《2022年九年级圆的基础知识点、经典例题和课后习题》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年九年级圆的基础知识点、经典例题和课后习题(24页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、范文 .范例.参考WORD 格式整理版圆【知识梳理】1. 圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念圆:平面上到定点的距离 等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中定点为圆心,定长为半径弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径(2)圆的有关性质圆是轴对称图形;其对称轴是任意一条过圆心的直线;圆是中心对称图形,对称中心为圆心垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧说明: 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说,如果具备:过圆心
2、; 垂直于弦; 平分弦; 平分弦所对的优弧; 平分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。弧、半圆、优弧、劣弧:弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“ ”表示,以 CD为端点的弧记为“” ,读作“圆弧 CD ”或“弧 CD ” 。半圆:直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧叫做半圆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版优弧:大于半圆的弧叫做优弧劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧。( 为了区别优弧和劣弧,优弧用三个字母表示。 ) 弧、弦、圆心角的关系:在同
3、圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角; 90”的圆周角所对的弦是直径等圆:能够完全重合的两个圆叫做等圆,半径相等的两个圆是等圆。等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 弦心距 : 从圆心到弦的距离叫做弦心距. (3)对圆的定义的理解 :圆是一条封闭曲线,不是圆面;圆由两个条件唯一确定:一是圆心(即定点),二是半径(即定长) 2. 与圆有关的角(1)圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角。圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2)圆周角
4、:顶点在圆上,两边分别和圆相交的角,叫圆周角。圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(3)圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版(4)圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角3. 点与圆的位置关系及其数量特征:如果圆的半径为 r,点到圆心的距离为d,则点在圆上 d=r; 点在圆内 dr; 点在圆外 dr. 其中点在圆上的数量特征是重点,它
5、可用来证明若干个点共圆,方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。4. 确定圆的条件 : 1. 理解确定一个圆必须的具备两个条件: 圆心和半径 , 圆心决定圆的位置 , 半径决定圆的大小 . 经过一点可以作无数个圆 , 经过两点也可以作无数个圆, 其圆心在这个两点线段的垂直平分线上 . 2. 经过三点作圆要分两种情况: (1) 经过同一直线上的三点不能作圆. (2) 经过不在同一直线上的三点, 能且仅能作一个圆 . 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3. 三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的概念: (1)三角形的外接圆和圆的内接三角形: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个
6、三角形的外接圆 , 这个三角形叫做圆的内接三角形. (2) 三角形的外心 : 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版(3) 三角形的外心的性质 : 三角形外心到三顶点的距离相等. 5. 直线与圆的位置关系1. 直线和圆相交、相切相离的定义: (1) 相交: 直线与圆有两个公共点时 , 叫做直线和圆相交 , 这时直线叫做圆的割线. (2) 相切: 直线和圆有惟一公共点时 , 叫做直线和圆相切 , 这时直线叫做圆的切线, 惟一的公共点做切点 .
7、 (3) 相离: 直线和圆没有公共点时 , 叫做直线和圆相离 . 2. 直线与圆的位置关系的数量特征: 设O的半径为 r,圆心 O到直线的距离为 d;dr 直线 L 和O相交. d=r 直线 L 和O相切. dr 直线 L 和O相离. 3. 切线的总判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线. 4. 切线的性质定理 : 圆的切线垂直于过切点的半径. 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系, 可得如下结论 : 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个, 就可推出第三个 .
8、 垂直于切线 ; 过切点 ; 过圆心 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念. 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆, 内切圆的圆心叫做三角形的内心 , 这个三角形叫做圆的外切三角形. 6. 三角形内心的性质 : (1) 三角形的内心到三边的距离相等. (2) 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角. 由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点 , 该线平分三角形的这个内角 . 6. 圆和圆的位置关系 . 1.
