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1、优秀学习资料欢迎下载中考数学矩形菱形与正方形解答题训练五42. (2014?山西,第 23 题 11 分)课程学习:正方形折纸中的数学动手操作:如图 1,四边形 ABCD 是一张正方形纸片,先将正方形ABCD 对折,使 BC与 AD重合,折痕为 EF ,把这个正方形展平,然后沿直线CG折叠,使 B点落在 EF上,对应点为 B数学思考: (1) 求CB F 的度数; (2) 如图 2, 在图 1 的基础上,连接 AB , 试判断 BAE与GCB 的大小关系,并说明理由;解决问题:(3)如图 3,按以下步骤进行操作:第一步:先将正方形ABCD 对折,使 BC与 AD重合,折痕为 EF,把这个正方形
2、展平,然后继续对折,使AB与DC重合,折痕为MN,再把这个正方形展平,设EF和MN相交于点O;第二步:沿直线 CG折叠,使 B点落在 EF上,对应点为 B,再沿直线 AH折叠,使 D点落在 EF上,对应点为 D;第三步:设 CG 、AH分别与 MN 相交于点 P、Q ,连接 BP、PD 、D Q 、QB ,试判断四边形 BPD Q的形状,并证明你的结论考点:四边形综合题分析: (1)由对折得出 CB =CB ,在 RT BFC中,sin CB F= ,得出 CB F=30,(2) 连接 BB 交 CG 于点 K, 由对折可知,BAE =BBE , 由BBE +KBC =90, KBC +GCB
3、 =90,得到 BBE =GCB ,又由折叠知 GCB =GCB 得 BAE =GCB ,(3)连接 AB 利用三角形全等及对称性得出EB = NP =FD = MQ ,由两次对折可得, OE =ON =OF =OM ,OB = OP =0D= OQ ,四边形 BPD Q为矩形,由对折知, MN EF ,于点 O ,PQ BD于点 0,得到四边形 BPD Q为正方形,解答 解: (1)如图 1,由对折可知, EFC =90, CF =CD ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载四边形 ABCD 是
4、正方形,CD =CB ,CF = BC ,CB = CB ,CF = CB 在 RT BFC中,sin CB F=,CB F=30,(2)如图 2,连接 BB 交 CG于点 K,由对折可知, EF垂直平分 AB ,BA=BB,BAE =BBE ,四边形 ABCD 是正方形,ABC =90,BBE +KBC =90,由折叠知, BKC =90,KBC +GCB =90,BBE =GCB ,又由折叠知, GCB =GCB ,BAE =GCB ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载(3)四边形 BPD
5、Q为正方形,证明:如图 3,连接AB由(2)可知 BAE =GCB ,由折叠可知, GCB =PCN ,BAE =PCN ,由对折知 AEB =CNP =90,AE = AB ,CN =BC ,又四边形 ABCD 是正方形,AB =BC ,AE =CN ,在AEB 和 CNPAEB CNPEB = NP ,同理可得, FD = MQ ,由对称性可知, EB = FD ,EB = NP =FD = MQ ,由两次对折可得, OE =ON =OF =OM ,OB = OP =0D = OQ ,四边形 BPD Q为矩形,由对折知, MN EF ,于点 O ,PQ BD于点 0,四边形 BPD Q为正
6、方形,点评:本题主要考查了四边形的综合题,解决本题的关键是找准对折后的相等角,相等边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载43. (2014?乐山,第 19 题 9 分)如图,在 ABC 中,AB =AC ,四边形 ADEF 是菱形,求证: BE =CE 考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质. 专题:证明题分析:根据四边形 ADEF 是菱形, 得 DE =EF, AB EF , DE AC可证明 DFE FCE ,即可得出 BE =CE 解答:证明:四边形 ADEF 是菱形,DE =EF ,AB
7、 EF ,DE AC ,C=BED ,B=CEF ,AB =AC ,B=C,在DFE和FCE中,DFE FCE ,BE =CE 点评:本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定和性质,是基础题,比较简单44. (2014?乐山,第 21题 10 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD BC ,ADC =90,B=30,CE AB ,垂足为点 E若 AD =1,AB =2,求 CE的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载考点:直角梯形;矩形的判定与性质;解直角三角形. 分析:利用锐角三角函数关系得出BH
