位移法和力矩分配法

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1、6.1 概述概述 对于线弹性结构，体系中杆件的对于线弹性结构，体系中杆件的内力分布与其变形之间内力分布与其变形之间存在着一一对应的关系存在着一一对应的关系。在结构分析时，可以根据位移。在结构分析时，可以根据位移变变形形内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆内力之间对应的函数关系，利用某些结点位移表达出杆件变形，据此以寻求内力分布。件变形，据此以寻求内力分布。 位移法计算中重要的一环内容位移法计算中重要的一环内容在于杆件变形分布的描述在于杆件变形分布的描述。线弹性体系杆件的变形可以由杆端位移和其上作用的荷载分线弹性体系杆件的变形可以由杆端位移和其上作用的荷载分布惟一确定布惟一确定。由于

2、荷载分布对内力和变形的影响比较容易确。由于荷载分布对内力和变形的影响比较容易确定，因此，关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的定，因此，关注的焦点在于杆件的杆端位移值对变形分布的影响。体系中各杆件的杆端位移可以通过结点和支座的位移影响。体系中各杆件的杆端位移可以通过结点和支座的位移表达，因而，当支座位移和结点位移确定后，体系中所有的表达，因而，当支座位移和结点位移确定后，体系中所有的杆件都将具有一个明确的杆端位移值。杆件都将具有一个明确的杆端位移值。第第6章位移法章位移法All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量对整个结构来

3、说，求解的关键就是如何确定基本未知量A的值。的值。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院从刚架中取出杆件从刚架中取出杆件AB进行分析进行分析All Rights Reserved重庆大学土木工程学院在位移法分析中，需要解决的三个问题：在位移法分析中，需要解决的三个问题： 选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。选取结构上哪些结点位移作为基本未知量。确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系（单元分析）。数关系（单元分析）。建立求解这些基本未知量的位移法方程（整体分析）。建立求解这些基本未知量的位移法方程（整体分析）。A

4、ll Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.2等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定杆件的杆端内力与杆端位应用位移法需要解决的一个关键问题是：确定杆件的杆端内力与杆端位移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方程，也就是位移法移及杆上荷载之间的函数关系，即杆件的转角位移方程，也就是位移法计算中单元分析的过程。计算中单元分析的过程。6.2.1 杆端内力及杆端位移的正负号规定杆端内力及杆端位移的正负号规定1）杆端内力的正负号规定）杆端内力的正负号规定杆端弯矩对杆端而言，以杆端弯矩对杆端而言，以顺时针方向为正，反之为负顺时针方向为

5、正，反之为负。对结点。对结点或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆或支座而言，则以逆时针方向为正，反之为负。杆端剪力和杆端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。端轴力的正负号规定，仍与前面规定相同。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2）杆端位移的正负号规定）杆端位移的正负号规定角位移以顺时针为正，反之为负。角位移以顺时针为正，反之为负。 线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动线位移以杆的一端相对于另一端产生顺时针方向转动的线位移为正，反之为负。例如，图中，的线位移为正，反之为负。例如，图中，AB为正。为正。 All Rights Reserved重

6、庆大学土木工程学院6.2.2 一般等截面直杆杆单元的转角位移方程一般等截面直杆杆单元的转角位移方程 位移法中，内力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位位移法中，内力分布与变形对应，而变形则会受到杆端位移的影响，为了描述上的方便，在计算中一般利用一个两端固移的影响，为了描述上的方便，在计算中一般利用一个两端固定的杆单元来描述体系中的一般杆件，杆端位移即可以根据该定的杆单元来描述体系中的一般杆件，杆端位移即可以根据该杆单元的支座位移来表达杆单元的支座位移来表达 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院由荷载或温度变化引起的杆端内力称为由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数载常数

7、。其中的。其中的杆端弯矩也常称为固端弯矩，用杆端弯矩也常称为固端弯矩，用 和和 表示；杆端表示；杆端剪力也常称为固端剪力，用剪力也常称为固端剪力，用 和和 表示。常见荷载表示。常见荷载和温度作用下的载常数列入表和温度作用下的载常数列入表6.1中。中。 由杆端单位位移引起的杆端内力称为由杆端单位位移引起的杆端内力称为形常数形常数，列入表，列入表6.1中。表中引入记号中。表中引入记号i=EI/l，称为杆件的，称为杆件的线刚度线刚度。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院利用表利用表6.1中的形常数与载常数，可得中的形常数与载常数，可得All Rights Reserved重庆

8、大学土木工程学院6.2.3 特殊等截面直杆杆单元的转角位移方程特殊等截面直杆杆单元的转角位移方程 若在结构中存在非刚性结点和非固定支座时，即体系若在结构中存在非刚性结点和非固定支座时，即体系出现了铰结点和定向结点（对应于支座位置，则为可动铰出现了铰结点和定向结点（对应于支座位置，则为可动铰支座、固定铰支座或定向支座），在杆端力的几个分量中支座、固定铰支座或定向支座），在杆端力的几个分量中则会出现某杆端力分量为已知的现象。则会出现某杆端力分量为已知的现象。 即在这样的单元中，式（即在这样的单元中，式（6.1）的三个函数关系将不再）的三个函数关系将不再完全独立，由于其中一个方程左端项（杆端力）为已

