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1、多练出技巧巧思出硕果第七讲 从不定方程111nxy的整数解谈起对于形如111nxy的方程，寻找整数 x、y 使之满足方程， 称为求不定方程的整数解。这里n 是取定的一个自然数。对于方程111nxy（1）显见 x=y=12 是一个整数解。还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来， 但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。由1116xy，两边减去1x，得：1116xy；通分：616xxy；因此，66xyx，这里 x6 大于 0。为了使右端的分数形式更简明，我们不妨把 x6 看成一个整体，即令 t=x-6.那么 x=t+6。因此6(6)666tytt。由于 y 是整数，上式右边也是
2、整数，所以66t也必须是整数，这样我们推知：t 是 62的因数（约数） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果由于是求不定方程1116xy的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两个未知数x、y 的困难问题，转换成简单的62的因子 t 的问题了。一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62的因子有 6、1 和36，2 和 18，3 和 12，4 和 9。6 称为自补的因子。后面的2 和 18等都称为互补因子，这样，不妨记为：t0=6,t1=1,t1=36;t2=2,t2=18;t3=3,t3=12;t4=
3、4,t4=9也即2116tt，2446tt， x=6+t,y=26t+6=t+6, 1116xy的所有解表示成111666tt。这里 t 和 t是 62=36 的互补因子（当t=t=6 时自补因子也包括在内） ，所以1116xy的全部整数解为：00111116,;()612126666tt11111111,36,;()674261636tt22111112,18,;()682462618tt33111113,12,;()691863612tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果44111114,9
4、,;()610156469tt由于 x、y 地位对等，11 111111,742427xyxy的解与的情况我们都看成一种了。以上情况推广到一般情况：求不定方程111nxy（2）的整数解，只要找出n2的全部成组互补因子t 和 t，则111nntnt（3）就可得到全部解。例如，求不定方程：11112xy（即 n=12）的整数解，首先分解122=（223）2=2432，它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。 20 21 22 23 24 30 1 2 4 8 16 31 3 6 12 24 48 32 9 18 36 72 144 按照互补或自补因子配对有： （1，144） ， （2，72）
5、， （3，48） ，（4，36） ， （6，24） ， （8，18） ， （16，9） ， （12，12） 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果所以11112xy共有 8 种解（212182的因子个数） ：1113156；111484；111560；111648；111836；112030；112128；112424。以上是讨论11112xy的全部解。 自然会想到如果把上式的1x再分解成两个“单位分数” （分子为 1 分母为整数“的和，那么我们相当于求：1111nxyz的整数解，例如求解：111
6、16xyz，可以利用已经求解过的1116xy的 5 种解，再把其中1y分解成11yz，例如1111116121212742，如此等等。总之，求1111nxyz也是有路可循的了。特别，如n 是质数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果211111,221nppppppp。除了 p=2 以外， p+1 是合数。再分裂11p， 例 如 ， 利 用2(1)p有 因 子1和2(1)p， 因 此211112(1 )(1 )pppp，所以，11112(1)(1)(2)ppp ppp；（4）例如：11111113
7、53 44551220，111111157566773042，111111179788995672。在这些基本训练基础上， 我们很容易把整数1 分拆为若干个单位分数之和。分成两部分，唯一方式： 1=12+12；分成三部分，只有 3 种方式： 明显的有1111333， 先有11122，再借用11111221242222这两种分解形式（因为 22有互补因子1 ，4 ，2 ，2 ） 。可有1111111244236，1111333。并且可断言只有这三种形式。为证明这一结论，先介绍“推广精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页多
8、练出技巧巧思出硕果的抽屉原理”（不妨称平均值原理更确切） ：一个（正）数，分放于几个抽屉中， 必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值。 （注意，这里的数不局限于整数。 ）1 分拆为三个单位分数之和，必有一部分13，而13的单位分数只有12和13。不妨设1x1y1z，则1x=12或1x=13，问题转化成：11112yz或11113yz对于前一种情况，1111122yz，再用推广的抽屉原理，1y、1z中，不妨设1y1z，必有一个14。1y只有14和13两种情况（显然1y12） 。对于1y=13和14，分别必有1z=16和14。归之于1111236和1111244的情况。对于后一种情况，11113y
9、z，同样用推广的抽屉原理， 有1y12（23）=13，又1y1x=13，所以1y=13。由23=11yz得1z=23-13，也归之于三种形式之中。故推断正确。在某些问题研究中，并不要求马上找出全部解，只要能将一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果单位分数分拆为两个单位分数之和即可，这里我们介绍另一种技巧，先看：1111(1)nnn n（5） 我们这里是在讨论单位分数问题时用到（5）式，其实（ 5）式又可以改变形式写成：111(1)1n nnn，它在计算中也有巧妙应用，为保持原问题讨论的连续性，它
10、的具体应用请看习题 。公式（5）在将整数 1 分裂成若干个单位分数和的求解中，用起来很方便。例如可将1 分裂为 3 个分母不等的单位分数之和：111111111()222323236。而且，只要不计较分母太大看起来不直观，我们可以把1 分裂成任意多个单位分数之和。如：1=1122（2 项） =111236（3 项） =111124126（4 项）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果 =111112412742（5 项） =111111252012742（6 项） =1111111263020127
11、42（7 项） =111111112630201285642（8 项） =111111111263020129725642（9 项） =1111111111263020121090725642（10 项）如果要求你用两种不同的方式把1 写成 10 个单位分数之和，你不妨在分裂成9 项时，另选一种方式用公式1111(1)nnn n，如选1112021420，即可。实 际上 ，公式1111(1 )nnnn只是 最初讲 的11111nxyntnt的特殊情况，只是把2n的互补因子选为1 和2n而已。所以基本功在于111nxy的分解。上述基本分解还有一种简便一些的算法，它不必分解2n的因子，而只要求分解
12、n 的所有因子，还以12 为例：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果11112xy，把 12（注意：不是 122）的所有因子由小到大排列：1、2、3、4、6、12，6 个因子任取2 个配成一个组合，共有15 种：（1，2） ， （1，3） ， （1，4） ， （1，6） ， （1，12）（2，3） ， （2，4） ， （2，6） ， （2，12）（3，4） ， （3，6） ， （3，12）（4，6） ， （4，12）（6，12）对于每一组合 (a，b)，写成 1=ababab，则有：11212()
13、12()ababab =111212()()()()ababab。例如： （2，3）1123()12122323 =111212()5()523=111165453020。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果所以11112xy有 15 种方式。但这里有重复，如由（1，2）配出的1121212(12)和由（ 2，4）配出的1241212(24)是相同的。只要在因子的配组中筛去这种情况即可。以上讨论相应于不定方程111nxy，对于其他分数形式的不定方程，分子不是1 的，例如：2113xy，一般同学都可
14、“猜”出211326，当然还有211333。那么请问是否只有两种方式？答：是。理由呢？因为由推广的抽屉原理，1x和1y中至少有一个13，13=12()23 ，也即至少有一个或为12，或为13。从而归于两种形式。那么难度再增加一些，对不定方程2115xy求整数解呢？用“灵感来凑”：2236151155 31515153，是一种解。最容易的是211555，那么还有第三种解吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页多练出技巧巧思出硕果用推广的抽屉原理分析：25分拆成两个部分， 当1x1y时， （不妨设1x1y，也即xy）必有1x15，1x只有 2 种可能1x2512 ：13，14。从而1y=2513，或1y=2514，合理情况只有在前一种中的1y=115一种，所以：2115xy的整数解只有211555及2115315两种。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页
