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1、试卷第 1 页,共 4 页专题专题2 以平面向量数量积为背景的最值与范围问题【练】以平面向量数量积为背景的最值与范围问题【练】(23-24 高一下重庆期中)1如图,在ABCV中,3BAC=,2ADDB=uuuruuu r,P为CD上一点,且满足12APmACAB=+uuu ruuuruuu r,若ABCV的面积为3,则APuuu r的最小值为()A62B2 33C1D34(23-24 高三上浙江阶段练习)2已知3ab=rr,2ab=rr,则cos,a abr rr的最小值为()A12B22C32D1(23-24 高一下江苏常州期中)3在平面凸四边形ABCD中,已知2BC=,1AC=,ABAC,
2、150ADC=,则AD ABuuur uuu r的最小值为()A132B332C32D3 32(2024福建泉州模拟预测)4已知平行四边形 ABCD 中,2AB=,4BC=,23B=,若以 C 为圆心的圆与对角线 BD相切,P 是圆 C 上的一点,则BDCPCBuuu ruuu ruuu r的最小值是()A82 3B42 3+C124 3D62 3+(2024 高一下江苏专题练习)5如图,在梯形ABCD中,112DAABBCCD=.点P在阴影区域(含边界)中运动,则AP BDuuu r uuu r的取值范围为 .#QQABCwAwgmg4kEzgyIhaYQGEymix0hdSbSxm11aa
3、+U0SNmtADAA=#试卷第 2 页,共 4 页(23-24 高一下广东广州期中)6已知ABCV的外接圆半径为 1,则AB BCuuu r uuu r的最大值为 (22-23 高一下河北保定期末)7已知O为ABCV的外心,且1AOABACll=+uuuruuu ruuur若向量BAuuu r在向量BCuuu r上的投影向量为BCmuuu r,则cosAOCm的最小值为()A14B18C116D0(23-24 高一下吉林长春阶段练习)8 如图,在ABCV中,,2,3BACADDB P=uuu ruuu r为CD上一点,且12APmACAB=+uuu ruuuruuu r,若ABCV面积是8
4、3,则APuuu r的最小值为()A14B2 3C4D2 2(23-24 高一下湖南常德期中)9如图,直线12ll/,点A是1l,2l之间的一个定点,点A到1l,2l的距离分别为2和6点B是直线2l上一个动点,过点A作ACAB,点,E F在线段BC上运动(包括端点)且1EF=,若ABCV的面积为2 3则AE AFuuu r uuu r的最小值为()#QQABCwAwgmg4kEzgyIhaYQGEymix0hdSbSxm11aa+U0SNmtADAA=#试卷第 3 页,共 4 页 A 3B114C3 22D74(23-24 高一下山东青岛期中)10ABCV中,2AB=,4ACB=,O是ABCV
5、外接圆圆心,是OC ABCA CB+uuur uuu ruuu r uuu r的最大值为()A1B21+C3D5(23-24 高一下重庆万州期中)11已知向量abcrrr,满足:br为单位向量,且2ab+rr与2abrr相互垂直,又对任意Rl不等式abablrrrr恒成立,若 24Rcuau b u=+rrr,则cr的最小值为()A4B5C6D7(23-24 高一下福建莆田阶段练习)12 如图,已知正方形ABCD的边长为 4,若动点 P 在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部,含边界),则PC PDuuu r uuu r的取值范围为()A(0,16)B0,16C(0,4)D0,4(23-2
6、4 高一下福建期中)13已知向量ar、br满足:2ab=rr,2a b=rr,向量rrac与向量bcrr的夹角为6,则acrr的最大值为()#QQABCwAwgmg4kEzgyIhaYQGEymix0hdSbSxm11aa+U0SNmtADAA=#试卷第 4 页,共 4 页A3B2C4 33D4(23-24 高一下山东烟台阶段练习)14在ABCV中,4 2ABAC=,当Rl时,|ABBCl+uuu ruuu r的最小值为 4若AMMB=uuuu ruuur,22sincosAPABACqq=+uuu ruuu ruuu r,其中,3 2q,则MPuuur的最大值为()A2B2 2C2 5D4
7、2(23-24 高一下浙江杭州期中)15已知ABCV满足345CA CBBA BCAB AC+=uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuur,则cosA的最小值为()A35B45C63D33#QQABCwAwgmg4kEzgyIhaYQGEymix0hdSbSxm11aa+U0SNmtADAA=#答案第 1 页,共 12 页1A【分析】根据三角形面积公式可求得4AB AC=uuu r uuur,进而求得2AB AC=uuu r uuur,则根据32ABAD=uuu ruuur可知34APmACAD=+uuu ruuuruuur,由向量共线定理可知14m=,最后利用22114
8、2APACAB=+uuu ruuuruuu r结合基本不等式可求得最小值【详解】ABCQV的面积为3,113sinsin32234AB ACBACAB ACAB AC=uuu r uuuruuu r uuuruuu r uuur,4AB AC=uuu r uuur,cos4cos23AB ACAB ACBAC=uuu r uuuruuu r uuur,Q2ADDB=uuuruuu r,32ABAD=uuu ruuur,由12APmACAB=+uuu ruuuruuu r,可得34APmACAD=+uuu ruuuruuur,CQ,P,D三点共线,314m+=,解得14m=,即1142APACA