9、外离、外切、相交、内切、内含(包括同心圆 ) 这五种位置关系的定义 . (1) 外离: 两个圆没有公共点 , 并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时, 叫做这两个圆外离 . (2) 外切: 两个圆有惟一的公共点 , 并且除了这个公共点以外, 每个圆上的点都在另一个圆的外部时 , 叫做这两个圆外切 . 这个惟一的公共点叫做切点. (3) 相交: 两个圆有两个公共点 , 此时叫做这个两个圆相交 . (4) 内切: 两个圆有惟一的公共点 , 并且除了这个公共点以外, 一个圆上的都在另一个圆的内部时 , 叫做这两个圆内切 . 这个惟一的公共点叫做切点. (5) 内含: 两个圆没有公共点 , 并且一个圆上
10、的点都在另一个圆的内部时, 叫做这两个圆内含 . 两圆同心是两圆内的一个特例. 2. 两圆位置关系的性质与判定: (1) 两圆外离 dR+r 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版(2) 两圆外切 d=R+r (3) 两圆相交 R-rdR+r (R r) (4) 两圆内切 d=R-r (Rr) (5) 两圆内含 dr) 3. 相切两圆的性质 : 如果两个圆相切 , 那么切点一定在连心线上 . 4. 相交两圆的性质 : 相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 7. 圆内接四边形若四边形的四
11、个顶点都在同一个圆上, 这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆. 圆内接四边形的特征 : 圆内接四边形的对角互补; 圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角. 8. 弧长及扇形的面积1. 圆周长公式 : 圆周长 C=2R (R 表示圆的半径 ) 2. 弧长公式 : 弧长180Rnl (R 表示圆的半径 , n表示弧所对的圆心角的度数) 3. 扇形定义 : 一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. 4. 弓形定义 : 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24
12、 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版图 5 OBCACBAOCBAO弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高. 5. 圆的面积公式 . 圆的面积2RS (R 表示圆的半径 ) 6. 扇形的面积公式 : 扇形的面积3602RnS扇形 (R 表示圆的半径 , n 表示弧所对的圆心角的度数) 弓形的面积公式 :( 如图 5) (1) 当弓形所含的弧是劣弧时 , 三角形扇形弓形SSS(2) 当弓形所含的弧是优弧时, 三角形扇形弓形SSS(3) 当弓形所含的弧是半圆时, 扇形弓形SRS221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页范
13、文 .范例.参考WORD 格式整理版OCBAABCDO例题解析【例题 1】如图 1, O是ABC 的外接圆, AB 是直径,若80BOC,则A等于() A60o B50o C40o D30o图 1 图 2 图 3 【例题 2】如图 2,以 O为圆心的两个同心圆中, 大圆的弦 AB与小圆相切于点 C,若大圆半径为10cm ,小圆半径为 6cm ,则弦 AB的长为 cm【例题 3】如图 3,ABC内接于 O ,AB=BC ,ABC=120 , AD为O的直径,AD 6,那么 BD _【例题 4】如图 4 已知 O的两条弦 AC ,BD相交于点 E,A=70o,c=50o,那么 sin AEB的值为
14、() A. 21 B. 33 C.22 D. 23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版CBAOB C A O C A B S1 S2 图 4 【例题 5】如图 5,半圆的直径10AB,点 C在半圆上,6BC(1)求弦 AC的长;(2)若 P为 AB的中点, PEAB交 AC 于点 E,求 PE的长三、课堂练习1、如图 6,在 O中, ABC =40,则AOC 度P B C E A (图 8)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
15、第 9 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版图 6 图 7 图 8 2、 如图 7, AB是O的直径, AC是弦, 若ACO = 32,则COB 的度数等于3、已知 O的直径 AB =8cm ,C为O上的一点, BAC =30o,则 BC =_cm. 4、如图 8,已知在 RtABC中,RtACB,4AB,分别以 AC , BC 为直径作半圆,面积分别记为1S,2S,则1S+2S的值等于5、如图 9,O的半径 OA 10cm ,P为 AB上一动点,则点 P到圆心 O的最短距离为_cm 。图 9 6、如图 10,在O中, ACB= BDC=60 , AC=cm32,(1)求 B
16、AC的度数;(2)求 O的周长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版7、已知:如图 11,O的直径 AB与弦 CD相交于,弧 BC 弧 BD ,O的切线BF与弦 AD的延长线相交于点F(1) 求证:CDBF(2) 连结 BC,若O的半径为 4,cos BCD=34, 求线段 AD 、CD的长8、如图 12,在 ABC中,AB=BC ,以 AB为直径的 O与AC交于点 D,过 D作 DF BC ,交 AB的延长线于 E,垂足为 F(1) 求证:直线 DE是O的切线;(2) 当 AB
17、=5 ,AC=8时,求 cosE 的值图 12 四、经典考题解析精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版 1. 如图 13,在 O中,已知 A CB CDB 60,AC 3,则 ABC的周长是_. 图 13 图 14 图 15 2. “圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题:“今有圆材,埋在壁冲,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,间径几何”用数学语言可表述为如图 14,CD为O的直径,弦 AB CD于点 E,CE 1 寸,AB=10寸,则直径 CD的长为() A 125 寸 B
18、 13 寸 C 25寸 D 26 寸3. 如图 15,已知 AB是半圆 O的直径,弦 AD和 BC相交于点 P,那么CDAB等于() A sin BPD BcosBPD C tan BPD D cot BPD 4. O的半径是 5,AB 、CD为O的两条弦,且 AB CD ,AB=6 ,CD=8 ,求 AB 与 CD之间的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版5. 如图 16,在 M中,弧 AB所对的圆心角为1200,已知圆的半径为2cm ,并建立如图所示的直角坐标系,点C是
