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1、北 师 大 版 数 学 课 件精 品 整 理 3 3 函数的单调性函数的单调性 1. 1.了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、了解单调函数、单调区间的概念，能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思单调区间这两个概念的大致意思. . 2.2.理解函数单调性的概念，能用自已的语言表述概念；理解函数单调性的概念，能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图并能根据函数的图像像指出单调性、写出单调区间指出单调性、写出单调区间. .（重点）（重点） 3.3.掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法，能运掌握运用函数单调性定义解决具体问题的方法，能运用函数单调性的定义证明简单函数的单调性用函数单
2、调性的定义证明简单函数的单调性. .（难点）（难点） 4. 4.了解函数最值的概念，会求某些函数的最大值及最小了解函数最值的概念，会求某些函数的最大值及最小值值. .（重点、难点）（重点、难点） 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗问题例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题旱工作中必须解决的实际问题. .下面我们开始研究函数下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质在这方面的一个主要性
3、质函数的单调性函数的单调性画出下列函数的图像，观察其变化规律：画出下列函数的图像，观察其变化规律： 1.1.从左至右图像上升还是下降从左至右图像上升还是下降? _? _2.2.在在区区间间_上上，随随着着x x的的增增大大，f(x)f(x)的的值值随随着着 _ _ f(x) = xf(x) = x(-,+)(-,+)增大增大上升上升1.1.在区间在区间_上，上，f(x)f(x)的值随着的值随着x x的增大而的增大而_2.2.在区间在区间_上，上，f(x)f(x)的值随着的值随着x x的增大而的增大而_._. f(x) = xf(x) = x2 2(-,0(-,0(0,+)(0,+)增大增大减小
4、减小画出下列函数的图像，观察其变化规律：画出下列函数的图像，观察其变化规律： -2 212345-23-3-4-5-1-112如图，你能说出它的函数值如图，你能说出它的函数值y y随自变量随自变量x x的变化情况吗？的变化情况吗？怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢？O O 在在函函数数y=f(x)y=f(x)的的定定义义域域内内的的一一个个区区间间A A上上，如如果果对对于于任任意意两两数数x x1 1，x x2 2AA，当当x x1 1xx2 2时时，都都有有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，那那么么, ,就就称称函函数数y=f(x)y=
5、f(x)在在区区间间A A上上是是增增加加的的，有有时时也也称称函函数数y=f(x)y=f(x)在区间在区间A A上是上是递增递增的的 1 1增函数增函数2 2减函数减函数 在在函函数数y=f(x)y=f(x)的的定定义义域域内内的的一一个个区区间间A A上上，如如果果对对于于任任意意两两数数x x1 1，x x2 2AA，当当x x1 1xf(x)f(x2 2) )，那那么么, ,就就称称函函数数y=f(x)y=f(x)在在区区间间A A上上是是减减少少的的，有有时时也也称称函函数数y=f(x)y=f(x)在区间在区间A A上是上是递减递减的的 3.3.单调区间、单调性、单调函数单调区间、单
6、调性、单调函数 如果如果y=f(x)y=f(x)在区间在区间A A上是增加的或是减少的，那么称上是增加的或是减少的，那么称A A为为单调区间单调区间. . 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减在定义域的某个子集上是增加的或是减少的少的, ,那么就称函数那么就称函数y=f(x)y=f(x)在这个子集上具有单调性在这个子集上具有单调性. . 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减小的在整个定义域内是增加的或是减小的, ,我我们分别称这个函数为增函数或减函数们分别称这个函数为增函数或减函数, ,统称为单调函数统称为单调函数. . 1
7、.1.函函数数的的单单调调性性是是在在定定义义域域内内的的某某个个区区间间上上的的性性质质，是函数的是函数的局部性质局部性质；注意：注意： 2.2.必须是对于区间必须是对于区间A A内的内的任意任意两个自变量两个自变量x x1 1，x x2 2；当；当x x1 1xx2 2时时, ,总有总有f(xf(x1 1)f(x)f(x)f(x2 2) )，分别是增函数，分别是增函数或减函数或减函数. . 例例1 1 说出函数说出函数 的单调区间，并指明在该区的单调区间，并指明在该区间上的单调性间上的单调性. . 解解: :（-，0 0）和（）和（0 0，+）都是函数的单调区间，在）都是函数的单调区间，在
8、这两个区间上函数这两个区间上函数 是减少的是减少的. .图像不是连续上升或连续下图像不是连续上升或连续下降时，相同单调区间不能合降时，相同单调区间不能合并并. .证明证明: : 设设x x1 1,x,x2 2是是(0(0，+)+)上任意两个实数，且上任意两个实数，且x x1 1x0,0,又由又由 x x1 1x0,0,所以所以f(xf(x1 1)- f(x)- f(x2 2)0,)0, 即即f(xf(x1 1) f(x) f(x2 2).).变式练习变式练习例例2 2 画出函数画出函数 的图像，判断它的单调性，的图像，判断它的单调性，并加以证明并加以证明. .解：解：作出作出f(x)=3x+2
