《高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第四节 直接证明和间接证明课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习 第十二章 复数、算法、推理与证明 第四节 直接证明和间接证明课件 理（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、理数课标版第四节直接证明和间接证明1.直接证明直接证明教材研读教材研读内容 综合法分析法定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质 由因导果执果索因框图表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQQP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命
2、题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.3.数学归纳法的步骤数学归纳法的步骤(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.1.用分析法证明时出现:欲使AB,只需Ccn+1解析解析由题意知,an=
3、,bn=n,cn=-n=.显然,cn随着n的增大而减小,cncn+1.5.用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,左边表达式是;从kk+1需增添的项是.答案答案1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3)解析解析用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,2n+1=3,所求左边表达式是1+2+3;从kk+1需增添的项是4k+5(或(2k+2)+(2k+3).考点一综合法考点一综合法典例典例1(2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比
4、中项.(1)设cn=-,nN*,求证:数列cn是等差数列;(2)设a1=d,Tn=(-1)k,nN*,求证:.考点突破考点突破证明证明(1)由题意得=anan+1,有cn=-=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列.(2)Tn=(-+)+(-+)+(-+)=2d(a2+a4+a2n)=2d=2d2n(n+1).所以=0,证明:+a+b+c.证明证明因为a,b,c0,根据基本不等式,有+b2a,+c2b,+a2c,三式相加,+a+b+c2(a+b+c),即+a+b+c.1-2(2016山东临沂模拟)在ABC中,角A
5、,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=,求证:5a=3b.证明证明(1)由已知得sinAsinB+sinBsinC=2sin2B,因为sinB0,所以sinA+sinC=2sinB,由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列.(2)由C=,c=2b-a及余弦定理得(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0,所以=,即5a=3b.考点二分析法考点二分析法典例典例2已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有f.证明证明要证明f,即证明-2,因此只要证明-(x1
6、+x2)-(x1+x2),即证明,因此只要证明,由于x1,x2R,所以0,0,由基本不等式知成立,故原结论成立.方法技巧方法技巧(1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.2-1已知ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.求证:+=.证明证明要证+=,即证+=3
7、,也就是+=1,只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需证c2+a2=ac+b2,又ABC的三个内角A,B,C成等差数列,故B=60,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.考点三反证法考点三反证法典例典例3(2015湖南,16,6分)设a0,b0,且a+b=+.证明:(1)a+b2;(2)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理,0b1,从而0ab1,这与ab=1矛
8、盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.易错警示易错警示用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的.3-1已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值为2,最小值为-.求证:a0 且2.证明证明假设a=0或2.(1)当a=0时,由a+c=0,得f(x)=bx,由题意得b0,f(x)=bx在-1,1上是单调函数,所以f(x)在-1,
9、1上的最大值为|b|,最小值为-|b|,由已知条件,得|b|+(-|b|)=2-=-,这与|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0.(2)当2时,a0,由二次函数f(x)的图象的对称轴为x=-,知f(x)在-1,1上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得.所以或又a+c=0,则b不存在,所以2.由(1)(2),得a0且a2,所以a2=3,a5=9,所以d=2,a1=1,所以an=2n-1.因为Tn=1-bn,所以b1=,当n2时,Tn-1=1-bn-1,因为bn=Tn-Tn-1=1-bn-,化简,得bn=bn-1,所以bn是首项为,公比为的等比数列,故bn=.所以an=2n-1,bn=.(2)因为Sn=n=n2,所以Sn+1=(n+1)2,以下比较与Sn+1的大小:当n=1时,=,S2=4,所以S2,当n=2时,=,S3=9,所以S3,当n=3时,=,S4=16,所以S5,猜想:当n4时,Sn+1.下面用数学归纳法证明:当n=4时,已证.假设当n=k(kN*,k4)时,Sk+1,即(k+1)2,那么,当n=k+1时,=33(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1.综合,当n4时,Sn+1.所以当n=1,2,3时,Sn+1.
