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1、双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质课标阐释课标阐释思维脉络思维脉络1.1.了解双曲线的范围、对称性、了解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等简单顶点、渐近线、离心率等简单 几何性质几何性质.(.(数学抽象数学抽象)2.2.能够根据双曲线的几何性质能够根据双曲线的几何性质解决有关问题解决有关问题.(.(数学运算数学运算)双曲线的几何性质双曲线的几何性质范围范围对对称称性性顶点顶点渐近线渐近线离心率离心率应用应用火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个 循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重
2、复 使用.大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔.这样从结 构稳定，强度高，能够获得更大的容积.气流顺畅，对流冷却效果好，造 型美观.建造这种冷却塔时要考虑到最小半径和上、下口的半径，如何确定知识点拨这些数据?标准标准方程方程=1(a0,b0)a-=1(a0,b0)性 质图形焦点焦距范围或或X双曲线的几何性质双曲线的几何性质知识点拨对称性对称轴：;对称中心：顶点A A 轴实轴：线段 ,长：;虚轴：线段 ,长：;实半轴长：,虚半轴长：离心率e=e=渐近线知识点拨名师点析名师点析1 1.双曲线有“四点”(两个焦点、两个顶点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),椭圆是封闭性曲线，而双曲线是开放
3、性曲线；双 曲线有两支，故在应用时要注意点在哪一支上；根据方程判断焦点 的位置时，注意双曲线与椭圆的差异性.2.如果双曲线的方程确定，那么其渐近线的方程是唯一的，但如果双曲线的渐近线确定，那么其对应的双曲线有无数条，具有共同渐近线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为,当 0 时，对 应 的 双 曲 线 焦点在x 轴上，当0时 ,双曲线方程为 当0时 ,双曲线方程为 故所求双曲线方程为 探究二 探究三 素养形成 当堂检测由题意得a=3.反思感悟巧设双曲线方程的六种方法与技巧焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为 与双曲 共焦点的双曲线方程可设为 具有相同渐
4、近线的双曲线方程可设为渐近线为y=kx的双曲线方程可设为kx-y=(0).渐近线为axby=0的双曲线方程可设为ax-by=(0).探究二 探究三 素养形成 当堂检测变式训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍，且一个顶点的 坐标为(0,2);(2)双曲线的渐近线方程为 且经过点A(2,-3).解：(1)由已知，双曲线焦点在y 轴上，设其方程 则2a+2b=22c,即a+b=2c.又a=2,且a+b=c,所以a=2,b=2,因此双曲线的标准方程为(2)由双曲线的渐近线方程为 可设双曲线方程为因为A(2,-3)在双曲线上，所 即=-8,所求双曲线
5、的标准 方程为 探究 探究三 素养形成 当堂检测双曲线的渐近线与离心率问题双曲线的渐近线与离心率问题1.求双曲线的离心率或取值范围例 3(2019全国II,理 11)设F 为双曲线(点，0为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆 x+y=a交于P,Q 两点.若 IPQl=1OFI,则 C 的 离 心 率 为()A.2 B.3 C.2 D.5思路分析思路分析：利用双曲线和圆的性质，结合已知条件得到关于a,c的方程，进而求得双曲线的离心率.探究二 探究三 素养形成 当堂检测当堂检测解析：如图，设PQ 与x轴交于点A,由对称性可知PQx轴.:1PQl=1OFl=c,:重又点P 在圆 x+y=a上，.选A.
6、PA为以OF 为直径的圆的半径，A 为圆心，探究二 探究三 素养形成 当堂检测,e=2,故答案：A、艮。,反思感悟求双曲线离心率及范围的常见反思感悟求双曲线离心率及范围的常见方法方法1.求双曲线离心率的常见方法：(1)若可求得a,c,则直接利用 得解；(2)若已知a,b,或得到a,b的关系式，可利用 解；(3)若得到的是关于a,c的齐次方程，则方程两边同除以a的最高次幂，转化为关于e 的方程求解.2.求离心率范围的技巧：(1)根据条件建立a,b,c的不等式，类似于求离心率的方法转化求解；(2)通过解不等式得或二的范围，求得离心率的范围.C a探究二 探究三 素养形成 当堂检测当堂检测变式训练变
7、式训练3 3实轴长为2的双曲线不同的点Pi(i=1,2,3,4)满足IPiBI=2IPiAl,其中A,B 分别是双曲线 x-y=1的左、右顶点.则C 的离心率的取值范围为()探究二 探究三 素养形成 当堂检测当堂检测解析：依题意可得a=1,A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则由IPBI=2IPAl,因为双曲线C 上恰有4个不同的点P;(i=1,2,3,4)满足IP;BI=2IPiAl,有两不等实根，解得 所以方所以只需则探究三 素养形成 当堂检测探究二答案：A由2.双曲线的渐近线与离心率的综合例4(2019全国I,文10)双曲线 的一条渐近线 的倾斜角为130,则C 的离心率为()
8、A.2sin 40 B.2cos 40思路分析：根据题意用 表示题中双曲线的渐近线的斜率，再利用行化简.探究二 探究三 素养形成 当堂检测解 析：由已知可则探究二 探究三 素养形成 当堂检测当堂检测故 选D.答案：D反思感悟反思感悟双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，可以借助 进行互求.一般地，如果已知双曲线离心率的值求渐 近线方程，或者已知渐近线方程，求离心率的值，都会有两解(焦点在 x轴上和焦点在y轴上两种情况),不能忘记分类讨论.素养形成 当堂检测当堂检测探究二 探究三变式训练4已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的离心率等于 5,则其渐近线方程为解析：依题意得 ,2 解 若
9、双曲线焦点在x 轴上，则其渐近线方程为 若双曲线焦点在y 轴上，则其渐近线方程为 探究三 素养形成 当堂检测答案：或探究二直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系典例典例已知双曲线C:x-y=1及直线l:y=kx-1,(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A,B两点，0是坐标原点，且AOB的面积为 2,求实数k的值.思路分析思路分析：直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系.探究二 探究三 素养形成素养形成 当堂检测当堂检测解：(1)联立方程组消去y 并整理，得(1-k)x+2kx-2=0.直线与双曲线有两个不同的交点，则解得-2k0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)=0时，直线与双曲线只有一个公共点.(3)40,所以a=m,b=2,所 解得m=16.答案：164.若双曲 的渐近线方程为y=2x,则实数m 等探究二 探究三 素养形成 当堂检测5.已知双曲线的离心率 且与椭圆 有共同的焦点，求该双曲线的标准方程.解：在椭圆中，a=13,b=3,焦点坐标为F(10,0),F(-10,0),双曲线的焦点也在x 轴上，且c=c=10.由 a=22,.:a=8,b=c-a=10-8=2.故该双曲线的方程为探究二 探究三 素养形成 当堂检测