9、知，完全独立，由于其中一个方程左端项（杆端力）为已知，那么在杆端位移中，将只能存在两个独立的未知杆端位移那么在杆端位移中，将只能存在两个独立的未知杆端位移分量，而剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆分量，而剩余的另一个杆端位移一定可以由这两个独立杆端位移来线性描述。端位移来线性描述。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基由于位移法计算过程的计算量在很大程度上取决于基本未知量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以根本未知量的数目，上述情形的存在，使得在计算中可以根据单元杆端的约束模式，在计算前对基本未知量进行筛选，据单

10、元杆端的约束模式，在计算前对基本未知量进行筛选，去除非独立的杆端位移分量，以减少计算线性方程组的工去除非独立的杆端位移分量，以减少计算线性方程组的工作量。由此即在一般杆元的基础上衍生出了两种特殊杆单作量。由此即在一般杆元的基础上衍生出了两种特殊杆单元模型。元模型。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1) 一端固定另一端铰支杆单元一端固定另一端铰支杆单元All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2) 2) 一端固定另一端定向支承杆一端固定另一端定向支承杆单元元All Rights Reserved重庆大学土木工程学院在在3种杆单元模型中，第一种即种杆单元模型

11、中，第一种即两端固定支承梁的模两端固定支承梁的模型在不考虑轴向变形时具有三个未知杆端位移型在不考虑轴向变形时具有三个未知杆端位移，它完全可，它完全可以取代后两种衍生模型。若全部用第一种单元模型进行计以取代后两种衍生模型。若全部用第一种单元模型进行计算，在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移算，在位移法分析时所有单元的杆端位移描述和转角位移方程将具有一致的形式，对应的计算方法可以较为容易地方程将具有一致的形式，对应的计算方法可以较为容易地移植到计算机化的程序分析中；但用于手算时，却会导致移植到计算机化的程序分析中；但用于手算时，却会导致因未知量数目较多，而计算量偏大的情况。因未知量数目较

12、多，而计算量偏大的情况。一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引一端固定一端铰支、一端固定一端定向支承模型的引入，则可以简化分析计算量，所以手算时一般都会使用这入，则可以简化分析计算量，所以手算时一般都会使用这两种衍生模型来进行计算。但应该注意形常数与载常数的两种衍生模型来进行计算。但应该注意形常数与载常数的选用必须与所选择的杆件单元模型相对应。选用必须与所选择的杆件单元模型相对应。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院杆端剪力，根据平衡条件导出为杆端剪力，根据平衡条件导出为All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.3 位移法的基本概念位移法的基本

13、概念 6.3.1 位移法的基本未知量位移法的基本未知量 如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对如果结构中每根杆件两端的杆端角位移和杆端相对线位移都已求得，则全部杆件的内力即可确定。在位移线位移都已求得，则全部杆件的内力即可确定。在位移法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移法中，基本未知量应是各结构的角位移和线位移 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1) 结点角位移的确定结点角位移的确定 未知独立的结点角位移在通常情况下对应于体系中的刚未知独立的结点角位移在通常情况下对应于体系中的刚结点，但须注意，当有阶形杆截面改变处的转角或抗转动弹结点，但须注意，当有阶形杆截

14、面改变处的转角或抗转动弹性支座的转角时，应一并计入在内。性支座的转角时，应一并计入在内。 结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座移动结构固定支座处，因其转角等于零或为已知的支座移动值，不应计入；值，不应计入； 铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，引入特殊杆铰结点或铰支座处，因其转角不是独立的，引入特殊杆端约束模式下杆单元模型（一端固定、一端铰支单元）后，端约束模式下杆单元模型（一端固定、一端铰支单元）后，其杆端转角也不再作为位移法的基本未知量。其杆端转角也不再作为位移法的基本未知量。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院All Rights Reserved重庆大学

15、土木工程学院2) 结点线位移的确定结点线位移的确定 确定位移法中线位移未知量的方法：确定位移法中线位移未知量的方法：由观察确定由观察确定。即。即设定体系中设定体系中每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最每一个结点在平面坐标系的两个主轴方向上最多可能具有两个线位移多可能具有两个线位移，然后，然后筛选出其中的未知、独立分筛选出其中的未知、独立分量量。主要考虑以下的筛选原则：。主要考虑以下的筛选原则： 因刚性支座的存在，线位移为零或为已知值（对应于因刚性支座的存在，线位移为零或为已知值（对应于支座移动）的不计入未知量；支座移动）的不计入未知量； 因轴向变形忽略不计而多个结点线位移相同的，则只因轴向

16、变形忽略不计而多个结点线位移相同的，则只计其中一个；计其中一个； 定向支承杆端力已知，对应的线位移非独立，不计定向支承杆端力已知，对应的线位移非独立，不计入独立的线位移内。入独立的线位移内。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.3.2 位移法的基本结构和基本体系位移法的基本结构和基本体系 为了了在分析在分析过程有效程有效控制控制结构中构中每一每一结点位移点位移，通，通过在体系中在体系中增增设附加附加约束来束来控制控制结点位移的点位移的发生。生。 增增设了附加了附加约束的束的结构模型，即构模型，即为位移法位移法计算

