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1、20122012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛承承诺诺书书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一
2、项填写） ：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话） ：J2034所属学校（请填写完整的全名） ：西安财经学院参赛队员 (打印并签名) ：1.柳西梦2.王凤3.高敏指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2012年 9 月10 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：20122012 高教社杯全国大学生数学建模竞赛高教社杯全国大学生数学建模竞赛编编 号号 专专 用用 页页评阅人评分备注赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：房价问题摘要房价问题事
3、关国计民生， 对国家经济发展和社会稳定有重大影响， 一直是各国政府大力关注的问题。 我国自从取消福利分房制度以来， 随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一。 经过分析我们将问题细化为以下四个方面：1.根据所搜集的数据分析判断房价是否合理；2.对房价未来走势进行定量分析；3.对房价不合理给出具体措施；4.对问题 3 中给出的措施可能对经济发展产生的影响进行定量分析。对于问题 1，我们通过研究城市房价合理性模型，找出了判断房价合理性的标准，同时拟出了同一地区成本、销售面积、居民收入之间的关系。在解决这一问题时， 我们采用了多元线性回归模型对相关变量进行了分析与处理，最终确定了判
4、断房价合理性的标准。对于问题 2，我们通过建立灰色模型来对房价未来走势进行预测，预测结果得到了北京市、西安市 2012 年、2013 年、2014 年的房价数据。对于问题 3，我们通过分析确定了使得房价合理的几种具体措施，包括防止炒房行为，提高居民购买力，减少土地价格。为了得到最有效的措施，我们通过建立层次分析模型对各种具体措施对房价合理性的影响的权重系数进行了求解，比较各个系数大小，最终得出最有效的措施为防止炒房。对于问题 4，我们通过对北京地区房价，土地交易价格指数的分析，找出相关数据，利用 matlab 软件进行拟合，得到土地交易价格指数与房价的关系图。并在结果分析中做出了具体而详实的分
5、析,使它们之间的关系更为清晰。关键字：房价 、多元线性回归、 灰色模型、 层次分析一问题重述房价问题事关国计民生， 对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。 我国自从取消福利分房制度以来， 随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、 专家学者、 普通百姓通过各种媒体表达各种观点， 但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。根据中国的国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的城市，对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得
6、房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。二问题分析对问题 1 的分析： 本问题需要我们通过收集建筑成本、 居民收入等与房价密切相关的数据，通过分析数据，根据我国国情，判断房价是否合理。我们选取了一线城市北京， 二线城市西安，想通过房地产卖房子的利润与居民收入的比值来反映房价的合理性。如果该比值随年份上升趋势较缓，表明房价的上涨在居民的承受范围内，房价比较合理。如果该比值随年份上升趋势较陡，表明房价的上涨不符合居民收入的上涨，超出了居民的承受范围，房价不合理。对问题 2 的分析： 本问是对未来房价的走势进行预测。 较为准确的预测未来房地产的销售价格，对社会经济发展和人民
7、生活极其重要，可以为经济决策提供参考，故其研究意义重大。针对本问，我们一定要具备研究对象：北京和西安的历年房价的真实数据，从而才能真正意义上的通过建立模型、求解，预测出下一阶段的房价走势。对问题 3 的分析： 本问主要研究对于房价的不合理采取的措施。 房价是现在国家管理的一个难题，国家必须通过具体措施来抑制房价的过快增长。通过对一些数据的分析，我们可以从以下几个方面来进行，如优化供需关系，严格限制国内的炒房热， 减少土地价格以及提高人民群众的购买力。我们通过建立层次模型求解出各个因素的加权数， 由各个因素对房价影响的比重得出国家应该采取的正确措施。对问题 4 的分析：本问主要研究问题 3 中采
