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1、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式:(1)一般一般式:)0,(2acbacbxaxy是常数,(2)两根当抛物线cbxaxy2与 x 轴有交点时,即对应二次好方程02cbxax有实根1x和2x存在时,根据二次三项式的分解因式)(212xxxxacbxax,二次函数cbxaxy2可转化为两根式)(21xxxxay。如果没有交点,则不能这样表示。a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。(3)顶点式:)0,()(2akhakhxay是常数,知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当abx2时,abacy442最值。如果自变量的取值范围是21
2、xxx,那么,首先要看ab2是否在自变量取值范围21xxx内,若在此范围内,则当x=ab2时,abacy442最值;若不在此范围内,则需要考虑函数在21xxx范围内的增减性,如果在此范围内,y 随 x 的增大而增大,则当2xx时,cbxaxy222最大,当1xx时,cbxaxy121最小;如果在此范围内, y 随 x 的增大而减小,则当1xx时,cbxaxy121最大,当2xx时,cbxaxy222最小。知识点九、二次函数的性质 1 、二次函数的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页函数二次函数)0,(2acbac
3、bxaxy是常数,图像a0 a0 y 0 x y 0 x 性质(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;(2)对称轴是 x=ab2,顶点坐标是(ab2,abac442);(3)在对称轴的左侧,即当xab2时, y 随 x 的增大而增大,简记左减右增;(4)抛物线有最低点,当x=ab2时, y 有最小值,abacy442最小值(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;(2)对称轴是 x=ab2,顶点坐标是(ab2,abac442);(3)在对称轴的左侧,即当xab2时,y 随 x 的增大而减小,简记左增右减;(4)抛物线有最高点,当x=ab2时,y 有最大值,abacy442最大值2、二次函数)0,(2
4、acbacbxaxy是常数,中,cb、a的含义:a表示开口方向:a0 时,抛物线开口向上a0 时,图像与x 轴有两个交点;当=0 时,图像与x 轴有一个交点;当0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律函数平移图像大致位置规律(中考试题中,只占3 分,但掌握这个知识点,对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间)( 必须理解记忆 ) 说明函数中 ab 值同号,图像顶点在y 轴左侧同左,a b 值异号,图像顶点必在 Y 轴右侧异右向左向上移
5、动为加左上加,向右向下移动为减右下减对称点坐标: 对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆,X轴对称 y 相反 , Y 轴对称 ,x 前面添负号;原点对称最好记, 横纵坐标变符号。关于x轴对称2yaxbxc关于 x轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc;2ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ;关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后,得到的解析式是2yaxbxc;2ya xhk 关于y轴对称后,得到的解析式是2ya xhk ;关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后,得到的解析式是2yaxbxc;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
6、- - - -第 4 页,共 22 页2ya xhk 关于原点对称后,得到的解析式是2ya xhk关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后,得到的解析式是222byaxbxca;2ya xhk 关于顶点对称后,得到的解析式是2ya xhk 关于点mn,对称2ya xhk 关于点mn,对称后,得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,
7、然后再写出其对称抛物线的表达式1. 二次函数,二次项系数是,一次项系数是,常数项是。2. 函数 y=x2的图象叫线,它开口向,对称轴是,顶点坐标为. 3. 把二次函数配方成的形式为,它的图象是,开口向,顶点坐标是,对称轴是。4. 将抛物线 y=x2向左平移 2 个单位,再向下平移3 个单位,则新抛物线的解析式为(). A. B. C. D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 22 页5. 如图所示的抛物线是二次函数的图象,那么的值是6. 已知二次函数的部分图象如图所示,则关于的一元二次方程的解为7 已知二次函数的图象如图所
8、示,则点在第象限8. 二次函数,当时,。此抛物线与 x 轴有个交点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 22 页9 抛物线的顶点坐标是()A. (0,1) B. (0,-1 ) C. (1,0 ) D. (-1,0 )10. 二次函数与 x 轴的交点个数是()A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为()2013?遵义)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图如图所示,若M=a+b-c ,N=4a-2b+c,P=2a-b则 M ,N,P中,值小于 0 的数有()A3 个B2 个C1
9、个 D 0个分析:根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0,得到 N=4a-2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=-1 右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到 a 小于 0,变形即可对于 P作出判断,根据a,b,c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答:解:图象开口向下,a0,对称轴在 y 轴左侧, a,b 同号, a0,b0,图象经过 y 轴正半轴,c0,M=a+b-c 0 当 x=-2 时,y=4a-2b+c0,N=4a-2b+c0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 22 页9 抛物线的顶点坐标是()A.