17、中的基算中的基本本结构构。 附加附加约束：角位移束：角位移处的附加的附加刚臂和臂和线位移位移处的附加支的附加支杆。杆。 附加附加刚臂，就是在每个可能臂，就是在每个可能发生独立角位移的生独立角位移的刚结点点和和组合合结点上，人点上，人为地加上的一个能控制其角位移地加上的一个能控制其角位移( (但并但并不阻止其不阻止其线位移位移) )的附加的附加约束束 附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上附加支杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能控制其线位移大小沿线位移的方向，人为地加上的一个能控制其线位移大小的附加支座链杆。的附加支座链杆。All Rights R

18、eserved重庆大学土木工程学院a)原结构及其基本未知量原结构及其基本未知量b)基本结构基本结构All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 通过控制基本结构上的附加约束，令其发生与原结构相通过控制基本结构上的附加约束，令其发生与原结构相同的结点位移，从而形成一个在荷载与结点位移共同作用下同的结点位移，从而形成一个在荷载与结点位移共同作用下的，与原结构变形完全相同的受力模型。该受力模型即为位的，与原结构变形完全相同的受力模型。该受力模型即为位移法计算中的基本体系，移法计算中的基本体系，基本体系与原结构完全静力等效基本体系与原结构完全静力等效。6.3.3 位移法的基本方程与基本原

19、理位移法的基本方程与基本原理基本体系的变形与原结构完全一致，其受力也完全相同。基本体系的变形与原结构完全一致，其受力也完全相同。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院1) 只有一个结点角位移的情况只有一个结点角位移的情况 图示图示(a)结构，具有一个独立的未知结点角位移，不存结构，具有一个独立的未知结点角位移，不存在结点线位移。根据基本结构的概念，在角位移处增设刚在结点线位移。根据基本结构的概念，在角位移处增设刚臂，得基本结构臂，得基本结构 a)原结构原结构c)基本体系基本体系b)基本结构基本结构 荷载作用下，原结构变形图如图荷载作用下，原结构变形图如图(a)所示，则其基本

20、体系所示，则其基本体系应如图应如图 (c)所示。当刚臂转角与原结构所示。当刚臂转角与原结构A点转角相同时，图点转角相同时，图(a)与图与图(c)变形、内力均完全相同。变形、内力均完全相同。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移根据叠加原理，基本体系的变形可以由荷载和角位移Z1分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠分别作用在基本结构这两个独立受力状态下的变形结果的叠加加 由于基本体系与原结构完由于基本体系与原结构完全静力等效，基本体系中角全静力等效，基本体系中角位移位置处的附加刚臂不可位移位置处的附加刚臂不可能存在

21、外力，必然有能存在外力，必然有 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院形常数，将形常数，将Z1角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示角位移作用下的变形图利用单位角位移作用下的变形图来表示 从而得到从而得到 这就是求解基本未知量这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质的位移法基本方程，其实质是表达了基本体系在结点位移处的平衡条件是表达了基本体系在结点位移处的平衡条件 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院All Rights Reserved重庆大学土木工程学院MP图图 图图M图图结构的最后弯矩可由叠加公式计算结构的最后弯矩可由叠加

22、公式计算 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 图示刚架的基本未知量为结点图示刚架的基本未知量为结点C、D的水平线位移的水平线位移Z1。在结点。在结点D加一附加支座链杆，就得到基本结构。其相应的基本体系如图所加一附加支座链杆，就得到基本结构。其相应的基本体系如图所示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。示，它的变形和受力情况与原结构完全相同。 位移法方程位移法方程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院All Rights Reserved重庆大学土木工程学院将将k11和和F1P的值代入位移法方程式，解得的值代入位移法方程式，解得All Rights

23、Reserved重庆大学土木工程学院6. 4 位移法的典型方程位移法的典型方程 (a) 原结构原结构 (b) 基本结构基本结构 (c) 基本体基本体系系基本体系上附加刚臂的反力矩基本体系上附加刚臂的反力矩F1及附加支杆的反力及附加支杆的反力F2都应等于零都应等于零 即即F1=0和和F2=0 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 设基本结构由于设基本结构由于Z1、Z2及荷载单独作用，引起相应于及荷载单独作用，引起相应于Z1的附加刚臂的反力矩分别为的附加刚臂的反力矩分别为F11、F12及及F1P，引起相应，引起相应于于Z2的附加支座链杆的反力分别为的附加支座链杆的反力分别为F

24、21、F22及及F2P。根据。根据叠加原理，可得叠加原理，可得All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 又设单位位移又设单位位移Z1=1及及Z2=1单独作用时，在基本结构附加刚臂上单独作用时，在基本结构附加刚臂上产生的反力矩分别为产生的反力矩分别为k11及及k21，在附加支座链杆中产生的反力分别为，在附加支座链杆中产生的反力分别为k12及及k22，则有，则有 将式（将式（b）代入式（）代入式（a），得），得(a)(b)上式称为位移法典型方程上式称为位移法典型方程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 其物理意义是：基本体系每个附加约束中的反其物理意义是：

25、基本体系每个附加约束中的反力矩和反力都应等于零。因此，力矩和反力都应等于零。因此，它实质上反映了原它实质上反映了原结构的静力平衡条件结构的静力平衡条件。位移法典型方程位移法典型方程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院联立解以上两个方程求立解以上两个方程求出出Z1和和Z2后，即可按叠后，即可按叠加原理作出弯矩加原理作出弯矩图 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 对于具有对于具有n个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入个独立结点位移的结构，相应地在基本结构中需加入n个附加个附加约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件，同

