通项公式的求法

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1、通项公式的求法通项公式的求法一、公式法一、公式法二、二、迭迭加法加法若若 an+1=an+f(n), 则则: 若若 an+1=f(n)an, 则则: 三、三、叠叠乘法乘法an=S1 (n=1), Sn- -Sn- -1 (n2). an=a1+ (ak- -ak- -1)=a1+ f(k- -1)=a1+ f(k). n- -1k=1 nk=2 nk=2 an=a1 =a1f(1)f(2)f(n- -1)(n2). anan- -1a2 a1 a3 a2 四、化归法四、化归法 通过恰当的恒等变形通过恰当的恒等变形, 如配方、因式分解、取对数、取倒如配方、因式分解、取对数、取倒数等数等, 转化为

2、等比数列或等差数列转化为等比数列或等差数列. (1)若若 an+1=pan+q, 则则: an+1- - =p(an- - ). (3)若若 an+1=pan+q(n), 则则: (2)若若 an+1= , 则则: panr+qan an+11an 1= + . prpq(4)若若 an+1=panq, 则则: lgan+1=qlgan+lgp. 五、归纳法五、归纳法 先计算数列的前若干项先计算数列的前若干项, 通过观察规律通过观察规律, 猜想通项公式猜想通项公式, 进而用数学归纳法证之进而用数学归纳法证之. 例例 已知数列已知数列 an 满足满足: a1=1, an+1 =2an+32n-

3、-1, 求求 an 的通项的通项公式公式.an=(3n- -1)2n- -2 an+1pn+1anpn = + . q(n) pn+11.在数列在数列 an 中中, a1=1, Sn= (n2), 求求 an.Sn- -1 2Sn- -1+1 Sn- -1 2Sn- -1+1 解解: 由由 Sn= 知知: 1Sn1Sn- -1- - =2. 1Sn 是以是以 = =1 为首项为首项, 公差为公差为 2 的等差数列的等差数列. 1S11a11Sn =1+2(n- -1)=2n- -1. Sn= . 2n- -11a1=1, 当当 n2 时时, an=Sn- -Sn- -1=- - .(2n- -

4、1)(2n- -3) 2an=- - , n2. 1, n=1, (2n- -1)(2n- -3) 2杨景波典型例题杨景波典型例题 2.数列数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn=n2- -7n- -8, (1)求求 an 的通项公式的通项公式; (2)求求 |an| 的前的前 n 项和项和 Tn.解解: (1)当当 n=1 时时, a1=S1=- -14; 当当 n2 时时, an=Sn- -Sn- -1=2n- -8, (2)由由 (1) 知知, 当当 n4 时时, an0; 当当 n5 时时, an0; 当当 n5 时时, Tn=- -S4+Sn- -S4=Sn- -2S4故故 an=

5、2n- -8, n2. - -14, n=1, =n2- -7n- -8- -2(- -20)当当 n4 时时, Tn=- -Sn=- -n2+7n+8, =n2- -7n+32.故故 Tn=n2- -7n+32, n5. - -n2+7n+8, n4, 3.已知数列已知数列 an 中中, a1=1, an+1= an+1(n N*), 求求 an.12解法一解法一 an+1= an+1(n N*), 12an= an- -1+1, an- -1= an- -2+1. 1212两式相减得两式相减得: an- -an- -1= (an- -1- -an- -2) 12an- -an- -1 是以

6、是以 a2- -a1= 为首项为首项, 公比为公比为 的等比数列的等比数列. 1212an- -an- -1= ( )n- -2=( )n- -1. 121212an=a1+(a2- -a1)+(a3- -a2)+(an- -an- -1) =1+ +( )2+( )n- -1 121212=2- -21- -n. 即即 an=2- -21- -n. 解法二解法二 由解法一知由解法一知 an- -an- -1=21- -n, 又又 an= an- -1+1, 12消去消去 an- -1 得得 an=2- -21- -n. 解法三解法三 an= an- -1+1, 12令令 an+ = (an-

