《2022年初中二次函数知识点及经典题型》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初中二次函数知识点及经典题型（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般一般式：)0,(2acbacbxaxy是常数，（2）两根当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时，即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时，根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax，二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点，则不能这样表示。a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）顶点式：)0,()(2akhakhxay是常数，知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx2时，abacy442最值。如果自变量的取值范围是21
2、xxx，那么，首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内，若在此范围内，则当x=ab2时，abacy442最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性，如果在此范围内，y 随 x 的增大而增大，则当2xx时，cbxaxy222最大，当1xx时，cbxaxy121最小；如果在此范围内， y 随 x 的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，cbxaxy222最小。知识点九、二次函数的性质 1 、二次函数的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 22 页函数二次函数)0,(2acbac
3、bxaxy是常数，图像a0 a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时， y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=ab2时， y 有最小值，abacy442最小值（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是 x=ab2，顶点坐标是（ab2，abac442）；（3）在对称轴的左侧，即当xab2时，y 随 x 的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=ab2时，y 有最大值，abacy442最大值2、二次函数)0,(2
4、acbacbxaxy是常数，中，cb、a的含义：a表示开口方向：a0 时，抛物线开口向上a0 时，图像与x 轴有两个交点；当=0 时，图像与x 轴有一个交点；当0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3 分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）( 必须理解记忆 ) 说明函数中 ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在 Y 轴右侧异右向左向上移
5、动为加左上加，向右向下移动为减右下减对称点坐标: 对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称 y 相反 , Y 轴对称 ,x 前面添负号；原点对称最好记, 横纵坐标变符号。关于x轴对称2yaxbxc关于 x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于 x 轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk 关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk ；关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
6、- - - -第 4 页，共 22 页2ya xhk 关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 关于点mn，对称2ya xhk 关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，
7、然后再写出其对称抛物线的表达式1. 二次函数，二次项系数是，一次项系数是，常数项是。2. 函数 y=x2的图象叫线，它开口向，对称轴是，顶点坐标为. 3. 把二次函数配方成的形式为，它的图象是，开口向，顶点坐标是，对称轴是。4. 将抛物线 y=x2向左平移 2 个单位，再向下平移3 个单位，则新抛物线的解析式为（）. A. B. C. D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 22 页5. 如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为7 已知二次函数的图象如图所
8、示，则点在第象限8. 二次函数，当时，。此抛物线与 x 轴有个交点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 22 页9 抛物线的顶点坐标是（）A. （0，1） B. （0，-1 ） C. （1,0 ） D. （-1,0 ）10. 二次函数与 x 轴的交点个数是（）A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）2013?遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c ，N=4a-2b+c，P=2a-b则 M ，N，P中，值小于 0 的数有（）A3 个B2 个C1
9、个 D 0个分析：根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0，得到 N=4a-2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=-1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0，变形即可对于 P作出判断，根据a，b，c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答：解：图象开口向下，a0，对称轴在 y 轴左侧， a，b 同号， a0，b0，图象经过 y 轴正半轴，c0，M=a+b-c 0 当 x=-2 时，y=4a-2b+c0，N=4a-2b+c0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 22 页9 抛物线的顶点坐标是（）A.
