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1、学习必备欢迎下载二次函数压轴题解题思路一、基本知识1 会求解析式2.会利用函数性质和图像3.相关知识:如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法:如相似、三角函数、解方程。一些转换:如轴对称、平移、旋转。二、典型例题:(一)求解析式(2014 兰州)把抛物线y=2x2先向右平移1 个单位长度,再向上平移2个单位长度后,所得函数的表达式为()Ay=2(x+1)2+2 By=2(x+1)22 Cy=2(x 1)2+2 Dy=2(x1)22 (二)二次函数的相关应用第一类:面积问题1. (2014?兰州) 如图,抛物线 y=x2+mx+n 与 x 轴交
2、于 A、 B 两点, 与 y 轴交于点C,抛物线的对称轴交x 轴于点 D,已知 A ( 1,0) ,C (0,2) (1)求抛物线的表达式;(3)点 E时线段 BC上的一个动点,过点E作 x 轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形 CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标k | B精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页学习必备欢迎下载| 1 . c |O |m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页学
3、习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页学习必备欢迎下载第二类: .构造问题( 1)构造线段2. (2013?莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A( 3,0) 、B(1,0) 、C( 2, 1) ,交 y 轴于点 M (1)求抛物线的表达式;(2) D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直 x 轴于点 E ,交线段AM于点 F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;解: (1)把 A( 3,0) 、B(1,0) 、C( 2,1)代入得,解得。抛物线的表达式为。(2)将 x=0 代
4、入抛物线表达式,得y=1 点 M 的坐标为( 0,1) 。设直线 MA 的表达式为y=kx+b,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页学习必备欢迎下载则,解得。直线 MA 的表达式为。设点 D 的坐标为,则点 F 的坐标为。当时, DF 的最大值为。此时,即点 D 的坐标为。(3)存在点 P,使得以点P、A、N 为顶点的三角形与 MAO 相似。设 P,在 Rt MAO 中, AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P 不可能在第一象限。设点 P 在第二象限时,点P 不可能在直线MN 上,只能 PN=3NM。,即
5、,解得 m= 3 或 m= 8。此时 3m 0,此时满足条件的点不存在。当点 P 在第三象限时,点 P 不可能在直线MN 上,只能 PN=3NM。,即,解得 m= 3(舍去)或m= 8。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页学习必备欢迎下载当 m= 8 时,此时点 P 的坐标为( 8, 15) 。当点 P 在第四象限时,若 AN=3PN时,则,即 m2+m 6=0 。解得 m= 3(舍去)或m=2 。当 m=2时,此时点 P 的坐标为( 2,) 。若 PN=3NA,则,即 m27m 30=0 。解得 m= 3(舍去)或
6、m=10 。当 m=10时,此时点 P 的坐标为( 10 , 39) 。综上所述,满足条件的点P 的坐标为( 8, 15 ) 、 (2,) 、 (10,39 ) 。( 2)构造相似三角形3. (2013?莱芜)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A( 3, 0) 、B(1,0) 、C( 2,1) ,交 y 轴于点 M (1)求抛物线的表达式; (抛物线的表达式为y= ) (3)抛物线上是否存在一点P,作 PN垂直 x 轴于点 N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与 MAO 相似?若存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,