7、 -1+ ), 12则则 =- -2. an- -2= (an- -1- -2). 12an- -2 是以是以 a1- -2=- -1 为首项为首项, 公比为公比为 的等比数列的等比数列. 1212an- -2=- -( )n- -1. 即即 an=2- -21- -n. 3.已知数列已知数列 an 中中, a1=1, an+1= an+1(n N*), 求求 an.12 4.数列数列 an 的前的前 n 项和项和 Sn 满足条件满足条件 lgSn+(n- -1)lgb=lg(bn+1+n- -2), 其中其中, b0 且且 b 1. (1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式; (2)若

8、对若对n N*, n4 时时, 恒有恒有 an+1an, 试求试求 b 的取值范围的取值范围.解解: (1)由已知得由已知得 lgSnbn- -1=lg(bn+1 +n- -2), Snbn- -1=bn+1 +n- -2(b1). Sn=b2+ (b1). bn- -1n- -2当当 n=1 时时, a1=S1=b2- -1; 当当 n2 时时, an=Sn- -Sn- -1=b2+ - -b2- - bn- -1n- -2bn- -2 n- -3bn- -1 (1- -b)n+3b- -2 = . bn- -1 (1- -b)n+3b- -2 , n2. b2- -1, n=1, 故故 a

9、n= (2)由已知由已知 对对 n4 恒成立恒成立.bn- -1 (1- -b)n+3b- -2 bn (1- -b)(n+1)+3b- -2 即即 (n- -3)b2- -2(n- -2)b+(n- -1)0 对对 n4 恒成立恒成立. 亦即亦即 (b- -1)(n- -3)b- -(n- -1)0 对对 n4 恒成立恒成立. b1, b 对对 n4 恒成立恒成立. n- -3 n- -1n- -3 n- -1而而 当当 n=4 时有最大值时有最大值 3, b3. 5.设设 Sn 是等差数列是等差数列 an 的前的前 n 项和项和. 已知已知 S3 与与 S4 的等比的等比中项为中项为 S5

10、, S3 与与 S4 的等差中项为的等差中项为 1, 求等差数列求等差数列 an 的通的通项项 an.1513141314解法解法1: 设等差数列设等差数列 an 的首项的首项 a1=a, 公差为公差为 d, 则通项公式为则通项公式为 an=a+(n- -1)d, 前前 n 项和为项和为 Sn=na+ . n(n- -1)d 2 1314依题意有依题意有S3 S4=( S5)2, (S5 0)15S3+ S4=2, 1314由此可得由此可得:1314(3a+3d) (4a+6d)= (5a+10d)2, 14(3a+3d )+ (4a+6d)=2. 13251整理得整理得 3ad+5d2=0,

11、 4a+5d=4. 解得解得 d=0, a=1, 或或 a=4. d=- - , 512an=1 或或 an=- - n+ . 512532经验证知经验证知 an=1 时时, Sn=5; 另一种情况时另一种情况时, Sn=- -4, 均合题意均合题意. an=1 或或 an=- - n+ 即为所求数列即为所求数列 an 的通项公式的通项公式.512532解法解法2: Sn 是等差数列的前是等差数列的前 n 项和项和, 故可设故可设 Sn=an2+bn, 依题意得依题意得: 1314(a 32+b 3) (a 42+b 4)= (a 52+b 5)2, 14(a 32+b 3)+ (a 42+b

12、 4)=2. 13251解得解得 a=0, b=1, 或或 b= . a=- - , 52665Sn=n 或或 Sn=- - n2+ n. 52665在等差数列中在等差数列中, n2 时时, an=Sn- -Sn- -1, a1 亦适合公式亦适合公式. an=1 或或 an=- - n+ . 512532整理得整理得 13a2+3ab=0, 7a+2b=2. 5.设设 Sn 是等差数列是等差数列 an 的前的前 n 项和项和. 已知已知 S3 与与 S4 的等比的等比中项为中项为 S5, S3 与与 S4 的等差中项为的等差中项为 1, 求等差数列求等差数列 an 的通的通项项 an.1513