19、 y 轴与弧 AB的交点。(1)求圆心 M的坐标;( 2)若点 D是弦 AB所对优弧上一动点,求四边形ACBD 的最大面积图 16 五、课后训练 1. 如图 17,在 O中,弦 AB=1.8cm ,圆周角 ACB=30,则 O的直径等于_cm CDABOMYX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版图 17 图 18 图 19 2. 如图 18,C是O上一点, O是圆心若 C=35 ,则 AOB 的度数为() A 35B70 C105D1503. 如图 19,O内接四边形 ABCD
20、 中,AB=CD ,则图中和 1 相等的角有 _ 4. 在半径为 1 的圆中,弦 AB 、AC分别是3和2,则 BAC的度数为多少?5. 如图 20,弦 AB的长等于 O的半径,点 C在O上,则C的度数是 _. 图 20 图21 图22 6. 如图 21,四边形 ABCD内接于 O ,若BOD=100 ,则 DAB 的度数为() A 50 B80 C100 D 1307. 如图 22,四边形 ABCD 为O的内接四边形, 点 E在 CD的延长线上, 如果BOD=120 ,那么BCE 等于() A 30 B60 C 90 D120精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
21、 - - - - - -第 14 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版8. 如图, O的直径 AB=10 ,DE AB于点 H,AH=2 (1)求 DE的长;(2)延长 ED到 P,过 P作O的切线,切点为 C ,若 PC=225,求 PD的长九年级数学圆练习题一、填空题: (21 分)1、如图,在 O中,弦 AB OC ,115AOC,则BOC =_ 2、如图,在 O中,AB是直径,15C,则BAD =_ 3、如图,点 O是ABC 的外心,已知40OAB,则ACB=_ 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共
22、 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版(1 题图)(2 题图)(3 题图)(4 题图)4、如图, AB是O的直径,弧 BC= 弧 BD ,25A,则BOD(5 题图)(6 题图)(7 题图)5、如图, O的直径为 8,弦 CD垂直平分半径 OA ,则弦 CD BOCAOABCDOABCDBOACDBOACOABPA B C O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版6、已知 O的半径为 2cm ,弦 AB 2cm ,P点为弦 AB上一动点,则线段OP的范围是7、如图,在
23、 O中, B=50 o, C=20 o,则 BOC 的=_ 二、解答题( 70 分)1、如图,AB是O的直径 . 若 OD AC ,与的大小有什么关系?为什么?2、已知:如图,在 O中,弦 AB=CD. 求证: 弧 AC= 弧 BD ;AOC= BOD DBCAOCAOBDBD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版3、如图,已知: O中,AB 、CB为弦,OC交 AB于 D,求证: (1)ODB OBD ,(2)ODB OBC ;4、已知如图,AB 、AC为弦, OM AB于
24、M ,ON AC于 N ,MN 是ABC的中位线吗?ABCDONMOAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版5、已知如图, AB 、CD是O的直径, DF 、BE是弦,且 DF=BE ,求证: D= B 6、已知如图, AB是O的直径,C是O上的一点, CD AB于 D ,CE平分 DCO ,交O于 E,求证:弧 AE= 弧 EB OABCDFEOABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 24 页范文
25、.范例.参考WORD 格式整理版7、如图,已知 ABC ,AC =3,BC =4,C =90,以点C为圆心作 C ,半径为 r . (1) 当 r 取什么值时,点 A、B在C外. (2) 当 r 在什么范围时,点A在C内,点 B在C外. (2) 当 r 在什么范围时, C与线段 AB相切。ABC三、计算下列各题:(40分)1、如图,已知 AB为O的直径, AC为弦, OD BC交 AC于 D,OD = cm2,求 BC的长;ABCDO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版2、如图
26、,在 RtABC中,C 90, AC 3,BC 4,以点 C为圆心, CA为半径的圆与 AB 、BC分别交于点 D 、E,求 AB 、AD的长3、如图, O的直径 AB和弦 CD相交于点 E,且 AE=1cm ,EB=5cm ,DEB=60 ,求 CD的长。ABCDEEOABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版4、如图,在直径为100 mm 的半圆铁片上切去一块高为20 mm 的弓形铁片,求弓形的弦 AB的长. AB5、如图所示,已知矩形ABCD 的边ABcmADcm34,
27、。(1)以点 A为圆心, 4cm为半径作 A,则点 B、C 、D与A的位置关系如何?(2)若以点 A为圆心作 A,使 B、C、D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则 A的半径 r 的取值范围是什么?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版四、作图题:(9 分)如图是一块圆形砂轮破碎后的部分残片, 试找出它的圆心, 并将它还原成一个圆要求:、尺规作图;、保留作图痕迹(可不写作法)五、探究拓展与应用( 10 分)A C D B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 24 页范文 .范例.参考WORD 格式整理版1、在探讨圆周角与圆心角的大小关系时,小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图(1) 所示:AOC 是ABO 的外角AOC= ABO+ BAO又OA=OB OAB= OBA AOC=2 ABO 即ABC=21AOC 如果 ABC的两边都不经过圆心,如图(2) 、 (3) ,那么上述结论是否成立?请你说明理由。(3)(2)(1)ABCOABCOOCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 24 页