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1、淮北师范大学 2013届学士学位论文 微分中值定理和不等式的证明学院、专业数学科学学院 数学与应用数学研 究 方 向 函 数 论 学 生 姓 名 谢 晨 西 学 号 20091101169 指导教师姓名 卓 泽 朋 指导教师职称 副 教 授 2013年4月20日微分中值定理及不等式的证明谢晨西（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘 要 微分中值定理在数学分析中具有重要作用,不等式在初等数学中是最基本的内容之一,微分中值定理主要包括：拉格朗日中值定理，罗尔中值定理,以及柯西中值定理.本文采用举例的方式归纳了微分中值定理在不等式证明中的几种常见方法和技巧，并对中值定理进行了适当的推广
2、,同时结合几个常见的实例论述了罗尔中值定理,拉格朗日中值定理在证明不等式面的应用,从而加深对两个定理的理解,总结了微分中值定理在不等式证明中的基本思想和方法.关键词 ：微分中值定理，柯西中值定理，费马定理，不等式Differential Mean Value Theorem and Proof of InequalityXie Chenxi（School of Mathematical science,Huaibei Normal University,Huaibei,2350000） Abstract Differential mean value theorem plays an impo
3、rtant role in mathematical analysis.Inequality is one of the most important elements in elementary mathematics.Differential mean value theorem include: lagrange mean value theorem, rolle theorem, cauchy mean value theorem.This article summarizes several common methods and techniques of differential
4、mean value theorem to prove inequality.Appropriate promotion differential mean value theorem.Combined with a few common examples discussed rolle theorem of lagrange mean value theorem in proving inequalities surface.So as to deepen the understanding of the two theorems,summarize the basic method of
5、differential mean value theorem to prove inequalityKey words: Differential mean value theorem，Cauchy Mean Value Theorem，generalized Fermats theorem;，inequalities目 录引言11 预备知识12 微分中值定理及其证明12.1 费马引理12.2 罗尔中值定理及其推广22.3 拉格朗日中值定理及其推广32.4 柯西中值定理及其推广32.5 泰勒中值定理43 利用微分中值定理证明不等式43.1 罗尔中值定理证明不等式43.2 利用拉格朗日中值定理
6、证明不等式53.3 利用柯西中值定理证明不等式63.4 利用泰勒中值定理证明不等式79结论10参考文献11 引言 在高等数学课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理等统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理为加深学生对微分中值定理的理解.它的出现是一个过程，聚集了众多数学家的研究成果.从费马到柯西不断发展，理论知识也不断完善，成为了人们引进微分学以后，数学研究中的重要工具之一，而且应用也越来越广泛.微分中值定理在函数在某一点的局部性质；函数图象的走向；曲线凹凸性的判断；积分中值定理；级数理论；等式及不等式证明等问题的研究中也发挥着十分重要的作用.因此，微分中值定理已经成
7、为整个微分学基础而又举足轻重的内容. 1 预备知识 微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具,其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。也就是说微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、以及柯西中值定理等基本定理在内的定理的总称.以下是证明微分中值定理时用到的几个概念.定义1 (单调性) 函数在定义域内,当时,有则称单调递增.当时,有,则称单调递减. 定义2 (保号性) 若,则存在任意使得.定义3 (最值) 设在上有定义,若存在使任意,(),则称为的最小值(最大值).为最小值点(最大值点). 定义4 (极值) 设在任意上有定义,若存
