(2,y)是该抛物线上一点,点P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,APG 的面积最大?求出此时P 点的坐标和 APG 的最大面积 . (1)由已知得: C(0,3),A(1,0) 1分将 A、B、C 三点的坐标代入得30390c
6、cbacba解得:321cba所以这个二次函数的表达式为:322xxy(2)存在, F 点的坐标为( 2, 3)理由:易得D(1,4),所以直线CD 的解析式为:3xyE 点的坐标为( 3,0),由 A、C、E、F 四点的坐标得: AECF2,AECF 以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形,存在点F,坐标为( 2,3)(3)过点 P 作 y 轴的平行线与AG 交于点 Q,易得 G(2,3),直线 AG 为1xy设 P(x,322xx),则 Q(x,x1), PQ22xx3)2(212xxSSSGPQAPQAPG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
7、 - - - -第 3 页,共 13 页学习好资料欢迎下载4 当21x时, APG 的面积最大,此时P 点的坐标为415,21,827的最大值为APGS3.如图,已知抛物线与x 轴交于 A(1,0)、 B(3,0)两点,与y 轴交于点 C(0,3)。求抛物线的解析式;设抛物线的顶点为D, 在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P, 使得 PDC 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P 的坐标 ;若不存在,请说明理由; 若点 M 是抛物线上一点,以B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标。解析:抛物线与y 轴交于点 C(0,3),设抛物线解析式为)0(32abxaxy,根据题
8、意,得, 0339, 03baba,解得.2, 1ba抛物线的解析式为322xxy存在 . 由322xxy得,D 点坐标为( 1,4),对称轴为x1. 若以 CD 为底边,则 PDPC,设 P 点坐标为 (x,y),根据勾股定理,得2222)4()1()3(yxyx,即 y4x. 又 P 点(x,y)在抛物线上,3242xxx,即0132xx解得253x,1253,应舍去 .253x. 2554xy,即点 P 坐标为255,253. 若以 CD 为一腰,因为点P 在对称轴右侧的抛物线上,由抛物线对称性知,点P 与点 C 关于直线 x1对称,此时点P 坐标为( 2,3)。精选学习资料 - - -
9、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页学习好资料欢迎下载5 符合条件的点P 坐标为255,253或(2,3). 由 B(3,0),C(0,3),D(1,4),根据勾股定理, 得 CB23,CD2,BD52,,20222BDCDCB,BCD 90, 设对称轴交x 轴于点 E,过 C 作 CMDE,交抛物线于点M,垂足为 F,在 RtDCF 中,CFDF1, CDF45, 由抛物线对称性可知,CDM 24590,点坐标 M 为( 2,3),DM BC, 四边形 BCDM 为直角梯形 , 由 BCD90及题意可知,以 BC 为一底时,顶点M 在抛物
10、线上的直角梯形只有上述一种情况; 以 CD 为一底或以BD 为一底,且顶点M 在抛物线上的直角梯形均不存在。综上所述,符合条件的点M 的坐标为( 2,3)。4.已知:抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上, 线段 OB、OC 的长(OBOC)是方程 x210x160 的两个根,且抛物线的对称轴是直线x2(1)求 A、B、C 三点的坐标;(2)求此抛物线的表达式;(3)求 ABC 的面积;(4)若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点A、点 B 不重合),过点E 作 EFAC 交 BC于点 F,
11、连接 CE,设 AE 的长为 m,CEF 的面积为 S,求 S与 m 之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围;(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判断此时 BCE 的形状;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页学习好资料欢迎下载6 解:( 1)解方程 x210x160 得 x12,x28点 B 在 x 轴的正半轴上,点C 在 y 轴的正半轴上,且OBOC点 B 的坐标为( 2,0),点 C 的坐标为( 0,8)又抛物线 yax2b
12、xc 的对称轴是直线 x2 由抛物线的对称性可得点A 的坐标为( 6,0)A、B、C 三点的坐标分别是A(6,0)、B(2,0)、C(0,8)(2)点 C(0,8)在抛物线 yax2bxc 的图象上c8,将 A(6,0)、B(2,0)代入表达式 yax2bx8,得036a6b804a2b8解得a23b83所求抛物线的表达式为y23x283x8(3)AB8,OC8SABC 12 8 8=32 (4)依题意, AEm,则 BE8m,OA6,OC8,AC10 EFACBEFBACEFACBEAB即EF108m8EF405m4过点 F 作 FGAB,垂足为 G,则 sinFEGsinCAB45FGEF
13、45FG45405m48mSSBCESBFE12(8m) 812(8m)(8m)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页学习好资料欢迎下载7 12(8m)(88m)12(8m)m12m24m自变量 m 的取值范围是 0m8(5)存在理由: S12m24m12(m4)28且120,当 m4 时,S有最大值, S最大值8 m4,点 E 的坐标为( 2,0)BCE 为等腰三角形5.已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为A(-1,0),与 y 轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点B 的坐标;