10、 （0，1） B. （0，-1 ） C. （1,0 ） D. （-1,0 ）10. 二次函数与 x 轴的交点个数是（）A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）2013?遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c ，N=4a-2b+c，P=2a-b则 M ，N，P中，值小于 0 的数有（）A3 个B2 个C1 个 D 0个分析：根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0，得到 N=4a-2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=-1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0，变形即可对于 P作出判断
11、，根据a，b，c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答：解：图象开口向下，a0，对称轴在 y 轴左侧， a，b 同号， a0，b0，图象经过 y 轴正半轴，c0，M=a+b-c 0 当 x=-2 时，y=4a-2b+c0，N=4a-2b+c0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 22 页9 抛物线的顶点坐标是（）A. （0，1） B. （0，-1 ） C. （1,0 ） D. （-1,0 ）10. 二次函数与 x 轴的交点个数是（）A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）2013?遵义
12、）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c ，N=4a-2b+c，P=2a-b则 M ，N，P中，值小于 0 的数有（）A3 个B2 个C1 个 D 0个分析：根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0，得到 N=4a-2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=-1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0，变形即可对于 P作出判断，根据a，b，c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答：解：图象开口向下，a0，对称轴在 y 轴左侧， a，b 同号， a0，b0，图象经过 y 轴正半轴，c0，M=a+b-c 0 当 x=-2 时，y=4a-2
13、b+c0，N=4a-2b+c0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 22 页9 抛物线的顶点坐标是（）A. （0，1） B. （0，-1 ） C. （1,0 ） D. （-1,0 ）10. 二次函数与 x 轴的交点个数是（）A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）2013?遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c ，N=4a-2b+c，P=2a-b则 M ，N，P中，值小于 0 的数有（）A3 个B2 个C1 个 D 0个分析：根据图象得到x=-
14、2 时对应的函数值小于0，得到 N=4a-2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=-1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0，变形即可对于 P作出判断，根据a，b，c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答：解：图象开口向下，a0，对称轴在 y 轴左侧， a，b 同号， a0，b0，图象经过 y 轴正半轴，c0，M=a+b-c 0 当 x=-2 时，y=4a-2b+c0，N=4a-2b+c0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 22 页9 抛物线的顶点坐标是（）A. （0，1） B. （0，-1 ）
15、 C. （1,0 ） D. （-1,0 ）10. 二次函数与 x 轴的交点个数是（）A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）2013?遵义）二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c ，N=4a-2b+c，P=2a-b则 M ，N，P中，值小于 0 的数有（）A3 个B2 个C1 个 D 0个分析：根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0，得到 N=4a-2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=-1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0，变形即可对于 P作出判断，根据a，b，c 的符号判断得出
16、a+b-c的符号解答：解：图象开口向下，a0，对称轴在 y 轴左侧， a，b 同号， a0，b0，图象经过 y 轴正半轴，c0，M=a+b-c 0 当 x=-2 时，y=4a-2b+c0，N=4a-2b+c0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 22 页9 抛物线的顶点坐标是（）A. （0，1） B. （0，-1 ） C. （1,0 ） D. （-1,0 ）10. 二次函数与 x 轴的交点个数是（）A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（）2013?遵义）二次函数 y=ax2+bx+c
17、（a0）的图象如图如图所示，若M=a+b-c ，N=4a-2b+c，P=2a-b则 M ，N，P中，值小于 0 的数有（）A3 个B2 个C1 个 D 0个分析：根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0，得到 N=4a-2b+c的值小于0，根据对称轴在直线x=-1 右边，利用对称轴公式列出不等式，根据开口向下得到 a 小于 0，变形即可对于 P作出判断，根据a，b，c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答：解：图象开口向下，a0，对称轴在 y 轴左侧， a，b 同号， a0，b0，图象经过 y 轴正半轴，c0，M=a+b-c 0 当 x=-2 时，y=4a-2b+c0，N=4a-2b+c0，