26、样约束，根据每个附加约束的附加反力矩或附加反力都应为零的平衡条件，同样可建立可建立n个方程如下：个方程如下： 上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数上式即为典型方程的一般形式。式中，主斜线上的系数kii称为主称为主系数或主反力；其他系数系数或主反力；其他系数kij称为副系数或副反力；称为副系数或副反力；FiP称为自由项。称为自由项。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设系数和自由项的符号规定是：以与该附加约束所设位移方向一致者为正。主反力位移方向一致者为正。主反力kii的方向总是与所设位移的方向总是与所设位移Zi的方

27、向一致，故恒为正，且不会为零。副系数和自由项的方向一致，故恒为正，且不会为零。副系数和自由项则可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理可知，则可能为正、负或零。此外，根据反力互等定理可知，kij=kji。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 选择基本体系选择基本体系。加附加约束，锁住相关结点，使之不发。加附加约束，锁住相关结点，使之不发生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的生转动或移动，而得到一个由若干基本的单跨超静定梁组成的组合体作为基本结构（可不单独画出）；使基本结构承受原来组合体作为基本结构（可不单独画出）；使基本结构承受原来的荷载，并令附加约束发

28、生与原结构相同的位移，即可得到所的荷载，并令附加约束发生与原结构相同的位移，即可得到所选择的基本体系。选择的基本体系。 建立位移法的典型方程建立位移法的典型方程。根据附加约束上反力矩或反力。根据附加约束上反力矩或反力等于零的平衡条件建立典型方程。等于零的平衡条件建立典型方程。 求系数和自由项求系数和自由项。在基本结构上分别作出各附加约束。在基本结构上分别作出各附加约束发生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图发生单位位移时的单位弯矩图图和荷载作用下的荷载弯矩图MP图，由结点平衡和截面平衡即可求得。图，由结点平衡和截面平衡即可求得。 解方程解方程，求基本未知量（，求基本未知量（Zi）。

29、）。 6.5.1 典型方程法的计算步骤典型方程法的计算步骤6.5用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力用典型方程法计算超静定结构在荷载作用下的内力 确定基本未知量数目确定基本未知量数目：n=ny+nl。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院作最后内力图作最后内力图。按照。按照叠加得出最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图叠加得出最后弯矩图；根据弯矩图作出剪力图；利用剪力图根据结点平衡条件作出轴力图。根据结点平衡条件作出轴力图。 校核校核。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调。由于位移法在确定基本未知量时已满足了变形协调条件，而位移法典型方程是静力平衡条件

30、，故通常只需按平条件，而位移法典型方程是静力平衡条件，故通常只需按平衡条件进行校核。衡条件进行校核。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.5.2举例举例【例例6.16.1】试用典型方程法用典型方程法计算算图所示所示连续梁，并作弯矩梁，并作弯矩图，各杆，各杆EIEI为常数。常数。【解解】(1) 确定基本未知量数目该连续梁的基本未知量为结点B的转角Z1，即n=1。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2) 确定基本体系。确定基本体系。基本体系如基本体系如图所示。所示。由于由于超静定超静定结构在荷构在荷载作用下的内力分布与杆件的相作用下的内力分布与杆件的

31、相对刚度相关度相关，因此，分析，因此，分析时可令可令i=1，根据杆件的相，根据杆件的相对刚度度进行行计算，如算，如图所示。但需要注意，在相所示。但需要注意，在相对刚度度设定后，定后，计算得到的未知量将不再直接算得到的未知量将不再直接对应于于结点的真点的真实位移数位移数值，而是一个，而是一个与所与所设定的相定的相对刚度度对应的数的数值。(3) 建立典型方程建立典型方程All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4) 求系数和自由项求系数和自由项(5) (5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量将以上各系数及自由将以上各系数及自由项之之值代入典型方程，解得代入典型方程，解得A

32、ll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(6) 作最后弯矩图作最后弯矩图M图（图（kN m）在本例的求解中，在本例的求解中，BC杆采用了一端固定一端铰支的单元，减少了杆采用了一端固定一端铰支的单元，减少了位移法分析的计算量，在计算中也可以直接使用一般杆单元（即两位移法分析的计算量，在计算中也可以直接使用一般杆单元（即两端固定端杆元）进行分析，只是计算量会增加，但不会改变计算结端固定端杆元）进行分析，只是计算量会增加，但不会改变计算结果。果。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例6.2】试对上例所有杆元使用统一的一般杆单元模型进行位移法分析。试对上例所有

33、杆元使用统一的一般杆单元模型进行位移法分析。【解解】(1) (1) 确定基本未知量数目确定基本未知量数目在本例分析中基本未知量将确定在本例分析中基本未知量将确定为所有的未知所有的未知结点位移，而非未知独立点位移，而非未知独立结点位移，因此，点位移，因此，该连续梁的基本未知量梁的基本未知量为体系中所有可能体系中所有可能发生的生的结点位点位移，即移，即结点点B B的的转角角Z Z1 1和和结点点C C的的转角角Z Z2 2。因此，。因此，n n=2=2(2) (2) 确定基本体系确定基本体系基本体系如基本体系如图所示。所示。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3) (3)