14、当点 C 在以 AB 为直径的 P 上时,求抛物线的解析式;坐标平面内是否存在点M,使得以点 M 和中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由解:对称轴是直线:1x,点 B 的坐标是 (3,0)说明:每写对1 个给 1 分,“ 直线” 两字没写不扣分如图,连接PC,点 A、B 的坐标分别是A(-1,0) 、B (3,0),AB 4ABPC242121在 RtPOC 中, OPPAOA211,POPCOC3122222b3当01,yx时,aa032a33xxy3332332精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
15、- - - - - - -第 7 页,共 13 页学习好资料欢迎下载8 存在理由:如图,连接AC、BC设点 M 的坐标为),(yxM当以 AC 或 BC 为对角线时,点M 在 x 轴上方,此时CMAB ,且 CMAB由知, AB4, |x|4,3OCyx 4点 M 的坐标为)3,4()3, 4(或M当以 AB 为对角线时,点M 在 x 轴下方过 M 作 MN AB 于 N,则 MNB AOC 90 四边形 AMBC 是平行四边形,ACMB ,且 ACMBCAO MBN AOC BNM BNAO1,MN CO3OB3,0N312点 M 的坐标为(2,3)M综上所述,坐标平面内存在点M,使得以点A
16、、B、C、M 为顶点的四边形是平行四边形其坐标为123(4,3),( 4, 3),(2,3)MMM(说明:求点M 的坐标时,用解直角三角形的方法或用先求直线解析式,然后求交点M 的坐标的方法均可,请参照给分)2012 中考数学压轴题选讲(一)1.如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页学习好资料欢迎下载9 (1) 求抛物线的解析式. (2)已知 AD = AB (D 在线段 AC 上),有一动点P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动
17、;同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段 BC 移动,经过 t 秒的移动,线段PQ 被 BD垂直平分,求t 的值;(3)在( 2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使 MQ+MC 的值最小?若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。(注:抛物线2yaxbxc的对称轴为2bxa)2.如图 9,在平面直角坐标系中,二次函数)0(2acbxaxy的图象的顶点为D 点,与 y 轴交于 C点,与 x 轴交于 A、B 两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为( 3,0),精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页
18、学习好资料欢迎下载10 OBOC ,tanACO 31(1)求这个二次函数的表达式(2)经过 C、D 两点的直线, 与 x 轴交于点 E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由(3)如图 10,若点 G(2,y)是该抛物线上一点,点P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,APG 的面积最大?求出此时P 点的坐标和 APG 的最大面积 . 3.如图,已知抛物线与x 轴交于 A(1,0)、 B(3,0)两点,与y 轴交于点 C(0,3)。求抛物线的解析式;精选学习资料 - - -
19、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页学习好资料欢迎下载11 设抛物线的顶点为D, 在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P, 使得 PDC 是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点P 的坐标 ;若不存在,请说明理由; 若点 M 是抛物线上一点,以B、C、D、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标。4.已知:抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,其中点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上, 线段 OB、OC 的长(OBOC)是方程 x210x160 的两个根,且抛物线的对称轴是直
20、线x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页学习好资料欢迎下载12 (1)求 A、B、C 三点的坐标;(2)求此抛物线的表达式;(3)求 ABC 的面积;(4)若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点A、点 B 不重合),过点E 作 EFAC 交 BC于点 F,连接 CE,设 AE 的长为 m,CEF 的面积为 S,求 S与 m 之间的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围;(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点 E 的坐标,判断此时 BCE 的形状;若不存在,请说明
21、理由5.已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为A(-1,0),与 y 轴的正半轴交于点C直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x轴的另一个交点B 的坐标;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页学习好资料欢迎下载13 当点 C 在以 AB 为直径的 P 上时,求抛物线的解析式;坐标平面内是否存在点M,使得以点 M 和中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页