18、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 22 页解答：解：当ax2+bx+c 0， y=ax2+bx+c （ a 0）的图象在 x 轴上方，此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c ，此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c （ a 0）在 x 轴上方部分的图象，当 ax2+bx+c 0 时， y=ax2+bx+c （ a 0）的图象在x 轴下方，此时y=|ax2+bx+c|=-（ ax2+bx+c ）此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c （ a 0）在 x 轴下方部分与x 轴
19、对称的图象， y=ax2+bx+c （ a 0）的顶点纵坐标是-3 ，函数y=ax2+bx+c （ a 0）在 x 轴下方部分与x 轴对称的图象的顶点纵坐标是3， y=|ax2+bx+c|的图象如右图，观察图象可得当k 0 时，函数图象在直线y=3 的上方时，纵坐标相同的点有两个，函数图象在直线y=3 上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y=3 的下方时，纵坐标相同的点有四个，若 |ax2+bx+c|=k（ k 0）有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y=3 的上边，故 k 3，故选 D（ 2013 ?镇江）如图，抛物线y=ax2+bx （ a 0）经过原点O 和点 A（ 2， 0）（
20、 1）写出抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标；（ 2）点（ x1， y1），（ x2， y2）在抛物线上，若x1 x2 1，比较y1， y2的大小；（ 3）点 B（ -1 ， 2）在该抛物线上，点C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，求直线AC的函数关系式分析： （ 1）根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标；（ 2）根据抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是x=1 ，然后根据函数图象的增减性进行解题；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 22 页（ 3）根据已知条件可以求得点C 的坐标是（3
21、， 2），所以根据点A、 C 的坐标来求直线AC 的函数关系式解答：解：（ 1）根据图示，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标（1， 0）；（ 2）抛物线的对称轴是直线x=1 根据图示知，当x 1 时， y 随 x 的增大而减小，所以，当x1 x2 1 时， y1 y2；（ 3）对称轴是x=1 ，点 B（ -1 ， 2）在该抛物线上，点C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，点C 的坐标是（3， 2）设直线AC 的关系式为y=kx+b （ k 0）02k+b23k+b解得k2 b- 4 直线AC 的函数关系式是：y=2x-4（ 2013 ?枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函
22、数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3， 0），与y 轴交于C（ 0， -3 ）点，点P是直线BC 下方的抛物线上一动点（ 1）求这个二次函数的表达式（ 2）连接PO、 PC，并把POC沿 CO翻折，得到四边形POP C，那么是否存在点P，使四边形POP C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）当点P 运动到什么位置时，四边形ABPC 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 22
23、页分析： （ 1）将 B、 C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；（ 2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP C 为菱形，那么P 点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P 点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标；（ 3）由于ABC 的面积为定值，当四边形ABPC 的面积最大时，BPC 的面积最大；过P 作 y 轴的平行线，交直线BC 于 Q，交 x 轴于 F，易求得直线BC 的解析式，可设出P 点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q、 P 的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底， B 点横坐标的绝对值为高即可求得BPC 的面积，由此可得到关于四
24、边形 ACPB 的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标（ 2010 ?通化）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50 元市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元 / 千克）的变化而变化，具体关系式为：w=-2x+240 设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题：（ 1）求 y 与 x 的关系式；（ 2）当 x 取何值时，y 的值最大？（ 3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90 元 / 千克，公司想要在这段时间内获得2250 元的销售利润，销售单价应定为多少元？分析： （ 1）因为y= （
25、x-50 ） w， w=-2x+240 故 y 与 x 的关系式为y=-2x2+340x-12000（ 2）用配方法化简函数式求出y 的最大值即可（ 3）令 y=2250时，求出x 的解即可解答： 解：（ 1） y= （ x-50 ）? w=（ x-50 ）?（ -2x+240） =-2x2+340x-12000， y 与 x 的关系式为：y=-2x2+340x-12000（ 3 分）（ 2） y=-2x2+340x-12000=-2（ x-85 ）2+2450 当 x=85 时， y 的值最大（6 分）（ 3）当 y=2250时，可得方程-2 （ x-85 ）2+2450=2250 解这个方