34、建立典型方程建立典型方程根据根据结点点B B和和结点点C C附加附加刚臂上反力偶均臂上反力偶均为零的平衡条件，有零的平衡条件，有(4) 求系数和自由项求系数和自由项All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(5) (5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z Z1 1和和Z Z2 2将以上各系数及自由将以上各系数及自由项之之值代入典型方程，解得代入典型方程，解得 (6) 作最后弯矩图作最后弯矩图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例6.3】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图。设EI=常数。常数。 解：

35、解： (1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目可以利用对称性取结构的可以利用对称性取结构的1/4部分进行计算，其基本未知量只有部分进行计算，其基本未知量只有结点结点A的转角的转角Z1。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)选择基本体系选择基本体系 c)基本体系基本体系d)M1图图e)MP图图(kNm)(3)建立典型方程建立典型方程 (4)求系数和自由项求系数和自由项 (5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(6)作最后弯矩图作最后弯矩图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例

36、6.4】试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，试用典型方程法计算图示结构，并作弯矩图，EI为常数。为常数。【解解】(1) (1) 确定基本未知量数目确定基本未知量数目 此此刚架的基本未知量架的基本未知量为结点点B B和和C C的角位移的角位移Z Z1 1和和Z Z2 2，即，即n n=2=2。 (2) (2) 确定基本体系，如确定基本体系，如图所示。所示。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (3) 建立典型方程建立典型方程 根据基本体系每个附加刚臂的总反力矩为零的条件，可列出位移法方程如下：根据基本体系每个附加刚臂的总反力矩为零的条件，可列出位移法方程如下： (4)

37、求系数和自由项求系数和自由项k11 = 4.848 = 16.8 k k2121 = = 4 4k12 = 4 k22 =8+4 = 12 F1P=5060=10kNm F2P = 60 kNm All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(5) 解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得将求得的各系数和自由项代入位移法方程，解得 Z Z1 1 = = 1.941.94，Z Z2 2 = =5.655.65(6) 作最后弯矩图作最后弯矩图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例6.5】试用典型方程法计算图示等高排架。

38、试用典型方程法计算图示等高排架。 解：解： (1)确定基本未知量数目确定基本未知量数目b)基本体系基本体系a)原结构原结构只有一个独立的结点线位移未知量，即只有一个独立的结点线位移未知量，即A、C、E的水平位移的水平位移Z1。 (2)确定基本体系，如图确定基本体系，如图b所示所示 (3)建立典型方程建立典型方程All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4)求系数和自由项求系数和自由项(5)解方程，求基本未知量解方程，求基本未知量Z1(6)按叠加原理即可作出弯矩图。按叠加原理即可作出弯矩图。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院令令 式中，式中，ri为当排

39、架柱顶发生单位侧移时，各柱柱顶产为当排架柱顶发生单位侧移时，各柱柱顶产生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，称生的的剪力，它反映了各柱抵抗水平位移的能力，称为排架柱的为排架柱的侧移刚度系数。侧移刚度系数。 于是，各柱顶的剪力为于是，各柱顶的剪力为All Rights Reserved重庆大学土木工程学院再令再令称为第称为第i根柱的剪力分配系数，则各柱所分配得的柱顶剪力为根柱的剪力分配系数，则各柱所分配得的柱顶剪力为 （i=1，2，3） 以上分析表明，当等高排架仅在柱顶受水平集中力作用时，可首先以上分析表明，当等高排架仅在柱顶受水平集中力作用时，可首先求出各柱的剪力分配系数；然后由算出各柱

40、顶剪力求出各柱的剪力分配系数；然后由算出各柱顶剪力FQi；最后把每；最后把每根柱视为悬臂梁绘出其弯矩图。这样就可不必建立典型方程而直接根柱视为悬臂梁绘出其弯矩图。这样就可不必建立典型方程而直接得到解答。这一方法称为得到解答。这一方法称为剪力分配法剪力分配法.All Rights Reserved重庆大学土木工程学院6.6直接利用平衡条件建立位移法方程直接利用平衡条件建立位移法方程 在位移法典型方程法中，通在位移法典型方程法中，通过增增设附加附加约束、借助基束、借助基本本结构构这一一计算工具，利用基本体系表达出原算工具，利用基本体系表达出原结构构变形模形模式，从而建立的位移法方程，式，从而建立的

41、位移法方程，实质上就是反映原上就是反映原结构的平构的平衡条件，即有衡条件，即有结点角位移点角位移处，是，是结点的力矩平衡条件；有点的力矩平衡条件；有结点点线位移位移处，是截面的投影平衡条件。，是截面的投影平衡条件。 因此，根据位移法的基本原理，也可以不通因此，根据位移法的基本原理，也可以不通过基本基本结构，而借助于杆件的构，而借助于杆件的转角位移方程，利用角位移方程，利用结点位移与杆端点位移与杆端位移之位移之间的的协调关系，根据先关系，根据先“拆散拆散”、后、后“组装装”结构的思构的思路，直接由原路，直接由原结构的构的结点和截面平衡条件来建立位移法方点和截面平衡条件来建立位移法方程，程，这就是

42、直接平衡法。就是直接平衡法。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例6.9】试用直接平衡法用直接平衡法计算算图所示所示刚架，并作弯矩架，并作弯矩图。已知。已知EI=常量常量 【解解】(1) 确定基本未知量，并绘出示意图确定基本未知量，并绘出示意图 (a) 基本未知量基本未知量 (b) 结点位移处的平衡条件结点位移处的平衡条件All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2) “拆散拆散”，利用结点位移表示出各对应杆件的杆端位移，进行杆件分析，利用结点位移表示出各对应杆件的杆端位移，进行杆件分析，即根据转角位移方程，逐杆写出杆端内力：即根据转角位移方程，逐杆