10、 (0,1) B. (0,-1 ) C. (1,0 ) D. (-1,0 )10. 二次函数与 x 轴的交点个数是()A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为()2013?遵义)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图如图所示,若M=a+b-c ,N=4a-2b+c,P=2a-b则 M ,N,P中,值小于 0 的数有()A3 个B2 个C1 个 D 0个分析:根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0,得到 N=4a-2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=-1 右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到 a 小于 0,变形即可对于 P作出判断
11、,根据a,b,c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答:解:图象开口向下,a0,对称轴在 y 轴左侧, a,b 同号, a0,b0,图象经过 y 轴正半轴,c0,M=a+b-c 0 当 x=-2 时,y=4a-2b+c0,N=4a-2b+c0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页9 抛物线的顶点坐标是()A. (0,1) B. (0,-1 ) C. (1,0 ) D. (-1,0 )10. 二次函数与 x 轴的交点个数是()A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为()2013?遵义
12、)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图如图所示,若M=a+b-c ,N=4a-2b+c,P=2a-b则 M ,N,P中,值小于 0 的数有()A3 个B2 个C1 个 D 0个分析:根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0,得到 N=4a-2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=-1 右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到 a 小于 0,变形即可对于 P作出判断,根据a,b,c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答:解:图象开口向下,a0,对称轴在 y 轴左侧, a,b 同号, a0,b0,图象经过 y 轴正半轴,c0,M=a+b-c 0 当 x=-2 时,y=4a-2
13、b+c0,N=4a-2b+c0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页9 抛物线的顶点坐标是()A. (0,1) B. (0,-1 ) C. (1,0 ) D. (-1,0 )10. 二次函数与 x 轴的交点个数是()A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为()2013?遵义)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图如图所示,若M=a+b-c ,N=4a-2b+c,P=2a-b则 M ,N,P中,值小于 0 的数有()A3 个B2 个C1 个 D 0个分析:根据图象得到x=-
14、2 时对应的函数值小于0,得到 N=4a-2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=-1 右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到 a 小于 0,变形即可对于 P作出判断,根据a,b,c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答:解:图象开口向下,a0,对称轴在 y 轴左侧, a,b 同号, a0,b0,图象经过 y 轴正半轴,c0,M=a+b-c 0 当 x=-2 时,y=4a-2b+c0,N=4a-2b+c0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页9 抛物线的顶点坐标是()A. (0,1) B. (0,-1 )
15、 C. (1,0 ) D. (-1,0 )10. 二次函数与 x 轴的交点个数是()A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为()2013?遵义)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图如图所示,若M=a+b-c ,N=4a-2b+c,P=2a-b则 M ,N,P中,值小于 0 的数有()A3 个B2 个C1 个 D 0个分析:根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0,得到 N=4a-2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=-1 右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到 a 小于 0,变形即可对于 P作出判断,根据a,b,c 的符号判断得出