13、141314解法解法3: Sn 是等差数列的前是等差数列的前 n 项和项和, 数列数列 是等差数列是等差数列. Snn+ =2 , S33S55S44依题意得依题意得: =( )2,S55S33S44+ =2, S33S44解得解得: S4=4, S3=3, S5=5, 或或 S4= , S3= , S5=- -4, 85524a4=S4- -S3=1, a5=S5- -S4=1 或或 a4=- - , a5=- - .528516an=1 或或 an=- - n+ . 512532 5.设设 Sn 是等差数列是等差数列 an 的前的前 n 项和项和. 已知已知 S3 与与 S4 的等比的等比

14、中项为中项为 S5, S3 与与 S4 的等差中项为的等差中项为 1, 求等差数列求等差数列 an 的通的通项项 an.1513141314解法解法4: 依题意依题意 S3=3a2, S4=2(a2+a3), S5=5a3, 整理得整理得: 3a2+a3=4, a2(a2+a3)=2a32, 代入代入 S55S33S44+ =2, S33S44 =( )2,45解得解得 a2=1, a3=1, 或或 a3=- - . a2= , 85an=1 或或 an=- - n+ . 512532 5.设设 Sn 是等差数列是等差数列 an 的前的前 n 项和项和. 已知已知 S3 与与 S4 的等比的等

15、比中项为中项为 S5, S3 与与 S4 的等差中项为的等差中项为 1, 求等差数列求等差数列 an 的通的通项项 an.15131413146.已知已知 an+1=2+ an(nN+), 且且 a1=a, 求求 an. 12解解: a1=a a2=2+ a 12=4- -21+2- -1a, 故猜想故猜想: an=4- -23- -n+21- -na, 用数学用数学归纳法法证明如下明如下: a5=2+ a4 12a3=2+ a2=3+ a 1214=4- -20+2- -2a, a4=2+ a3= + a 127218=4- -2- -1+2- -3a, =4- -2- -2+2- -4a,

16、 =4- -22+20a, 证明从略明从略.故故 an=4- -23- -n+21- -na. 解法二解法二: 构造等比数列求解构造等比数列求解( (略略) ). 7.设设数列数列 an 是公差不为是公差不为 0 的等差数列的等差数列, Sn 是数列是数列 an 的前的前 n 项和项和, 且且 S32=9S2, S4=4S2, 求数列求数列 an 的通项公式的通项公式.解解: 设等差数列设等差数列 an 的公差为的公差为 d, 由由 Sn=na1+ 及已知条件得及已知条件得: n(n- -1)d 2(3a1+3d)2=9(2a1+d), 4a1+6d=4(2a1+d), 由由 得得: d=2a

17、1, 代入代入 有有: 9a12=4a1. 解得解得: a1=0 或或 a1= . 49当当 a1=0 时时, d=0, 与已知条件矛盾与已知条件矛盾, 舍去舍去;当当 a1= 时时, d= .4989an= + (n- -1)= n- - . 49894989故数列故数列 an 的通项公式为的通项公式为 an= n- - . 4989 8.已知数列已知数列 an 是等差数列是等差数列, 且且 a1=2, a1+a2+a3=12, (1)求数列求数列 an 的通项公式的通项公式; (2)令令 bn=an 3n, 求数列求数列 bn 前前 n 项和的公式项和的公式.解解: (1)设数列设数列 an 的公差为的公差为 d, 则由已知得则由已知得 3a1+3d=12, d=2. an=2+(n- -1) 2=2n. 故数列故数列 an 的通项公式的通项公式为为 an=2n. (2)由由 bn=an 3n=2n 3n 得数列得数列 bn 前前 n 项和项和 Sn=2 3+4 32+(2n- -2) 3n- -1+2n 3n 3Sn=2 32+4 33+(2n- -2) 3n+2n 3n+1 将将 式减式减 式得式得: - -2Sn=2(3+32+3n)- -2n 3n+1=3(3n- -1)- -2n 3n+1. Sn= +n 3n+1. 3(1- -3n) 2又又 a1=2,