8、的长,进而得出 BC的长, 即可得出 CE的长解答:解:过点 A作 AH BC于 H ,则 AD =HC =1,在ABH中,B=30, AB =2,cos30=,即 BH =ABcos 30=2=3,BC =BH +BC =4,CE AB ,CE =BC =2点评:此题主要考查了锐角三角函数关系应用以及直角三角形中30所对的边等于斜边的一半等知识,得出BH的长是解题关键45. (2014?丽水,第 23 题 10 分)提出问题:(1)如图 1,在正方形 ABCD 中,点 E,H分别在 BC ,AB上,若 AE DH于点 O ,求证: AE =DH ;类比探究:(2)如图 2,在正方形 ABCD
9、 中,点 H,E,G ,F分别在 AB ,BC ,CD ,DA上,若 EF HG于点 O ,探究线段 EF与 HG的数量关系,并说明理由;综合运用:(3)在( 2)问条件下, HF GE ,如图 3 所示,已知 BE =EC =2,EO =2FO ,求图中阴影部分的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载考点: 四边形综合题分析: (1) 由正方形的性质得 AB =DA , ABE =90=DAH 所以 HAO +OAD =90,又知 ADO +OAD =90, 所以 HAO =ADO , 于是
10、ABE DAH可得 AE =DH ;(2)EF =GH 将 FE平移到 AM 处,则 AM EF,AM =EF ,将 GH平移到 DN处,则 DN GH ,DN =GH 根据( 1)的结论得 AM =DN ,所以 EF =GH ;(3) 易得 AHF CGE , 所以, 由 EC =2得 AF=1, 过 F作 FP BC于 P,根据勾股定理得EF=,因为 FH EG ,所以根据( 2)知EF=GH ,所以 FO =HO ,再求得三角形FOH 与三角形 EOG 的面积相加即可解答: 解: (1)四边形 ABCD 是正方形,AB =DA ,ABE =90=DAH HAO +OAD =90AE DH
11、 ,ADO +OAD =90HAO =ADO ABE DAH (ASA ) ,AE =DH (2)EF =GH 将 FE平移到 AM处,则 AM EF,AM =EF 将 GH平移到 DN处,则 DN GH ,DN =GH 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载EF GH ,AMDN,根据( 1)的结论得 AM =DN ,所以 EF=GH ;(3)四边形 ABCD 是正方形,AB CDAHO =CGOFH EGFHO =EGOAHF =CGEAHF CGEEC =2 AF =1 过 F 作 FP BC
12、于 P,根据勾股定理得 EF =,FH EG ,根据( 2)知 EF =GH ,FO =HO ,阴影部分面积为点评: 本题考查了三角形的综合知识用到全等三角形的判定与性质、相似三角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载形的判定与性质、勾股定理等综合性较强,难度较大46 (2014?黑龙江牡丹江 , 第 26 题 10 分)如图,在RtABC中,ACB=90,过点C的直线MNAB,D为 AB边上一点,过点 D作 DE BC ,交直线 MN于 E,垂足为 F,连接 CD 、BE (1)求证: CE =A
13、D ;(2)当 D在 AB中点时,四边形 BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由;(3)若 D为 AB中点,则当 A的大小满足什么条件时,四边形BECD 是正方形?请说明你的理由第 1 题图考点: 正方形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质;菱形的判定有分析: (1)先求出四边形 BECD 是平行四边形,根据平行四边形的性质推出即可;(2)求出四边形 BECD 是平行四边形,求出CD =BD ,根据菱形的判定推出即可;(3)求出 CDB =90,再根据正方形的判定推出即可解答: (1)证明: DE BC ,DFB =90,ACB =90,ACB =DFB ,AC DE ,M
