《2022年五下数学思维第七讲从不定方程的整数解谈起》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2022年五下数学思维第七讲从不定方程的整数解谈起(11页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、多练出技巧巧思出硕果第七讲 从不定方程111nxy的整数解谈起对于形如111nxy的方程,寻找整数 x、y 使之满足方程, 称为求不定方程的整数解。这里n 是取定的一个自然数。对于方程111nxy(1)显见 x=y=12 是一个整数解。还有没有别的解?如何求解?有人凭直觉能看出一些解来, 但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。由1116xy,两边减去1x,得:1116xy;通分:616xxy;因此,66xyx,这里 x6 大于 0。为了使右端的分数形式更简明,我们不妨把 x6 看成一个整体,即令 t=x-6.那么 x=t+6。因此6(6)666tytt。由于 y 是整数,上式右边也是
2、整数,所以66t也必须是整数,这样我们推知:t 是 62的因数(约数) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果由于是求不定方程1116xy的整数解,这样,原先“漫无边际”的找两个未知数x、y 的困难问题,转换成简单的62的因子 t 的问题了。一个完全平方数的因子必然是奇数个,如62的因子有 6、1 和36,2 和 18,3 和 12,4 和 9。6 称为自补的因子。后面的2 和 18等都称为互补因子,这样,不妨记为:t0=6,t1=1,t1=36;t2=2,t2=18;t3=3,t3=12;t4=
3、4,t4=9也即2116tt,2446tt, x=6+t,y=26t+6=t+6, 1116xy的所有解表示成111666tt。这里 t 和 t是 62=36 的互补因子(当t=t=6 时自补因子也包括在内) ,所以1116xy的全部整数解为:00111116,;()612126666tt11111111,36,;()674261636tt22111112,18,;()682462618tt33111113,12,;()691863612tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果44111114,9
4、,;()610156469tt由于 x、y 地位对等,11 111111,742427xyxy的解与的情况我们都看成一种了。以上情况推广到一般情况:求不定方程111nxy(2)的整数解,只要找出n2的全部成组互补因子t 和 t,则111nntnt(3)就可得到全部解。例如,求不定方程:11112xy(即 n=12)的整数解,首先分解122=(223)2=2432,它的因子根据分解式的结构特点可以排成一个表。 20 21 22 23 24 30 1 2 4 8 16 31 3 6 12 24 48 32 9 18 36 72 144 按照互补或自补因子配对有: (1,144) , (2,72)
5、, (3,48) ,(4,36) , (6,24) , (8,18) , (16,9) , (12,12) 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果所以11112xy共有 8 种解(212182的因子个数) :1113156;111484;111560;111648;111836;112030;112128;112424。以上是讨论11112xy的全部解。 自然会想到如果把上式的1x再分解成两个“单位分数” (分子为 1 分母为整数“的和,那么我们相当于求:1111nxyz的整数解,例如求解:111
6、16xyz,可以利用已经求解过的1116xy的 5 种解,再把其中1y分解成11yz,例如1111116121212742,如此等等。总之,求1111nxyz也是有路可循的了。特别,如n 是质数,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果211111,221nppppppp。除了 p=2 以外, p+1 是合数。再分裂11p, 例 如 , 利 用2(1)p有 因 子1和2(1)p, 因 此211112(1 )(1 )pppp,所以,11112(1)(1)(2)ppp ppp;(4)例如:11111113
7、53 44551220,111111157566773042,111111179788995672。在这些基本训练基础上, 我们很容易把整数1 分拆为若干个单位分数之和。分成两部分,唯一方式: 1=12+12;分成三部分,只有 3 种方式: 明显的有1111333, 先有11122,再借用11111221242222这两种分解形式(因为 22有互补因子1 ,4 ,2 ,2 ) 。可有1111111244236,1111333。并且可断言只有这三种形式。为证明这一结论,先介绍“推广精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页多