16、a+b-c的符号解答:解:图象开口向下,a0,对称轴在 y 轴左侧, a,b 同号, a0,b0,图象经过 y 轴正半轴,c0,M=a+b-c 0 当 x=-2 时,y=4a-2b+c0,N=4a-2b+c0,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页9 抛物线的顶点坐标是()A. (0,1) B. (0,-1 ) C. (1,0 ) D. (-1,0 )10. 二次函数与 x 轴的交点个数是()A0 B1 C2 D3 11. 在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为()2013?遵义)二次函数 y=ax2+bx+c
17、(a0)的图象如图如图所示,若M=a+b-c ,N=4a-2b+c,P=2a-b则 M ,N,P中,值小于 0 的数有()A3 个B2 个C1 个 D 0个分析:根据图象得到x=-2 时对应的函数值小于0,得到 N=4a-2b+c的值小于0,根据对称轴在直线x=-1 右边,利用对称轴公式列出不等式,根据开口向下得到 a 小于 0,变形即可对于 P作出判断,根据a,b,c 的符号判断得出 a+b-c的符号解答:解:图象开口向下,a0,对称轴在 y 轴左侧, a,b 同号, a0,b0,图象经过 y 轴正半轴,c0,M=a+b-c 0 当 x=-2 时,y=4a-2b+c0,N=4a-2b+c0,
18、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页解答:解:当ax2+bx+c 0, y=ax2+bx+c ( a 0)的图象在 x 轴上方,此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c ,此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c ( a 0)在 x 轴上方部分的图象,当 ax2+bx+c 0 时, y=ax2+bx+c ( a 0)的图象在x 轴下方,此时y=|ax2+bx+c|=-( ax2+bx+c )此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c ( a 0)在 x 轴下方部分与x 轴
19、对称的图象, y=ax2+bx+c ( a 0)的顶点纵坐标是-3 ,函数y=ax2+bx+c ( a 0)在 x 轴下方部分与x 轴对称的图象的顶点纵坐标是3, y=|ax2+bx+c|的图象如右图,观察图象可得当k 0 时,函数图象在直线y=3 的上方时,纵坐标相同的点有两个,函数图象在直线y=3 上时,纵坐标相同的点有三个,函数图象在直线y=3 的下方时,纵坐标相同的点有四个,若 |ax2+bx+c|=k( k 0)有两个不相等的实数根,则函数图象应该在y=3 的上边,故 k 3,故选 D( 2013 ?镇江)如图,抛物线y=ax2+bx ( a 0)经过原点O 和点 A( 2, 0)(
20、 1)写出抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标;( 2)点( x1, y1),( x2, y2)在抛物线上,若x1 x2 1,比较y1, y2的大小;( 3)点 B( -1 , 2)在该抛物线上,点C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数关系式分析: ( 1)根据图示可以直接写出抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标;( 2)根据抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标可以求得该抛物线的对称轴是x=1 ,然后根据函数图象的增减性进行解题;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页( 3)根据已知条件可以求得点C 的坐标是(3
21、, 2),所以根据点A、 C 的坐标来求直线AC 的函数关系式解答:解:( 1)根据图示,由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴与x 轴的交点坐标(1, 0);( 2)抛物线的对称轴是直线x=1 根据图示知,当x 1 时, y 随 x 的增大而减小,所以,当x1 x2 1 时, y1 y2;( 3)对称轴是x=1 ,点 B( -1 , 2)在该抛物线上,点C 与点 B 关于抛物线的对称轴对称,点C 的坐标是(3, 2)设直线AC 的关系式为y=kx+b ( k 0)02k+b23k+b解得k2 b- 4 直线AC 的函数关系式是:y=2x-4( 2013 ?枣庄)如图,在平面直角坐标系中,二次函
22、数y=x2+bx+c的图象与x 轴交于A、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3, 0),与y 轴交于C( 0, -3 )点,点P是直线BC 下方的抛物线上一动点( 1)求这个二次函数的表达式( 2)连接PO、 PC,并把POC沿 CO翻折,得到四边形POP C,那么是否存在点P,使四边形POP C 为菱形?若存在,请求出此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由( 3)当点P 运动到什么位置时,四边形ABPC 的面积最大?求出此时P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 22