14、N AB ,即 CE AD ,四边形 ADEC 是平行四边形,CE =AD ;(2)解:四边形 BECD 是菱形,理由是: D为 AB中点,AD =BD ,CE =AD ,BD =CE ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载BD CE ,四边形BECD是平行四边形,ACB =90, D为 AB中点,CD =BD ,四边形 BECD 是菱形;(3)当 A=45时,四边形 BECD 是正方形,理由是:解: ACB =90, A=45,ABC =A=45,AC =BC ,D为 BA中点,CD AB ,C
15、DB =90,四边形 BECD 是菱形,四边形 BECD 是正方形,即当 A=45时,四边形 BECD 是正方形点评: 本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定,菱形的判定,直角三角形的性质的应用,主要考查学生运用定理进行推理的能力47 (2014?四川广安 , 第 19 题 6 分)如图,在正方形 ABCD 中,P是对角线 AC上的一点,连接 BP 、DP ,延长 BC到 E,使 PB =PE 求证: PDC =PE C考点: 全等三角形的判定与性质;正方形的性质专题: 证明题分析: 根据正方形的四条边都相等可得BC =CD ,对角线平分一组对角可得BCP=DCP,再利用“边角边”证明
16、BCP和DCP全等,根据全等三角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载形对应角相等可得 PDC =PBC ,再根据等边对等角可得PBC =PEC ,从而得证解答: 证明:在正方形 ABCD 中,BC =CD ,BCP =DCP ,在BCP 和DCP 中,BCP DCP (SAS ) ,PDC =PBC ,PB =PE ,PBC=PEC,PDC =PE C点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质, 等边对等角的性质,熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键48(2014?浙江绍兴 , 第
17、 23 题 6 分)(1) 如图, 正方形 ABCD 中, 点 E, F 分别在边 BC , CD上, EAF =45,延长 CD到点 G ,使 DG =BE ,连结 EF ,AG 求证: EF=FG (2)如图,等腰直角三角形ABC中, BAC =90, AB =AC ,点 M ,N在边 BC上,且 MAN =45,若BM =1,CN =3,求 MN的长考点: 全等三角形的判定与性质;正方形的性质专题: 证明题分析: (1)证 ADG ABE ,FAE GAF ,根据全等三角形的性质求出即可;(2)过点C作CEBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM连接AE、EN通精选学习资料 - - -
18、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载过证明 ABM ACE (SAS )推知全等三角形的对应边AM =AE 、对应角BAM=CAE;然后由等腰直角三角形的性质和MAN=45得到MAN =EAN =45,所以 MAN EAN (SAS ) ,故全等三角形的对应边MN =EN ;最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即 MN2=BM2+NC2解答: (1)证明:在正方形ABCD 中,ABE =ADG ,AD =AB ,在ABE和ADG 中,ABE ADG (SAS ) ,BAE =DAG ,AE =AG ,EAG =90,
19、在FAE和GAF中,FAE GAF (SAS ) ,EF =FG(2)解:如图 2,过点 C作 CE BC ,垂足为点 C ,截取 CE ,使 CE =BM 连接 AE 、EN AB =AC ,BAC =90, B=C=45CE BC , ACE =B=45在ABM 和ACE中,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页优秀学习资料欢迎下载ABM ACE (SAS ) AM =AE ,BAM =CAE BAC =90, MAN =45, BAM +CAN =45于是,由 BAM =CAE ,得 MAN =EAN =45在MAN 和EAN中,MAN EAN (SAS ) MN =EN 在 RtENC 中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2MN2=BM2+NC2BM =1,CN =3,MN2=12+32,MN =点评: 本题主要考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用=*以上是由明师教育编辑整理= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页