26、程，得x1=75 ， x2=95 根据题意，x2=95 不合题意应舍去当销售单价为75 元时，可获得销售利润2250 元（ 10 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 22 页（ 2010 ?青海）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10 元，每天可售出500 千克经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1 元，日销售量将减少 20 千克（ 1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（ 2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多
27、？分析： 本题的关键是根据题意列出一元二次方程，再求其最值解答： 解：（ 1）设每千克应涨价x 元，则（10+x ）（ 500-20x） =6 000（ 4 分）解得 x=5 或 x=10 ，为了使顾客得到实惠，所以x=5 （ 6 分）（ 2）设涨价x 元时总利润为y ，则 y= （ 10+x ）（ 500-20x）=-20x2+300x+5 000 =-20 （ x2-15x ） +5000 =-20 （ x2-15x+225/4-225/4） +5000 =-20 （ x-7.5）2+6125 当 x=7.5时， y 取得最大值，最大值为6 125（ 8 分）答：（ 1）要保证每天盈利60
28、00 元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5 元；（ 2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多（ 10 分）（ 2010 ?锦州）如图，抛物线与x 轴交于A（ x1， 0）， B（ x2， 0）两点，且x1 x2，与y 轴交于点C（ 0， 4），其中x1， x2是方程x2-2x-8=0的两个根（ 1）求这条抛物线的解析式；（ 2）点 P 是线段AB 上的动点，过点P 作 PE AC，交 BC 于点 E，连接CP，当 CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；（ 3）探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q，使 QBC成为等腰三角形？若存在，请直
29、接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 22 页分析： （ 1）先通过解方程求出A， B 两点的坐标，然后根据A， B， C 三点的坐标，用待定系数法求出抛物线的解析式（ 2）本题要通过求CPE 的面积与P 点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求CPE的面积的最大值以及对应的P 的坐标CPE 的面积无法直接表示出，可用CPB 和 BEP 的面积差来求，设出P点的坐标，即可表示出BP 的长，可通过相似三角形BEP和 BAC 求出BEP 中 BP 边上的高，然后根据三角形面
30、积计算方法即可得出CEP 的面积，然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值（ 3）本题要分三种情况进行讨论： QC=BC，那么Q 点的纵坐标就是C 点的纵坐标减去或加上BC的长由此可得出Q 点的坐标 QB=BC，此时Q， C 关于 x 轴对称，据此可求出Q点的坐标 QB=QC， Q 点在 BC 的垂直平分线上，可通过相似三角形来求出QC 的长，进而求出Q点的坐标（ 2009 ?天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c （ a 0）的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、 B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（ 3， 0）， OB=OC， tan
31、ACO=1/3（ 1）求这个二次函数的表达式（ 2）经过C、 D 两点的直线，与x 轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M、 N 两点，且以MN为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度（ 4）如图，若点G（ 2， y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时，APG的面积最大？求出此时P 点的坐标和APG的最大面积考点：二次函数综合题专题：压轴题分析： （ 1）求二次函数的表达式，需要求出A、 B、
32、 C 三点坐标已知B点坐标，且OB=OC ，可知C（ 0， 3）， tan ACO=1 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 22 页，则 A 坐标为（-1 ， 0）将A， B， C 三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式（ 2）假设存在这样的点F（ m， n），已知抛物线关系式，求出顶点D 坐标，今儿求出直线 CD， E 是直线与x 轴交点，可得E 点坐标四边形AECF 为平行四边形，则CE AF，则两直线斜率相等，可列等式（1）， CE=AF，可列等式（2）， F 在抛物线上，为等式（ 3），根据这三个等式，即可
33、求出m、 n 是否存在（ 3）分情况讨论，当圆在x 轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r ，则 N 的坐标为（r+1 ， r ），将其代入抛物线解析式，可求出r 的值当圆在 x 轴的下方时，方法同上，只是N 的坐标变为（r+1 ， -r ），代入抛物线解析式即可求解（ 4） G 在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P 的坐标为（x， y），即（x ， x2-2x-3 ）已知点A、 G 坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG 的解析式，再根据点到直线的距离求出P 到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x 表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x 的值（ 20
34、09 ?青海）矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、 C 两点的坐标分别为A（ 6， 0）， C（ 0， -3 ），直线y=-3/4 x与 BC边相交于D 点（ 1）求点D 的坐标；（ 2）若抛物线y=ax2-9/4x经过点A，试确定此抛物线的表达式；（ 3）设（ 2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点 P 为对称轴上一动点，以P、O、 M为顶点的三角形与OCD相似，求符合条件的点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 22 页分析： 前两问由抛物线性质，用待定系数求出点D 的坐标和抛物线的表达式；最