9、f(x)=3x+2的图像的图像. .由图看出，函数由图看出，函数f(x)f(x)的图像的图像在在R R上是上升的，函数上是上升的，函数f(x)f(x)是是R R上的增函数上的增函数. .证明：证明：设设 是是R R上的任意两个实数上的任意两个实数, ,且且 则则: :在在R R上是增函数上是增函数. . 取值取值作差变形作差变形判断差值符号判断差值符号下结论下结论 函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变化由于它的函数值是唯一确定的数，因而没有增减变化因因此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包
10、括端点此，在考虑它的单调区间时，端点有定义时包括端点，端端点无定义时不包括端点点无定义时不包括端点. . 我我们们观观察察上上图图，可可知知对对于于定定义义域域中中的的任任意意x,x,都都有有f(x)f(1),f(x)f(1),我们就说我们就说f(1)f(1)是这个函数的最大值是这个函数的最大值. .4 4最大值最大值 一般地，对于函数一般地，对于函数y=f(x)y=f(x)，其定义域为，其定义域为D D，如果存在，如果存在x x0 0D, f(xD, f(x0 0)=M,)=M,使得对于任意的使得对于任意的x x D,D,都有都有f(x)M,f(x)M,那那么，我们称么，我们称M M是函数是
11、函数y=f(x)y=f(x)的的最大值，最大值，即当即当x= xx= x0 0 时，时，f f(x(x0 0) )是函数是函数y=f(x)y=f(x)的最大值，记作的最大值，记作y ymaxmax=f(x=f(x0 0).). 例例3 3 如图如图, ,某地要修一个圆形的喷水池，水流在各个方某地要修一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为水平方向为x x轴、竖直方向为轴、竖直方向为y y轴建立平面直角坐标系，那轴建立平面直角坐标系，那么水流喷出的高度么水流喷出的高度h(h(单位：单位：m)m
12、)与水平距离与水平距离x(x(单位：单位：m)m)之间的函数关系式为之间的函数关系式为h=-xh=-x2 2+2x+ .+2x+ .求水流喷出的高度求水流喷出的高度h h的最大值是多少？的最大值是多少？ 解：解：由函数由函数h=-xh=-x2 2+2x+ +2x+ 的图像可知，显的图像可知，显然，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点然，函数图像的顶点就是水流喷出的最高点. .此时此时函数取得最大值函数取得最大值. .对于函数对于函数h=-xh=-x2 2+2x+ +2x+ ，当当x=1x=1时，函数有最大值时，函数有最大值h hmaxmax =-1 =-12 2 +2 +21+ 1+ （m).m
13、).于是水流喷出的最高高度是于是水流喷出的最高高度是 m.m. 例例4 4 已知函数已知函数 ，求函数的最大值和最，求函数的最大值和最小值小值. . 分析：分析：由函数由函数 的图像可知，函数的图像可知，函数f(x)f(x)在区间在区间0,20,2上递增上递增. .所以，函数所以，函数f(x)f(x)在区间在区间0,20,2的两的两个端点上分别取得最小值和最大值个端点上分别取得最小值和最大值. . 解：解：设设x x1 1,x,x2 2是区间是区间0,20,2上的任意两个实数，上的任意两个实数，且且x x1 1xx2 2 ，则，则 由由0x0x1 1x0,(x0,(x1 1+1)(x+1)(x
14、2 2+1)0,+1)0,所以所以f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0)0 , ,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) ) ，故故f(x)f(x)在区间在区间0,20,2上是增加的上是增加的. . 因此，函数因此，函数 在区间在区间00，22的左端点取得最小的左端点取得最小值，右端点取得最大值，值，右端点取得最大值，即最小值是即最小值是f(0)=-2f(0)=-2，最大值是，最大值是f(2)= .f(2)= .利用其单调利用其单调性求最值性求最值1. (20121. (2012东营高一检测）若函数东营高一检测）若函数f (x) f (x) 在区间在区间a, ba, b及及
15、(b, c(b, c上都单调递减上都单调递减, , 则则f (x)f (x)在区间在区间a, a, cc上的单调性为上的单调性为( )( )A.A.单调递减单调递减; ;B.B.单调递增单调递增; ;C.C.一定不单调一定不单调; ;D.D.不确定不确定. .D D2.2.函数函数y=y=x-2x-2的单调减区间是的单调减区间是_. .（-，2 2）（1 1，+）3.3.函数函数 的单调增区间是的单调增区间是_. . 4. 4. 如图如图, ,已知已知y=f(x) y=f(x) 的图像的图像( (包括端点包括端点),),根据图像说根据图像说出函数的单调区间出函数的单调区间, ,以及在每一单调区
16、间上以及在每一单调区间上, ,函数是增函数函数是增函数还是减函数还是减函数. .12-2-1-11o-2,-1,0,1-2,-1,0,1上是减函数上是减函数;-1,0,1,2;-1,0,1,2上是增函数上是增函数. .5. 5. 求函数求函数f(x)=-3x+2,x2,7f(x)=-3x+2,x2,7的最大值和最小值的最大值和最小值. . 解：解：由函数由函数f(x)=-3x+2f(x)=-3x+2在区间在区间22，77上是减函数，上是减函数，可知，可知，f(x)f(x)maxmax=f(2)=-4,f(x)=f(2)=-4,f(x)minmin=f(7)=-19=f(7)=-19 . . 讨
17、论函数的单调性必须在定义域内进行讨论函数的单调性必须在定义域内进行, ,故讨论函故讨论函数的单调性数的单调性, ,必须先确定函数的定义域必须先确定函数的定义域. . 根据定义证明函数单调性的一般步骤是：根据定义证明函数单调性的一般步骤是： 设设 是给定区间内的任意两个值，且是给定区间内的任意两个值，且作差作差 并将此差变形并将此差变形( (要注意变形的程度要注意变形的程度).).判断判断 的正负（说理要充分）的正负（说理要充分）. .根据根据 的符号确定其增减性的符号确定其增减性. . 3. 3.掌握利用掌握利用函数的单调性函数的单调性求最值的方法求最值的方法. .人生最终的价值在于觉醒和思考的能力，而不只在于生存。亚里士多德