8、取的措施可能对经济发展产生的影响。考虑到经济发展是多方面、多层次的，我们选择经济发展中的某一具体方面（土地交易价格指数）来定量分析，通过土地交易价格指数的变化来反映经济发展的变化。为此，我们可以调查 2006-2010 年北京的房价和土地交易价格指数， 并建立北京房价和土地交易价格指数随年份变化的模型，然后得到北京房价和交易价格指数的关系，即得到了房价变化对经济发展的影响。三基本假设1.房地产每年的销售面积为一个定值。2.所取数据不考虑政策等各种人为因素的干扰。四符号说明PABNG房地产卖房利润房价（元/M2）建筑成本（元/M2）销售面积（M2）居民收入（元/年）XX(0)原始数据列(1)X(
9、0)生成的累加序列方差残差均值SEP最小误差概率五模型的建立与求解5.1.模型一的建立与求解通过分析我们了解到： 要判断房价的合理性， 就要了解房价与居民收入的关系， 考虑到不同城市可能有不同的结果，我们选取了一线城市北京和二线城市西安，并且调查了近 6 年北京和西安的房价以及居民收入。首先来求房地产的利润，P=（A-B）*N,我们用 y 来表示房地产的利润与居民收入的比值关系，即 Y=P/G。售价与成本的差值乘以销售额 (在不考虑其他因素的情况下 )即为商家所获利润，居民收入反应了某一地区的平均经济实力。其比值越大，说明商家所获利润越高而人们的经济实力越低，这就表明房价明显超出了人们经济承受
10、能力，故房价越不合理。 比值的增长趋势越陡，表明房价的增长越脱离人们经济实力的增长，因此房价的增长越不合理。我们建立了表格如下：年份G（元）A （元/M2）B （元/M2）Y200650467805044000.07232007560041145445000.12412008630291279548880.12542009687881390540000.14392010765441999444980.20242011803942222845000.2205表 1：2006-2011 年北京年居民收入、房价、和年份的关系表200620072008200920102011年份12662152071
11、89632224425981G（元）1090535994032500253987050A （元/M2）308930003600367037003740B （元/M2）2790Y0.02740.04730.02840.07020.07630.1274表 2：2006-2011 西安年居民收入、房价和年份的关系表图 1：利润与居民收入的比值与年份的变化折线图根据以上的表格数据我们做出利润与居民收入的比值与年份的变化折线图。我们先分析北京的折线图，2006 年2009 年上升较为平缓是合理的，2009 年之后出现了很大的提升，通过对折线图的分析之后还会升高，即是不合理的。再分析西安，通过图像可知20
12、06 年2010 年整体呈平稳的上升趋势，从图像和数据的综合考虑，得出西安市的房价的整体变化趋势具有较强的稳定性，这是比较合理的房价发展趋势。5.2.模型二的建立与求解首先，我们找到了 2006-2011 年的北京房产均价数据，如表 3：年份房价（元/M2） 年份房价（元/M2）20068050200913905200711454201019994200812795201122228表 3：北京市 20062011 年房价表下面我们来建立 GM(1,1)模型我们可以记原始数据序列X(0)为：(0)X(0)X(0)(1),X(2),X(0)(3),.X(1)(0)(6)8050,11454,12
13、795,13905,19994,22228第一次累加序列为：8050,19504,32299,46204,66198,88426建立矩阵 B,y：X(1)X(1)(1),X(2),X(3),.X(6)(1)(1)(1)(1)1(2)X(1)2X1(1)(1)(X(3)X(2)21(1)(1)B (X(4)X(3)21(1)(1)(X(5)X(4)21(1)(6)(1)(5)X2X1 13777125901.51 39251.5562011773121(0)11111y 11454,12795,13905,19994,22228T1X(0)(2)，X(0)(3)，X(0)(4)，X(5)，X(0
14、)(6)00(B B)00.919a 0.2 U (BTB)1BTy u8254.7把 a 和 u 代入时间响应方程，由X(1) 8050,故时间响应方程为：(1)X(1)uaku0.2k(1)(k 1) X(1)e 49323.5e41273.5aa(1)0.2k即时间响应方程为：X模型计算值 X(0)kX(0)(2)=10920X(0)(3)=13338X(0)(4)=16292X(0)(5)=19898X(0)(6)=24304(k 1) 49323.5e41273.5相对误差 e(k)-16.45%-4.24%-17%0.48%-9.34%实际值残差 E(k)X(0)(2)=11454
15、-1884X(0)(3)=12795-543X(0)(4)=13905-2387X(0)(5)=1999496X(0)(6)=22228-2076表 4：数值表XX(0)16(0)均值为：X X(k) 14737.666676k1(0)的方差为：S11NX(k)Xk1N(0)2 4894.0231121k残差的均值为：E E(k) 1358.8N 1k2残差的方差为：S2方差比为：C S21NN 1k2E(k)E2 962.2243813S1962.2243813 0.1966121454894.023112现在0.6745S1=0.6745S1 0.6745*4894.0231123301.
