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1、学习必备欢迎下载二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式： y=ax +bx+c (a 0) 。2、顶点式： y=a(xh)+k (a 0)，其中点(h,k) 为顶点，对称轴为x=h3、交点式： y=a(xx )(x x ) (a0)其中 x ,x是抛物线与 x 轴的交点的横坐标求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x 轴的
2、交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。探究问题，典例指津：例 1、已知二次函数的图象经过点和求这个二次函数的解析式分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax +bx+c (a0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax +bx+c (a 0)依题意得：解这个方程组得：这个二次函数的解析式为y=2x +3x4。例 2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线的顶点坐标为，最好抛开题目给出的， 重新设顶点式 y=a(x h)+k (a 0) ， 其中点 (h,k)为顶点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
3、- - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x4)1 (a 0)又抛物线与轴交于点。a(04)1=3 a=这个二次函数的解析式为y=(x 4)1，即 y=x 2x+3。例 3、如图，已知两点A （8，0），（2，0），以 AB为直径的半圆与 y 轴正半轴交于点 C 。求经过 A、B、C三点的抛物线的解析式。分析： A、B 两点实际上是抛物线与x 轴的交点，所以可设交点式 y=a(xx )(x x ) (a0) ，其中 x ,x是抛物线与 x 轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x 2)又连结 A
4、C 、BC ，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC =AC BC=8 2 OC=4即 C(0,4) 。a(0+8)(0 2)=4 a=这个二次函数的解析式为y=(x+8)(x 2) ，即 y=x x+4。变式练习，创新发现1、在图的方格纸上有A、B、C三点（每个小方格的边长为1 个单位长度）（l ）在给出的直角坐标系中分别写出点A、B、C的坐标；（2）根据你得出的 A、B、C三点的坐标，求图象经过这三点的二次函数的解析式2、已知抛物线的顶点坐标为，与轴交于点，求这条抛物线的解析式。3、已知抛物线过 A （2，0）、B（1，0）、C （0，2）三点。求这条抛物线的解析式。精选学习资料 - -
5、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载参考答案：1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y=x 4x+9。2、y=(x2)+1，即 y=x 4x+5。3、y=(x+2)(x 1)，即 y=x x+2。十种二次函数解析式求解一三点式。1， 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A（，0），B（，0），C （0，-3 ）三点，求抛物线的解析式。2， 已知抛物线 y=a(x-1)+4 ， 经过点 A（2，3），求抛物线的解析式。二顶点式。1， 已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1），求抛
6、物线的解析式。2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（ 3，1），求抛物线的解析式。三交点式。1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为 （3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4， 0） ， （1， 0） 求抛物线 y=a(x-2a)(x-b)的解析式。四定点式。1， 在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线经过 x 轴上一定点 Q ，直线经过点 Q,求抛物线的解析式。2， 抛物线 y= x2+(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4 ，求抛物线的解析式。3， 抛物线 y=ax2+ax-2
7、过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。五平移式。1， 把抛物线 y= -2x2向左平移 2 个单位长度，再向下平移1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k, 求此抛物线解析式。2，抛物线向上平移 , 使抛物线经过点 C(0,2), 求抛物线的解析式。六距离式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载1， 抛物线 y=ax2+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。2， 已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m 0)与 x 轴交于 A、B两点
8、，与轴交于 C点，且 AB=BC, 求此抛物线的解析式。七对称轴式。1、 抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。2、 已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A在点 B 左边）两点，交 y 轴于点 C,且 OB-OA= OC ，求此抛物线的解析式。八对称式。1， 平行四边形 ABCD 对角线 AC在 x 轴上，且 A （-10，0），AC=16 ，D （2，6）。AD交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿 x 轴折叠，点 B到 B1的位置，求经过 A,B,E三点的抛物线的解析
9、式。2， 求与抛物线 y=x2+4x+3关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。九切点式。1，已知直线 y=ax-a2(a0) 与抛物线 y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式。2， 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2+k 的唯一公共点 A （2，1）, 求抛物线的解析式。3，十判别式式。1、 已知关于 X 的一元二次方程（ m+1 ）x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、 已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上, 求抛物线的解析式。3、已知抛物线 y=(m+1)x2+(m+2)x+1与 x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