35、后一问找三角形相似，作辅助线过点O 作 OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，再根据相似三角形比例关系求出P 点坐标（ 2009 ?临沂）如图，抛物线经过A（ 4， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， -2 ）三点（ 1）求出抛物线的解析式；（ 2） P 是抛物线上一动点，过P 作 PM x 轴，垂足为M，是否存在P 点，使得以A， P，M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（ 3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D，使得DCA的面积最大，求出点D 的坐标分析： （ 1）已知抛物线经过A（ 4， 0）， B（ 1， 0），可设抛物线解析式的
36、交点式，再把 C（ 0， -2 ）代入即可；（ 2） OAC是直角三角形，以A， P， M为顶点的三角形与其相似，由于点P 可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；（ 3）过 D 作 y 轴的平行线交AC 于 E，将 DCA分割成两个三角形CDE， ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即DCA的面积，运用代数式的变形求最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 22 页（ 2009 ?江苏）如图，已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A二次函数y=ax2+bx的图象与x
37、轴交于原点O 及另一点C，它的顶点B 在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上（ 1）求点A 与点 C 的坐标；（ 2）当四边形AOBC 为菱形时，求函数y=ax2+bx的关系式分析： （ 1）二次函数y=ax2+bx 的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上，可知两个函数对称轴相等，因此先根据已知函数求出对称轴 y=x2-2x-1=（ x-1 ）2-2 ，所以顶点A的坐标为（1， -2 ）对称轴为x=1 ，所以二次函数y=ax2+bx 关于 x=1 对称，且函数与x 轴的交点分别是原点和C 点，所以点C 和点 O关于直线l 对称，所以点C 的坐标为（2， 0）；（ 2）因为四边形AOBC是菱形，
38、根据菱形性质，可以得出点O 和点 C 关于直线AB 对称，点B 和点 A 关于直线OC对称，因此，可求出点B 的坐标，点B 的坐标为（1，2），二次函数y=ax2+bx 的图象经过点B（ 1， 2）， C（ 2， 0），将B， C 代入解析式，可得，解得所以二次函数y=ax2+bx 的关系式为 y=-2x2+4x a+b-2 4a+2b0 a-2 b4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 22 页（ 2009 ?武汉）某商品的进价为每件40 元，售价为每件50 元，每个月可卖出210 件；如果每件商品的售价每上涨1 元，则
39、每个月少卖10 件（每件售价不能高于65 元）设每件商品的售价上涨x 元（ x 为正整数），每个月的销售利润为y 元（ 1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（ 2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（ 3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200 元？分析： （ 1）根据题意可知y 与 x 的函数关系式（ 2）根据题意可知y=-10-（ x-5.5）2+2402.5，当 x=5.5时 y 有最大值（ 3）设 y=2200 ，解得x 的值然后分
40、情况讨论解解答： 解：（ 1）由题意得：y= （ 210-10x）（ 50+x-40）=-10x2+110x+2100（ 0 x 15 且 x 为整数）；（ 2）由（ 1）中的y 与 x 的解析式配方得：y=-10 （ x-5.5）2+2402.5 a=-10 0，当x=5.5时， y 有最大值2402.5 0 x 15，且x 为整数，当 x=5 时， 50+x=55 ， y=2400 （元），当x=6 时， 50+x=56 ， y=2400 （元）当售价定为每件55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400 元（ 3）当 y=2200时， -10x2+110x+2100=220
41、0，解得：x1=1， x2=10 当 x=1 时， 50+x=51 ，当x=10 时， 50+x=60 当售价定为每件51 或 60 元，每个月的利润为2200 元当售价不低于51 或 60 元，每个月的利润为2200 元当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时，每个月的利润不低于2200 元（或当售价分别为51 ， 52 ， 53， 54 ， 55， 56 ， 57 ， 58 ， 59， 60 元时，每个月的利润不低于2200元）（ 2006 ?南通）已知抛物线y=ax2+bx+c经过 A， B， C 三点，当x 0 时，其图象如图所示（ 1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（
42、 2）画出抛物线y=ax2+bx+c当 x 0 时的图象；（ 3）利用抛物线y=ax2+bx+c ，写出x 为何值时，y 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 22 页考点：待定系数法求二次函数解析式； 二次函数的图象分析： 本题的关键是求出抛物线的解析式，在题目给出的图象中可得出A、 B、 C三点的坐标，可用待定系数求出抛物线的解析式，进而可画出x 0 时抛物线的图象，以及y 0 时 x 的取值范围（ 2011 ?天水）抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y 0，则 x 的取值范围是（ 2007 ?舟山）抛物线y=2 （ x-2 ）2-6 的顶点为C，已知y=-kx+3的图象经过点C，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 22 页