9、B=+uuu ruuuruuu r222211111421644APACABACABAC AB=+=+uuu ruuuruuu ruuuruuu ruuur uuu r221111113216424222ACABACAB=+=uuuruuu ruuuruuu r,当且仅当22 2ACAB=uuuruuu r时取等号,min62AP=uuu r故选:A2C【分析】根据题意可求得25922a bb=r rr,再由夹角余弦值的计算公式可得13cos,44a abbb=+r rrrr,利用基本不等式即可求得其最小值为32.【详解】由3ab=rr,2ab=rr可得22222529ababa bba b=
10、+=rrrrr rrr r;所以25922a bb=r rr;因此2222225959394222222aabaaa bbbbb=+=+rrrrrrrrrrr,#QQABCwAwgmg4kEzgyIhaYQGEymix0hdSbSxm11aa+U0SNmtADAA=#答案第 2 页,共 12 页所以2313cos,4292234aaba abba abbbb=+rrrr rrrr rrrrr,显然0b r,所以13133244244bbbb+=rrrr,当且仅当3b=r时,等号成立;此时cos,a abr rr的最小值为32.故选:C3B【分析】设,0,6CADq q=,在ACDV中,利用正弦
11、定理求出AD,再根据数量积的定义结合三角函数的性质即可得解.【详解】设,0,6CADq q=,则6ACDq=,在ACDV中,由正弦定理得sinsinACADADCACD=,所以sin2sincos3sinsin6ACACDADADCqqq=,在RtABC中,2BC=,1AC=,则3AB=,所以cos3 cos3sincos2AD ABAD ABBADqqq=+uuur uuu ruuur uuu r21 cos233sin3sincos3sin222qqqqq=3333sin2cos23sin 222223qqq=+=+,因为0,6q,所以 22,333q+,所以3sin 2,132q+,所以
12、AD ABuuur uuu r的最小值为332.#QQABCwAwgmg4kEzgyIhaYQGEymix0hdSbSxm11aa+U0SNmtADAA=#答案第 3 页,共 12 页故选:B.【点睛】方法点睛:解三角形的基本策略:(1)利用正弦定理实现“边化角”;(2)利用余弦定理实现“角化边”.求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型,主要方法有两类:(1)找到边与边之间的关系,利用基本不等式来求解;(2)利用正弦定理,转化为关于某个角的三角函数,利用函数思想求解.4C【分析】根据题意做出图形,结合平面向量数量积的运算法则整理计算即可求得最终结果【详解】如图所示,过C作BD的平行线交
13、圆C于点P,过P作PHBD,垂足为H,在平行四边形ABCD中,2AB=,4BC=,23B=,可得3A=,4ADBC=,则由余弦定理可得14 162 2 42 32BD=+=,由222ABBDAD+=,可得ABBD,则四边形DCPH为正方形,则2DHCPCD=,因为BD CPCBBD BP=uuu r uuu ruuu ruuu r uuu r,则BD BPuuu r uuu r的最小值为2 32 32124 3BD BH=,即BD CPCBuuu r uuu ruuu r的最小值为124 3,故 C 正确。故选:C.#QQABCwAwgmg4kEzgyIhaYQGEymix0hdSbSxm11
14、aa+U0SNmtADAA=#答案第 4 页,共 12 页53 3,2 2【分析】求出BD和CBD,根据数量积的几何意义,分析APuuu r在BDuuu r上的投影向量即可得解.【详解】作AFCD,垂足为 F,记BD的中点为 E,由112DAABBCCD=可知,梯形ABCD为等腰梯形,12DF=,所以60ADF=,30DAF=,则120DAB=,所以30ABDADB=,90CBD=,所以2cos303BD=,由数量积的几何意义可知,AP BDuuu r uuu r受APuuu r在BDuuu r上的投影影响,由图可知,当点 P 在 BC 上时,APuuu r在BDuuu r上的投影向量为EBu
15、uu r,数量积取得最小值,当点 P 与点 D 重合时,APuuu r在BDuuu r上的投影向量为EDuuu r,数量积取得最大值.所以EB BDAP BDED BDuuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu r,即3322AP BDuuu r uuu r.故答案为:3 3,2 2612#0.5【分析】取,AB BC中点,E F,设ABCV的外接圆圆心为O,化简可得21cos,2AB BCBCOABCOA BCuuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r,进而可得当,OA BCuuu r uuu r反向共线且1BC=uuu r时取最大值即可.
16、【详解】取,AB BC中点,E F,设ABCV的外接圆圆心为O,则1OAOBOC=,AB BCOBOABCOB BCOA BC=uuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu ruuu r uuu r.又12OBOFFBOFBC=+=uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r,故12OB BCOA BCOFBCBCOA BC=uuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r.22111cos,222OF BCBC BCOA BCBCOA BCBCOABCOA BC=uuu r uuu ruuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r uuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r212BCBC+uuu ruuu r,当且仅当,OA BCuuu r uuu r反向共线时取等号.#QQABCwAwgmg4kEzgyIhaYQGEymix0hdSbSxm11aa+U0SNmtADAA=#答案第 5 页,共 12 页又22111112222BCBCBC+=+uuu ruuu ruu