7、共 13 页学习必备欢迎下载在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由(2013?莱芜)解:由题意可知解得抛物线的表达式为y=(2)将 x=0 代入抛物线表达式,得y=1点 M的坐标为( 0,1) 设直线 MA的表达式为y=kx+b,则解得直线 MA的表达式为y=x+1设点 D的坐标为() ,则点 F的坐标为() DF=当时, DF的最大值为此时,即点 D的坐标为() (3)存在点 P,使得以点P、A、N 为顶点的三角形与 MAO相似设 P(m ,) 在 RtMAO中,AO=3MO,要使两个三角形相似,由题意可知,点P不可能在第一象限设点P 在第二象限时,点P不可能在直线 MN上,只能PN=3NM
8、 ,即 m2+11m+24=0 解得 m= 3(舍去)或m= 8又3m 0,故此时满足条件的点不存在当点 P 在第三象限时,点P不可能在直线MN上,只能PN=3NM ,即m2+11m+24=0 解得 m= 3 或 m= 8此时点P的坐标为( 8, 15) 当点 P 在第四象限时, 若 AN=3PN 时,则3,即 m2+m 6=0解得 m= 3 (舍去) 或 m=2 当m=2时,此时点 P的坐标为( 2,) 若 PN=3NA ,则,即 m27m30=0解得 m= 3(舍去)或m=10 ,此时点 P的坐标为( 10, 39) 综上所述,满足条件的点P的坐标为( 8, 15) 、 (2,) 、 (1
9、0,39) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页学习必备欢迎下载( 3)构造平行四边形4.( 2014?莱芜)如图,过A(1,0) 、B(3,0)作 x 轴的垂线,分别交直线y=4x 于 C、D 两点抛物线y=ax2+bx+c 经过 O、C、D 三点 (1)求抛物线的表达式;(2)点 M 为直线 OD 上的一个动点,过M 作 x 轴的垂线交抛物线于点N,问是否存在这样的点M,使得以 A、C、 M、N 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求此时点M 的横坐标;若不存在,请说明理由;(2014?莱芜)解:(1)由题意,可
10、得C(1,3) ,D(3,1) 抛物线过原点,设抛物线的解析式为: y=ax2+bx,解得,抛物线的表达式为:y=x2+x(2)存在设直线 OD 解析式为y=kx,将 D(3,1)代入求得k=,直线 OD 解析式为 y=x设点 M 的横坐标为x,则 M(x,x) ,N(x,x2+x) ,MN=|yMyN|=|x(x2+x)|=|x24x|由题意,可知 MN AC ,因为以 A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形,则有MN=AC=3 |x24x|=3若x24x=3,整理得: 4x212x9=0,解得: x=或 x=;若x24x=3,整理得: 4x212x+9=0,解得: x=存在满足条件的点
11、M,点 M 的横坐标为:或或( 4)构造等腰三角形5. (2013?泰安)如图,抛物线y=12x2+bx+c 与 y 轴交于点C(0,-4 ) ,与 x 轴交于点 A,B,且 B点的坐标为( 2,0) (1)求该抛物线的解析式(2)若点 P 是 AB上的一动点,过点P 作 PE AC,交 BC于 E,连接 CP ,求 PCE面积的最大值 (3)若点 D为 OA的中点,点M是线段 AC上一点,且OMD 为等腰三角形,求M点的坐标解:( 1)把点 C(0, 4), B(2,0)分别代入中,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13
12、 页学习必备欢迎下载得,解得。该抛物线的解析式为。( 2)令 y=0 ,即,解得 x1= 4,x2=2 。 A( 4,0), S ABC=AB?OC=12 。设 P 点坐标为( x,0),则 PB=2 x。 PE AC, BPE= BAC ,BEP= BCA 。 PBE ABC 。,即,化简得:。当 x= 1 时, S PCE的最大值为3。( 3) OMD为等腰三角形,可能有三种情形:当 DM=DO时,如图所示, DO=DM=DA=2,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页学习必备欢迎下载 OAC= AMD=45。AD