8、练出技巧巧思出硕果的抽屉原理”(不妨称平均值原理更确切) :一个(正)数,分放于几个抽屉中, 必有一个抽屉内存放的数大于或等于平均值。 (注意,这里的数不局限于整数。 )1 分拆为三个单位分数之和,必有一部分13,而13的单位分数只有12和13。不妨设1x1y1z,则1x=12或1x=13,问题转化成:11112yz或11113yz对于前一种情况,1111122yz,再用推广的抽屉原理,1y、1z中,不妨设1y1z,必有一个14。1y只有14和13两种情况(显然1y12) 。对于1y=13和14,分别必有1z=16和14。归之于1111236和1111244的情况。对于后一种情况,11113y
9、z,同样用推广的抽屉原理, 有1y12(23)=13,又1y1x=13,所以1y=13。由23=11yz得1z=23-13,也归之于三种形式之中。故推断正确。在某些问题研究中,并不要求马上找出全部解,只要能将一个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果单位分数分拆为两个单位分数之和即可,这里我们介绍另一种技巧,先看:1111(1)nnn n(5) 我们这里是在讨论单位分数问题时用到(5)式,其实( 5)式又可以改变形式写成:111(1)1n nnn,它在计算中也有巧妙应用,为保持原问题讨论的连续性,它
10、的具体应用请看习题 。公式(5)在将整数 1 分裂成若干个单位分数和的求解中,用起来很方便。例如可将1 分裂为 3 个分母不等的单位分数之和:111111111()222323236。而且,只要不计较分母太大看起来不直观,我们可以把1 分裂成任意多个单位分数之和。如:1=1122(2 项) =111236(3 项) =111124126(4 项)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果 =111112412742(5 项) =111111252012742(6 项) =1111111263020127
11、42(7 项) =111111112630201285642(8 项) =111111111263020129725642(9 项) =1111111111263020121090725642(10 项)如果要求你用两种不同的方式把1 写成 10 个单位分数之和,你不妨在分裂成9 项时,另选一种方式用公式1111(1)nnn n,如选1112021420,即可。实 际上 ,公式1111(1 )nnnn只是 最初讲 的11111nxyntnt的特殊情况,只是把2n的互补因子选为1 和2n而已。所以基本功在于111nxy的分解。上述基本分解还有一种简便一些的算法,它不必分解2n的因子,而只要求分解
12、n 的所有因子,还以12 为例:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果11112xy,把 12(注意:不是 122)的所有因子由小到大排列:1、2、3、4、6、12,6 个因子任取2 个配成一个组合,共有15 种:(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,6) , (1,12)(2,3) , (2,4) , (2,6) , (2,12)(3,4) , (3,6) , (3,12)(4,6) , (4,12)(6,12)对于每一组合 (a,b),写成 1=ababab,则有:11212()
13、12()ababab =111212()()()()ababab。例如: (2,3)1123()12122323 =111212()5()523=111165453020。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果所以11112xy有 15 种方式。但这里有重复,如由(1,2)配出的1121212(12)和由( 2,4)配出的1241212(24)是相同的。只要在因子的配组中筛去这种情况即可。以上讨论相应于不定方程111nxy,对于其他分数形式的不定方程,分子不是1 的,例如:2113xy,一般同学都可
14、“猜”出211326,当然还有211333。那么请问是否只有两种方式?答:是。理由呢?因为由推广的抽屉原理,1x和1y中至少有一个13,13=12()23 ,也即至少有一个或为12,或为13。从而归于两种形式。那么难度再增加一些,对不定方程2115xy求整数解呢?用“灵感来凑”:2236151155 31515153,是一种解。最容易的是211555,那么还有第三种解吗?精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页多练出技巧巧思出硕果用推广的抽屉原理分析:25分拆成两个部分, 当1x1y时, (不妨设1x1y,也即xy)必有1x15,1x只有 2 种可能1x2512 :13,14。从而1y=2513,或1y=2514,合理情况只有在前一种中的1y=115一种,所以:2115xy的整数解只有211555及2115315两种。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页