8、在任意,都有 (),则称为的一个极小值(极大值),称为极小值点(极大值点). 2 微分中值定理及其证明 2.1 费马引理 定理1 设函数在点x的某邻域内有定义,且在点可导，若为f的极值点，则必有 费马定理的几何意义:如果将函数的曲线置于直角坐标系,则费马定理具有几何意义表示若在曲线上有一点存在切线,且在 在 取得极值.则这一点处的切线必平行于轴. 2.2 罗尔中值定理及其推广 定理2 如果函数满足：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间内可导；（3）在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点使得 罗尔定理的几何意义:若满足罗尔定理的条件,则在曲线上至少存在一点,使得点处的切线平行于轴(如图
9、), 其中,. 证明 因为,且. （1） 若为常数,则必有，所以,存在,使得;（2） 若不是常数,则非单调,又有在上连续在内可导,根据引理1,存在,使得 .证毕. 定理3 设在内可导,且,其中,则存在使得. 2.3 拉格朗日中值定理及其推广 定理4 如果函数满足(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导;则至少存在一点使等式.证法 利用罗尔中值定理. 定理5(推广一) 设在上连续,在内可导,则存在使得. 定理6(推广二) 若在有限开区间内可导,且与存在,则至少存在一点使得. 2.4 柯西中值定理及其推广 定理7 设函数、满足:(1) 在闭区间上连续;(2) 在开区间内可导,且，则至少存在一
10、点使得. 定理8(洛必达法则一) 若函数f(x)与满足下列条件： （1）在a的某去心领域可导，且； （2）与； （3）. 则.证法 证明洛必达法则要找到两个函数之比与这两个函数的倒数之比之间的联系.柯西中值定理正是实现这种联系的纽带.为了使函数f(x)与在a满足柯西中值定理的条件，将函数f(x)与在a作连续开拓.这不影响定理的证明，因为讨论函数在a的极限与函数f(x)与在a的函数值无关. 2.5 泰勒中值定理定理9 若函数在x的某邻域内存在阶导数，则在该邻域成立 其中.称为在的n次泰勒多项式，称为n次泰勒多项式的余项. 3 利用微分中值定理证明不等式 3.1 罗尔中值定理证明不等式 罗尔中值定
11、理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于轴. 在一般情况下,利用罗尔中值定理很容易证明关于方程的根的问题,但是仅用罗尔中值定理却很难证明不等式,所以在利用罗尔中值定理证明时要综合利用其他的微分中值定理. 例1 (1)如果,试证; (2)求证: . 证 (1)令,在区间上连续,在内可导,应用拉格朗日中值定理,则有,.由于在闭区间上,有,所以. (2)当时,显然等号成立.当时,不妨设.设, 由拉格朗日中值定理得, ,.则有 所以 3.2 利用拉格朗日中值定理证明不等式 拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件下,在曲线上必有一点,使得过该点的切线平行于曲线两端点的
12、连线,正是曲线与弦线之差.拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,当时,本定理即为罗尔中值定理的结论,这表明罗尔中值定理是朗格朗日定理的一个特殊情形.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ,; (2) ;(3) 值得注意的是:拉格朗日中值定理无论对于,还是则是介于与之间的某一定数,而(2),(3)两式的特点,在于把中值点表示成了,使得不论,为何值,总可为小于的某一整数. 例2 当时,函数在其定义域上可导,且为不增函数, , 求证 . 证 用数学归纳法 当时,显然不等式成立. 当时,若均为,或者一个为时,当一个为时, 显然有 .设均大于,不妨设,在应用拉格朗日中值定理可得:.在上再次利用拉格朗日
13、中值定理可得:显然,由题设知, .所以 ,即 . 假设当时不等式成立,即 .取,显然的情况不证而明,所以只考虑,由前面已证的结论有 , 再用归纳假设可得 , 即当以上例子是利用拉格朗日中值定理来证明不等式,有些不等式利用此定理时,方法要灵活些. 3.3 利用柯西中值定理证明不等式柯西中值定理是研究两个函数的变量关系的中值定理,当一个函数(不妨设此函数为)取作自变量自身时它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能证明的不等式一定能用柯西中值定理来证明,反之则不然.下面举例来说明:对例1用柯西中值定理证明,这里仅用第一个小题来说明,其证法如下:证 (1)令,.在区间上连续,在内可导,且在内每一点都不为零,那么由柯西中值定理可得:, 则有 ,.下面与例1中解法同,这里就不再赘述了. 例3 (1)设,对的情况,求证: .