23、页分析: ( 1)将 B、 C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;( 2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP C 为菱形,那么P 点必在OC的垂直平分线上,据此可求出P 点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标;( 3)由于ABC 的面积为定值,当四边形ABPC 的面积最大时,BPC 的面积最大;过P 作 y 轴的平行线,交直线BC 于 Q,交 x 轴于 F,易求得直线BC 的解析式,可设出P 点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q、 P 的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底, B 点横坐标的绝对值为高即可求得BPC 的面积,由此可得到关于四
24、边形 ACPB 的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标( 2010 ?通化)某公司经销一种绿茶,每千克成本为50 元市场调查发现,在一段时间内,销售量w(千克)随销售单价x(元 / 千克)的变化而变化,具体关系式为:w=-2x+240 设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y (元),解答下列问题:( 1)求 y 与 x 的关系式;( 2)当 x 取何值时,y 的值最大?( 3)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90 元 / 千克,公司想要在这段时间内获得2250 元的销售利润,销售单价应定为多少元?分析: ( 1)因为y= (
25、x-50 ) w, w=-2x+240 故 y 与 x 的关系式为y=-2x2+340x-12000( 2)用配方法化简函数式求出y 的最大值即可( 3)令 y=2250时,求出x 的解即可解答: 解:( 1) y= ( x-50 )? w=( x-50 )?( -2x+240) =-2x2+340x-12000, y 与 x 的关系式为:y=-2x2+340x-12000( 3 分)( 2) y=-2x2+340x-12000=-2( x-85 )2+2450 当 x=85 时, y 的值最大(6 分)( 3)当 y=2250时,可得方程-2 ( x-85 )2+2450=2250 解这个方
26、程,得x1=75 , x2=95 根据题意,x2=95 不合题意应舍去当销售单价为75 元时,可获得销售利润2250 元( 10 分)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页( 2010 ?青海)某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10 元,每天可售出500 千克经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1 元,日销售量将减少 20 千克( 1)现该商场要保证每天盈利6 000元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?( 2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价多少元,能使商场获利最多
27、?分析: 本题的关键是根据题意列出一元二次方程,再求其最值解答: 解:( 1)设每千克应涨价x 元,则(10+x )( 500-20x) =6 000( 4 分)解得 x=5 或 x=10 ,为了使顾客得到实惠,所以x=5 ( 6 分)( 2)设涨价x 元时总利润为y ,则 y= ( 10+x )( 500-20x)=-20x2+300x+5 000 =-20 ( x2-15x ) +5000 =-20 ( x2-15x+225/4-225/4) +5000 =-20 ( x-7.5)2+6125 当 x=7.5时, y 取得最大值,最大值为6 125( 8 分)答:( 1)要保证每天盈利60
28、00 元,同时又使顾客得到实惠,那么每千克应涨价5 元;( 2)若该商场单纯从经济角度看,每千克这种水果涨价7.5元,能使商场获利最多( 10 分)( 2010 ?锦州)如图,抛物线与x 轴交于A( x1, 0), B( x2, 0)两点,且x1 x2,与y 轴交于点C( 0, 4),其中x1, x2是方程x2-2x-8=0的两个根( 1)求这条抛物线的解析式;( 2)点 P 是线段AB 上的动点,过点P 作 PE AC,交 BC 于点 E,连接CP,当 CPE 的面积最大时,求点P 的坐标;( 3)探究:若点Q 是抛物线对称轴上的点,是否存在这样的点Q,使 QBC成为等腰三角形?若存在,请直