13、M=90。 M 点的坐标为(2, 2)。当 MD=MO时,如图所示,过点 M 作 MN OD 于点 N ,则点 N 为 OD 的中点, DN=ON=1,AN=AD+DN=3,又 AMN为等腰直角三角形,MN=AN=3。 M 点的坐标为(1, 3)。当 OD=OM时, OAC 为等腰直角三角形,点 O 到 AC 的距离为4=,即 AC 上的点与点O 之间的最小距离为。2,OD=OM的情况不存在。综上所述,点M 的坐标为( 2, 2)或( 1, 3)。( 1)利用待定系数法求出抛物线的解析式。( 2)首先求出 PCE 面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出其最大值。( 3) OMD为等腰三角形,
14、分DM=DO, MD=MO, OD=OM三种情况讨论即可。( 5)构造直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页学习必备欢迎下载6.(2014?四川内江)如图,抛物线y=ax2+bx+c 经过 A( 3.0) 、C(0,4) ,点 B 在抛物线上, CBx 轴,且 AB 平分 CAO (1)求抛物线的解析式;(2)线段 AB 上有一动点P,过点 P 作 y 轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段 PQ 的最大值;(3)抛物线的对称轴上是否存在点M,使 ABM 是以 AB 为直角边的直角三角形?如果存在,求出点M的坐
15、标;如果不存在,说明理由(2014?四川内江,第28 题, 12 分)解:(1)如图 1, A( 3,0) ,C(0,4) , OA=3 ,OC=4 AOC=90 , AC=5 BCAO ,AB 平分 CAO, CBA= BAO= CAB BC=AC BC=5 BCAO ,BC=5,OC=4,点 B 的坐标为( 5,4) A( 3.0) 、C(0,4) 、B(5,4)在抛物线 y=ax2+bx+c上,解得:抛物线的解析式为y=x2+x+4(2)如图 2,设直线 AB 的解析式为y=mx+n , A( 3.0) 、B(5,4)在直线 AB 上,解得:直线 AB 的解析式为y=x+设点 P 的横坐
16、标为t( 3 t 5) ,则点 Q 的横坐标也为tyP=t+,yQ=t2+t+4 PQ=yQyP=t2+t+4( t+)=t2+t+4t=t2+=( t22t15)= (t1)216=( t1)2+ 0, 3 1 5,当 t=1 时, PQ 取到最大值,最大值为线段PQ 的最大值为(3)当 BAM=90 时,如图 3 所示抛物线的对称轴为x= xH=xG=xM= yG= += GH= GHA= GAM=90 , MAH=90 GAH= AGM AHG= MHA=90 , MAH= AGM , AHG MHA =解: MH=11 点 M 的坐标为(, 11) 当ABM=90 时,如图 4 所示
17、BDG=90 ,BD=5=,DG=4 =, BG=同理: AG= AGH= MGB ,AHG= MBG=90 , AGH MGB=解得: MG= MH=MG+GH=+=9点 M 的坐标为(, 9) 综上所述:符合要求的点M 的坐标为(, 9)和(, 11) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页学习必备欢迎下载7.(常德)已知如图,以RtABC 的 AC 边为直径作 O 交斜边 AB 于点 E,连接 EO 并延长交 BC 的延长线于点D,点 F 为 BC 的中点,连接EF (1)求证: EF 是 O 的切线; (2)
18、若 O 的半径为 3, EAC60,求 AD 的长。证明: (1)连接 FO 易证 OFAB ACO 的直径 CEAE OFAB OFCE OF 所在直线垂直平分CE FCFE,OEOC FEC FCE, 0EC 0CE RtABC ACB 90即: 0CE FCE90 0EC FEC90 即: FEO90 FE 为 O 的切线(2) O 的半径为 3 AOCOEO3 EAC60, OAOE EOA60 COD EOA60在 RtOCD 中, COD60, OC3 CD33 在 RtACD 中, ACD90, CD33,AC6 AD37 8.(呼和浩特) )如图, O 是 ABC 的外接圆, P 是 O 外的一点, AM 是 O 的直径, PAC=ABC (1) 求证: PA 是 O 的切线;(2) 连接 PB 与 AC 交于点 D,与 O 交于点 E,F 为 BD 上的一点,若M 为弧 BC 的中点,且 DCF=P,求证:BD/PD = FD/ED = CD/AD 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页学习必备欢迎下载 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页