43、写出杆端内力：对于左柱对于左柱BA（视为两端固定梁）（视为两端固定梁）All Rights Reserved重庆大学土木工程学院对于横梁对于横梁BC（视为（视为B端固定，端固定，C端铰支）端铰支） 对于右柱对于右柱CD（视为（视为D端固定，端固定，C端铰支）端铰支） All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)“组装组装”，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条，进行整体分析，即根据结点平衡条件和截面平衡条件建立位移法方程件建立位移法方程 取横梁取横梁BC为隔离体，由截面平件为隔离体，由截面平件(a)(b)以上式（以上式（a）和式（）和式（b）即为用直接平衡法建立的位

44、移法方程，与）即为用直接平衡法建立的位移法方程，与6.4节中节中用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方程）式（用典型方程法解同一例题所建立的位移法方程（典型方程）式（d）完全）完全相同。也就是说，两种本质上相同的解法在此殊途同归。相同。也就是说，两种本质上相同的解法在此殊途同归。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4)联立求解方程（联立求解方程（a）和（）和（b），求基本未知量：），求基本未知量：(5)计算杆端内力计算杆端内力 将将Z1和和Z2代回第（代回第（2）步所列出的各杆的杆）步所列出的各杆的杆端弯矩表达式，即可求得端弯矩表达式，即可求得 (6)作最后弯

45、矩图作最后弯矩图 d)M图图(ql2/184)All Rights Reserved重庆大学土木工程学院力矩分配法的基本概念力矩分配法的基本概念转动刚度转动刚度 结构或体系抵抗转动变形的能力，即为结构或体系抵抗转动变形的能力，即为转动刚度转动刚度 . 对于杆件来说，令某一杆端截面发生单位转角（另一杆端位移在特对于杆件来说，令某一杆端截面发生单位转角（另一杆端位移在特定约束模式下），此时在该杆端需施加的杆端力矩，称为定约束模式下），此时在该杆端需施加的杆端力矩，称为杆端转动刚度杆端转动刚度。 杆端转动刚度的大小主要取决于两个方面的因素：一是与杆件自身杆端转动刚度的大小主要取决于两个方面的因素：一

46、是与杆件自身的线刚度，即与截面抗弯刚度和杆件长度相关；二是与杆件的杆端约束的线刚度，即与截面抗弯刚度和杆件长度相关；二是与杆件的杆端约束模式相关。模式相关。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 若多根杆件汇交于某一结点（通常为刚性若多根杆件汇交于某一结点（通常为刚性结点），令该结点发生单位转角时，需要在该结点），令该结点发生单位转角时，需要在该结点施加的结点力矩，称为结点施加的结点力矩，称为结点转动刚度结点转动刚度。根。根据位移法中结点位移与杆端位移之间的协调关据位移法中结点位移与杆端位移之间的协调关系可知，结点的转动刚度与杆端转动刚度之间系可知，结点的转动刚度与杆端转动

47、刚度之间有以下关系：有以下关系： All Rights Reserved重庆大学土木工程学院分配系数分配系数根据结点转动刚度的定义，有根据结点转动刚度的定义，有 可求出结点转角大小为可求出结点转角大小为 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 由于杆端位移与由于杆端位移与结点位移相等，故各杆端点位移相等，故各杆端转角大小也角大小也为Z1，根据各杆端的，根据各杆端的转动刚度的定度的定义，有，有 作用在作用在结点上的一个外力矩点上的一个外力矩MA，根据，根据变形形协调条件和条件和平衡条件，所引起各杆杆端弯矩的大小，是按各杆杆端平衡条件，所引起各杆杆端弯矩的大小，是按各杆杆端转动

48、刚度占度占结点点转动刚度的比例来度的比例来进行分配的。行分配的。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院若定若定义结点点A A所所联结的各杆端的各杆端AjAj（j j分分别表示表示B B、C C、D D等）的分配系数等）的分配系数为则则 或或All Rights Reserved重庆大学土木工程学院传递系数传递系数分配系数能分配系数能够表示出表示出结点角位移点角位移发生生处（包括（包括结点和点和对应的的杆端截面）的平衡条件和杆端截面）的平衡条件和变形形协调条件，但杆件自身的平衡条件，但杆件自身的平衡和和协调条件尚未得到表达。条件尚未得到表达。为了表示了表示结点角位移点角位移

49、对杆件除杆杆件除杆端截面外其它截面内力和端截面外其它截面内力和变形的影响，形的影响，现引入引入传递系数概念。系数概念。 杆件远端（以角位移发生处的杆端为近端时）弯矩与近端弯矩（即分配杆件远端（以角位移发生处的杆端为近端时）弯矩与近端弯矩（即分配弯矩）之间的关系可表示为弯矩）之间的关系可表示为All Rights Reserved重庆大学土木工程学院对于远端为无杆端位移发生时，即对应于固定支承对于远端为无杆端位移发生时，即对应于固定支承 对于远端为铰支对于远端为铰支 对于远端为定向支承对于远端为定向支承 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院单结点结构的力矩分配单结点结构的力