29、接写出所有符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 22 页分析: ( 1)先通过解方程求出A, B 两点的坐标,然后根据A, B, C 三点的坐标,用待定系数法求出抛物线的解析式( 2)本题要通过求CPE 的面积与P 点横坐标的函数关系式而后根据函数的性质来求CPE的面积的最大值以及对应的P 的坐标CPE 的面积无法直接表示出,可用CPB 和 BEP 的面积差来求,设出P点的坐标,即可表示出BP 的长,可通过相似三角形BEP和 BAC 求出BEP 中 BP 边上的高,然后根据三角形面
30、积计算方法即可得出CEP 的面积,然后根据上面分析的步骤即可求出所求的值( 3)本题要分三种情况进行讨论: QC=BC,那么Q 点的纵坐标就是C 点的纵坐标减去或加上BC的长由此可得出Q 点的坐标 QB=BC,此时Q, C 关于 x 轴对称,据此可求出Q点的坐标 QB=QC, Q 点在 BC 的垂直平分线上,可通过相似三角形来求出QC 的长,进而求出Q点的坐标( 2009 ?天水)如左图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c ( a 0)的图象的顶点为D 点,与y 轴交于C 点,与x 轴交于A、 B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为( 3, 0), OB=OC, tan
31、ACO=1/3( 1)求这个二次函数的表达式( 2)经过C、 D 两点的直线,与x 轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由( 3)若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M、 N 两点,且以MN为直径的圆与x 轴相切,求该圆半径的长度( 4)如图,若点G( 2, y )是该抛物线上一点,点P 是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P 运动到什么位置时,APG的面积最大?求出此时P 点的坐标和APG的最大面积考点:二次函数综合题专题:压轴题分析: ( 1)求二次函数的表达式,需要求出A、 B、
32、 C 三点坐标已知B点坐标,且OB=OC ,可知C( 0, 3), tan ACO=1 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 22 页,则 A 坐标为(-1 , 0)将A, B, C 三点坐标代入关系式,可求得二次函数的表达式( 2)假设存在这样的点F( m, n),已知抛物线关系式,求出顶点D 坐标,今儿求出直线 CD, E 是直线与x 轴交点,可得E 点坐标四边形AECF 为平行四边形,则CE AF,则两直线斜率相等,可列等式(1), CE=AF,可列等式(2), F 在抛物线上,为等式( 3),根据这三个等式,即可
33、求出m、 n 是否存在( 3)分情况讨论,当圆在x 轴上方时,根据题意可知,圆心必定在抛物线的对称轴上,设圆半径为r ,则 N 的坐标为(r+1 , r ),将其代入抛物线解析式,可求出r 的值当圆在 x 轴的下方时,方法同上,只是N 的坐标变为(r+1 , -r ),代入抛物线解析式即可求解( 4) G 在抛物线上,代入解析式求出G点坐标,设点P 的坐标为(x, y),即(x , x2-2x-3 )已知点A、 G 坐标,可求出线段AG的长度,以及直线AG 的解析式,再根据点到直线的距离求出P 到直线的距离,即为三角形AGP的高,从而用x 表示出三角形的面积,然后求当面积最大时x 的值( 20
34、09 ?青海)矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示,A、 C 两点的坐标分别为A( 6, 0), C( 0, -3 ),直线y=-3/4 x与 BC边相交于D 点( 1)求点D 的坐标;( 2)若抛物线y=ax2-9/4x经过点A,试确定此抛物线的表达式;( 3)设( 2)中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M,点 P 为对称轴上一动点,以P、O、 M为顶点的三角形与OCD相似,求符合条件的点P 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 22 页分析: 前两问由抛物线性质,用待定系数求出点D 的坐标和抛物线的表达式;最
35、后一问找三角形相似,作辅助线过点O 作 OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2,再根据相似三角形比例关系求出P 点坐标( 2009 ?临沂)如图,抛物线经过A( 4, 0), B( 1, 0), C( 0, -2 )三点( 1)求出抛物线的解析式;( 2) P 是抛物线上一动点,过P 作 PM x 轴,垂足为M,是否存在P 点,使得以A, P,M为顶点的三角形与OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;( 3)在直线AC 上方的抛物线上有一点D,使得DCA的面积最大,求出点D 的坐标分析: ( 1)已知抛物线经过A( 4, 0), B( 1, 0),可设抛物线解析式的