16、018589，而所有的E(k) E 3301.018589,故最小误差概率：P P E(k) E 0.6745S11根据P 0.95,C 0.196612145 0.35,表示预测等级较好，由此可知预测方程X(1)(k 1) 49323.5e0.2k41273.5可用。依次令 k=5,6,7,8.代入时间响应方程得：X1(6) 92802,X(7) 122490,X(8) 158740,X(9) 203030.111因此，北京 2012，2013,2014 年的房价依次为：XX0(7) (9) XX1(7)X(6) 29688,(9)X(8) 44290.11X0(8) X1(8)X(7) 3
17、6250,101图 2：北京市 20062014 年房价图接着，我们又找到了 2006-2011 年的西安房产均价数据，如表 5：年份房价（元/M2）年份房价（元/M2）200630892009500220073599201053982008403220117050表 5：西安房价随时间变化表格我们可以记原始数据序列X(0)为：(0)XX(0)3089,3599,4032,5002,5398,7050(1)X(0)(1),X(2),X(0)(3).X(0)(6)第一次累加序列为：3089,6688,10720,15722,21120,28170建立矩阵 B,y：(1)(1)1(2)X(1)2X
18、1(1)(1)(X(3)X(2)21(1)(1)B (X(4)X(3)21(1)(1)(5)(4)XX21(1)(6)(1)(5)X2XX(1)(1),X(2),X(3),.X(6)(1)(1)(1)14888.5187041 13221184211246451(0)11111y 3599， 4032,5002,5398,7050X(0)(2)，X(0)(3)，X(0)(4)，X(5)，X(0)(6)0.00010(BTB)10.00010.9988a 0.2 U (BTB)1BTy u2645.8把 a 和 u 代入时间响应方程，由X(1) 3089,故时间响应方程为：(1)X(1)uaku
19、(1)(k 1) X(1)e16318e0.2k13229aa即时间响应方程为：X(1)(k 1) 16318e0.2k13229模型计算值 X(0)kX(0)(2)=3612.8X(0)(3)=4413.2X(0)(4)=5389X(0)(5)=6583X(0)(6)=8041实际值残差 E(k)X(0)(2)=3599-13.8X(0)(3)=4032-381.2X(0)(4)=5002-387X(0)(5)=5398-1185X(0)(6)=7050-991表 6：数值表相对误差 e(k)-0.38%-9.45%-7.74%-21.95%-14.06%XX(0)16(0)均值为：X X(
20、k) 46956k1(0)的方差为：S11NX(k)Xk1N(0)221313.6782961k残差的均值为：E E(k) 591.6N 1k2残差的方差为：S2方差比为：C 1NN 1k2E(k)E 431.6540467SS21431.6540467 0.3285842871313.678296现在0.6745S1=0.6745S1 0.6745*1313.678296886.076011，而所有的E(k) E 886.076011,故小误差概率：P P E(k) E 0.6745S11根据P 0.95,C 0.328584287 0.35,表示预测等级较好， 由此可知预测方程XX11(1
21、)(k 1) 16318e0.2k13229可用。依次令 k=5,6,7,8.代入时间响应方程得：(6) 31128,X(7) 40949,X(8) 52944,X(9) 67594.(7) (9) 11因此，西安 2012，2013,2014 年的房价依次为：XX0XX1(7)X(6) 9821,(9)X(8) 14650.11X0(8) X1(8)X(7) 11995,101图 3：西安市 20062014 年房价图5.3.模型三的建立与求解（1）建立层次模型如下：目标层 O使房价合理C2 完善国家建房政策C3 提高国家信誉准则层 CC1 优化供需关系P3 减少土地价格P2 提高居民购买力