50、矩分配【例例】如图所示为只具有一个未知独立角位移的结构，试用力矩分配法如图所示为只具有一个未知独立角位移的结构，试用力矩分配法计算内力并绘弯矩图。计算内力并绘弯矩图。解解】(1) (1) 计算准算准备由于由于结构中构中仅有一个未知有一个未知独立独立结点角位移，因此，在点角位移，因此，在以以该位移位移对结构构结点点转动刚度和杆端度和杆端转动刚度的度的进行描行描述述时，所有杆件的，所有杆件的远端端约束束都如都如图7.17.1所示一所示一样，是确定，是确定的。根据的。根据转动刚度的定度的定义，结点点A A对应各杆端各杆端转动刚度度为，结点结点A转动刚度转动刚度 All Rights Reserved

51、重庆大学土木工程学院(2) 分配过程分配过程分配系数保证了结点的平衡，再由传递系数保证杆件的平衡条件成立分配系数保证了结点的平衡，再由传递系数保证杆件的平衡条件成立. All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3) 根据分配弯矩和传递弯矩即可绘出各杆的弯矩图。根据分配弯矩和传递弯矩即可绘出各杆的弯矩图。 上例分析上例分析过程中只有程中只有结点集中力偶矩作用，若在体系点集中力偶矩作用，若在体系中出中出现了非了非结点荷点荷载（即（即单元荷元荷载），由于分配系数只能），由于分配系数只能分配分配结点外力矩，因此必点外力矩，因此必须对结构构计算模型算模型进行相行相应处理，理，才能保才能

52、保证力矩分配法的适用。力矩分配法的适用。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 设若在上例中出现了非结点荷载，在计算中可以仿照设若在上例中出现了非结点荷载，在计算中可以仿照位移法的计算思路进行处理：位移法的计算思路进行处理：(a) 原结构原结构(b) 荷载和约束力矩荷载和约束力矩MA共同共同(c) 待分配弯矩待分配弯矩MA作用下作用下作用下体系的受力简图体系的受力简图作用下体系的受力简图体系的受力简图All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 在原在原结构中增构中增设刚臂，并限制臂，并限制该刚臂的位移臂的位移为零，零，则可得到一个与位移法可得到一个与位移法计

53、算中算中M MP P图相同的受力模型，此相同的受力模型，此体系的受力和体系的受力和变形与原形与原结构之构之间的差的差别在于在于刚臂内存臂内存在一个在一个约束力矩（或称之束力矩（或称之为不平衡力矩）不平衡力矩）M MA A，该约束力束力矩的存在限制着矩的存在限制着结构构结点位移的点位移的发生。根据生。根据结点的平点的平衡条件和杆端弯矩以衡条件和杆端弯矩以顺时针转向向为正的正的规定，可以得定，可以得到到计算算约束力矩大小（其方向以束力矩大小（其方向以顺时针转向向为正）的正）的算式，算式，为All Rights Reserved重庆大学土木工程学院既然既然图 (a)(a)和和图 (b)(b)之之间存

54、在一个存在一个M MA A的差的差别，可以，可以在在图 (b)(b)的基的基础上令上令结构再承受一个构再承受一个结点外力矩点外力矩M MA A的作用，从而能的作用，从而能够消去附加消去附加约束束对结构的影响。即构的影响。即在在图 (b)(b)的受力模型上叠加的受力模型上叠加图 (c)(c)的受力模型后，就的受力模型后，就可以完全与原可以完全与原结构的受力等效。构的受力等效。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院图 (b)(b)所示所示计算模型，其各杆的杆端弯矩可根据表算模型，其各杆的杆端弯矩可根据表6.16.1和和6.26.2的的载常数直接确定；而常数直接确定；而图 (c)

55、(c)所示所示计算，与算，与仅承受承受结点外力偶矩的点外力偶矩的单结点点结构完全一致，可用力构完全一致，可用力矩分配法的原理矩分配法的原理对其其进行行计算。其中，算。其中，M MA A（在数（在数值上等于反向施加的上等于反向施加的约束力矩）在力矩分配法中，称束力矩）在力矩分配法中，称为待分配力矩。待分配力矩。将将图(b)(b)所示各杆端弯矩所示各杆端弯矩对应叠加，即得叠加，即得图 (a)(a)所示所示原原结构的最后杆端弯矩，并可据此作出弯矩构的最后杆端弯矩，并可据此作出弯矩图。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用力矩分配法作

56、图示连续梁的弯矩图。EI为常数。为常数。【解解】(1) (1) 计算准算准备计算算转动刚度度BABA杆杆转动刚度：度： BCBC杆杆转动刚度：度：结点点B B转动刚度：度：计算分配系数算分配系数对结点点B B计算：算：，All Rights Reserved重庆大学土木工程学院计算不平衡力矩（或直接算不平衡力矩（或直接计算待分配弯矩，二者只相差一个算待分配弯矩，二者只相差一个负号）号）不平衡力矩不平衡力矩为 或待分配力矩或待分配力矩为All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 (2) (2) 进行分配行分配计算算 将不平衡力矩反号并将不平衡力矩反号并进行分配和行分配和传递的的过