36、交点式,再把 C( 0, -2 )代入即可;( 2) OAC是直角三角形,以A, P, M为顶点的三角形与其相似,由于点P 可能在x轴的上方,或者下方,分三种情况,分别用相似比解答;( 3)过 D 作 y 轴的平行线交AC 于 E,将 DCA分割成两个三角形CDE, ADE,它们的底相同,为DE,高的和为4,就可以表示它们的面积和,即DCA的面积,运用代数式的变形求最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 22 页( 2009 ?江苏)如图,已知二次函数y=x2-2x-1的图象的顶点为A二次函数y=ax2+bx的图象与x
37、轴交于原点O 及另一点C,它的顶点B 在函数y=x2-2x-1的图象的对称轴上( 1)求点A 与点 C 的坐标;( 2)当四边形AOBC 为菱形时,求函数y=ax2+bx的关系式分析: ( 1)二次函数y=ax2+bx 的顶点在已知二次函数抛物线的对称轴上,可知两个函数对称轴相等,因此先根据已知函数求出对称轴 y=x2-2x-1=( x-1 )2-2 ,所以顶点A的坐标为(1, -2 )对称轴为x=1 ,所以二次函数y=ax2+bx 关于 x=1 对称,且函数与x 轴的交点分别是原点和C 点,所以点C 和点 O关于直线l 对称,所以点C 的坐标为(2, 0);( 2)因为四边形AOBC是菱形,
38、根据菱形性质,可以得出点O 和点 C 关于直线AB 对称,点B 和点 A 关于直线OC对称,因此,可求出点B 的坐标,点B 的坐标为(1,2),二次函数y=ax2+bx 的图象经过点B( 1, 2), C( 2, 0),将B, C 代入解析式,可得,解得所以二次函数y=ax2+bx 的关系式为 y=-2x2+4x a+b-2 4a+2b0 a-2 b4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 22 页( 2009 ?武汉)某商品的进价为每件40 元,售价为每件50 元,每个月可卖出210 件;如果每件商品的售价每上涨1 元,则
39、每个月少卖10 件(每件售价不能高于65 元)设每件商品的售价上涨x 元( x 为正整数),每个月的销售利润为y 元( 1)求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围;( 2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?( 3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200 元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200 元?分析: ( 1)根据题意可知y 与 x 的函数关系式( 2)根据题意可知y=-10-( x-5.5)2+2402.5,当 x=5.5时 y 有最大值( 3)设 y=2200 ,解得x 的值然后分
40、情况讨论解解答: 解:( 1)由题意得:y= ( 210-10x)( 50+x-40)=-10x2+110x+2100( 0 x 15 且 x 为整数);( 2)由( 1)中的y 与 x 的解析式配方得:y=-10 ( x-5.5)2+2402.5 a=-10 0,当x=5.5时, y 有最大值2402.5 0 x 15,且x 为整数,当 x=5 时, 50+x=55 , y=2400 (元),当x=6 时, 50+x=56 , y=2400 (元)当售价定为每件55 或 56 元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400 元( 3)当 y=2200时, -10x2+110x+2100=220
41、0,解得:x1=1, x2=10 当 x=1 时, 50+x=51 ,当x=10 时, 50+x=60 当售价定为每件51 或 60 元,每个月的利润为2200 元当售价不低于51 或 60 元,每个月的利润为2200 元当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时,每个月的利润不低于2200 元(或当售价分别为51 , 52 , 53, 54 , 55, 56 , 57 , 58 , 59, 60 元时,每个月的利润不低于2200元)( 2006 ?南通)已知抛物线y=ax2+bx+c经过 A, B, C 三点,当x 0 时,其图象如图所示( 1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标;(
42、 2)画出抛物线y=ax2+bx+c当 x 0 时的图象;( 3)利用抛物线y=ax2+bx+c ,写出x 为何值时,y 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 22 页考点:待定系数法求二次函数解析式; 二次函数的图象分析: 本题的关键是求出抛物线的解析式,在题目给出的图象中可得出A、 B、 C三点的坐标,可用待定系数求出抛物线的解析式,进而可画出x 0 时抛物线的图象,以及y 0 时 x 的取值范围( 2011 ?天水)抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y 0,则 x 的取值范围是( 2007 ?舟山)抛物线y=2 ( x-2 )2-6 的顶点为C,已知y=-kx+3的图象经过点C,则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 22 页