22、方案层 PP1 防止炒房行为（2）构建判断矩阵，求出最大特征值、一致性指标和随机一致性比率。O-C 判断矩阵：C1C2C311 C1153A C 25131C 3 31 3计算出最大特征值max3.308，一致性指标为CI=(3.038-3)/(3-1)=0.019。得出一致性比率为CR=0.019/0.58=0.0330.1,因此通过一致性检验， 可作为一个权值.C1-P 判断矩阵：P1P2P1151C1 1P 25计算得出最大特征值为max=2，CI=0,显然通过了一致性检验。C2-P 判断矩阵：P1P3P1131C 2 1P33计算得最大特征值为max=2，CI=0,可知其通过一致性检验
23、C3-P 判断矩阵：P2P3P 211 C 3 2P3 21计算得最大特征值为max=2，CI=0,可知其通过一致性检验.（3）各方案队总目标的层次总排序：CC1C2C3YP0.1060.6330.261P10.66700.250.136P20.3330.16700.141P300.8330.750.723表 7：总目标的层次总排序表结果分析： 从上面的分析结果可得： 在简单的探究了几种对房价合理性进行优化的方案中， 防止炒房行为的总权重最大为 0.7230， 减少土地价格的总权重为0.1360，提高居民购买力为0.1410。这与我们日常感受也基本符合，所以国家应在防止炒房上多下功夫，这其中包
24、括了颁布限购限贷政策，对房贷利率进行合理化改进等，这样才可以更加合理的抑制住房价。但要想很好的控制住房价，不仅这三个方面，还是有很多方面需要我们认真去考虑斟酌的。5.4.模型四的建立与求解（1）根据题目要求，我们首先找到以下数据：年份20062007200820092010房价（元/M2）805011454127951390519994土地交易价格指数105.2109.4111.6104.0115.9表 8：北京房价、土地价格交易指数与年份关系表根据数据我们分别作出房价与年份、土地交易价格指数与房价的折线图如下：图 4：房价与年份的折线图图 5：土地交易指数与房价的折线图（2）由以上数据，我们
25、利用matlab 软件对其两两进行拟合，找出土地交易价格指数与房价的关系。以上数据我们可以分别作线性拟合，即对多项式：yi a0 a1*x1a2*x2.an*xn(i 1,2)进行拟合。最终得出土地交易价格指数与房价的关系，其结果如下：通过对问题 4 中的各项数据的多次拟合， 我们得到了一个不太稳定的线性关系，但整体上走势还是正相关。如果房价不能得到有效地控制，疯狂的上涨，这可能会导致土地交易价格指数的上涨。 而土地交易价格指数反映的是地价在时间上的平均变动和综合变动方向及其程度的相对指标， 显示了土地市场的行情及其发展趋势。这表明土地市场会产生混乱。如果能够有效的控制房价的上涨，例如颁布限购
26、限贷政策，对房贷利率进行合理化改进。六模型的评价与推广6.1 模型的优缺点:6.1.16.1.1 模灰色型的优点：模灰色型的优点：不需要大量的样本。样本不需要有规律性分布。计算工作量小。定量分析结果与定性分析结果不会不一致。可用于近期、短期，和中长期预测。灰色预测精准度高。6.1.26.1.2 层次模型的优点：层次模型的优点：层次模型可以把复杂的决策系统层次化， 通过逐层比较各种关键因素的重要性来为分析、 决策提供定量的依据。它特变适用于那些难以完成用定量方法进行分析的复杂问题。因此在资源分配、选优排序、政策分析、冲突求解以及决策预报等领域得到了广泛的应用。6.1.36.1.3 模型的缺点模型的缺点: : 计算量比较大，效率不是很高。七参考文献1、2003 年2010 年中国统计年鉴2、 北京统计年鉴3、 西方经济学微观部分 ，主编：高鸿业，中国人民大学出版社4、 实用数学建模与软件应用,主编：肖华勇，西北工业大学出版社5、 MATLAB 基础及其应用教程 ，主编：管爱红、张红梅、杨铁军，电子工业出版社