57、程一般采用程一般采用简洁的的图表形式表形式进行，如行，如图所示。所示。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)绘制弯矩制弯矩图 图中最中最终杆端弯矩杆端弯矩M总，等于各杆端的固端弯矩，等于各杆端的固端弯矩MF与分配弯矩与分配弯矩Mm m（或（或传递弯矩弯矩MC）的叠加。根据其）的叠加。根据其绘制弯矩制弯矩图 :All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例7.3】试用力矩分配法计算并作图试用力矩分配法计算并作图中中所示刚架的弯矩图。所示刚架的弯矩图。EI为常数。为常数。【解解】(1) (1) 计算模型算模型简化化 将将图示示刚架的静定杆段架的静定杆段B

58、C和和DF先行截去，并将杆上的荷先行截去，并将杆上的荷载等效等效地化到地化到结点点C和和D上上 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2) (2) 计算准算准备计算算转动刚度度CACA杆杆转动刚度：度：CDCD杆杆转动刚度：度：结点点C C转动刚度：度：计算分配系数算分配系数对结点点C C计算：算： 计算固端弯矩算固端弯矩计算不平衡力矩算不平衡力矩All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3) 进行分配计算进行分配计算 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4) 计算最算最终杆端弯矩杆端弯矩M总，并作弯矩，并作弯矩图 All Rig

59、hts Reserved重庆大学土木工程学院用力矩分配法求解超静定用力矩分配法求解超静定结构构时，不需要解算方程，不需要解算方程，仅通通过简单的代数运算即可的代数运算即可实现。且。且计算算过程程简明，可列明，可列表表进行。行。这些都是力矩分配法的些都是力矩分配法的优点。点。 单结点力矩分配法的点力矩分配法的计算步算步骤可可归纳为： 计算算刚结点所点所连杆端的分配系数，并填入杆端的分配系数，并填入计算表格算表格中。中。 增增设刚臂，即将臂，即将刚结点点视为固定端，固定端，计算各杆固端算各杆固端弯矩，并填入弯矩，并填入计算表格中。算表格中。 计算不平衡力矩，并将其反号后算不平衡力矩，并将其反号后进

60、行分配与行分配与传递。 计算各杆最后杆端弯矩，它等于固端弯矩叠加分配算各杆最后杆端弯矩，它等于固端弯矩叠加分配（或（或传递）弯矩，并据此）弯矩，并据此结果果绘弯矩弯矩图。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院多结点结构的力矩分配多结点结构的力矩分配 计算步骤计算步骤对于具有多个结点角位移但无结点线位移（简称无侧移）的结构，对于具有多个结点角位移但无结点线位移（简称无侧移）的结构，只需依次反复对各结点使用上节的单刚结点运算，就可逐次渐近地求出只需依次反复对各结点使用上节的单刚结点运算，就可逐次渐近地求出各杆的杆端弯矩。具体作法是：各杆的杆端弯矩。具体作法是：首先，在所有结点上

61、增设附加刚臂，限制结点位移发生，计算刚结首先，在所有结点上增设附加刚臂，限制结点位移发生，计算刚结点所连各杆端的分配系数，并计算各杆固端弯矩；点所连各杆端的分配系数，并计算各杆固端弯矩；然后，逐结点轮流分配、传递，在其它刚结点刚臂有效约束下，对然后，逐结点轮流分配、传递，在其它刚结点刚臂有效约束下，对目标结点使用单结点结构的力矩分配法进行计算，直到所有结点上附加目标结点使用单结点结构的力矩分配法进行计算，直到所有结点上附加刚臂内的约束力矩小到可略去不计时为止；刚臂内的约束力矩小到可略去不计时为止；最后，将以上步骤所得各杆端的对应杆端弯矩（包括固端弯矩、分最后，将以上步骤所得各杆端的对应杆端弯矩

62、（包括固端弯矩、分配弯矩和传递弯矩）叠加，即得所求的杆端弯矩（总弯矩）。配弯矩和传递弯矩）叠加，即得所求的杆端弯矩（总弯矩）。一般只需对各结点进行两到三个循环的运算，就能达到较好的精度一般只需对各结点进行两到三个循环的运算，就能达到较好的精度.All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例】试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。EI为常数。为常数。【解解】(1) (1) 计算准算准备计算算转动刚度度BABA杆杆转动刚度：度：BCBC杆杆转动刚度：度：CDCD杆杆转动刚度：度：结点点B B转动刚度：度：结点点C C转动刚度：度：All Righ

63、ts Reserved重庆大学土木工程学院计算分配系数算分配系数对结点点B B计算：算：对结点点C C计算：算：计算固端弯矩算固端弯矩ABAB杆：杆：BCBC杆：杆：All Rights Reserved重庆大学土木工程学院计算不平衡力矩算不平衡力矩(2) 计算过程计算过程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3) 弯矩图绘制弯矩图绘制 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。EI为常数。为常数。 【解解】(1) (1) 计算准算准备计算算转动刚度度BABA杆杆转动刚度：度：B

64、CBC杆杆转动刚度：度：CDCD杆杆转动刚度：度：All Rights Reserved重庆大学土木工程学院BEBE杆杆转动刚度：度：CFCF杆杆转动刚度：度：结点点B B转动刚度：度：结点点C C转动刚度：度：计算分配系数算分配系数对结点点B B计算：算：对结点点C C计算：算：All Rights Reserved重庆大学土木工程学院计算固端弯矩算固端弯矩ABAB杆：杆：BCBC杆：杆：计算不平衡力矩算不平衡力矩All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2) 计算过程计算过程 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3) 弯矩图绘制弯矩图绘制 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院