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1、第1讲 平面向量的概念及线性运算基础题组练1.如图，已知，用，表示，则等于()A.B.CD解析：选C.().故选C.2在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若，其中，R，则等于()A1BC. D解析：选D.由题意易得，所以2，即.故.3(2020广东华附、省实、广雅、深中联考)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是()Aab B0C D解析：选B.等价于非零向量a与b同向共线，即0，故选B.4(2020合肥一模)已知A，B，C三点不共线，且点O满足161230，则()A.123 B123C.123 D123解析：选A.对
2、于A，12312()3()12315，整理，可得161230，这与题干中条件相符合，故选A.5.如图，在ABC中，若，则的值为()A3 B3C2 D2解析：选B.因为，()，所以.又，所以，所以3.故选B.6若|2，则|_解析：因为|2，所以ABC是边长为2的正三角形，所以|为ABC的边BC上的高的2倍，所以|2.答案：27已知O为ABC内一点，且2，t，若B，O，D三点共线，则t的值为_解析：设线段BC的中点为M，则2.因为2，所以，则().由B，O，D三点共线，得1，解得t.答案：8在ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，若AB4，且(R)，则AD的长为_解析：因为B，D，C三点共线，
3、所以1，解得，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N，则，因为ABC中，A60，A的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB4，所以ANAM3，AD3.答案：39.在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解：()ab；()()ab.10经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，求的值解：设a，b，则(ab)，nbma，(ab)maab.由P，G，Q共线得，存在实数使得，即nbmaab，则消去，得3.综合题组练1已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d反
4、向共线，则实数的值为()A1BC1或 D1或解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使ckd(k0)，于是abka(21)b整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，解得1或.又因为k0，所以0，故.2.(一题多解)如图，在ABC中，点D在线段BC上，且满足BDDC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N若m，n，则()Amn是定值，定值为2B2mn是定值，定值为3C.是定值，定值为2D.是定值，定值为3解析：选D.法一：如图，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由n可得，所以，由BDDC可得，所以，因为m，所以m，整理可得3.法二：因为M，D，N三点
5、共线，所以(1).又m，n，所以m(1)n.又，所以，所以.比较系数知m，(1)n，所以3，故选D.3(2020铜川模拟)在ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数和，使得，则_解析：如图，因为点D在边BC上，所以存在tR，使得tt()因为M是线段AD的中点，所以()(tt)(t1)t.又，所以(t1)，t，所以.答案：.4已知P为ABC所在平面内一点，0，|2，则ABC的面积为_解析：因为0，所以()由平行四边形法则可知，以，为边组成的平行四边形的一条对角线与反向，且长度相等因为|2，所以以，为边的平行四边形为菱形，且除BC外的另一条对角线长为2，所以BC2，ABC9
6、0，所以SABCABBC222.答案：25在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xayb(x，y为非零实数)共线，求的值解：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量ce12e2，a2e1e2，b2e12e2，由c与xayb共线，得c(xayb)，所以e12e22(xy)e1(x2y)e2，所以所以所以的值为.6已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.证明：(1)若mn1，则m(1m)m()，所以m()，即m，所以与共线又因为与有公共点B，所以A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，所以()又mn.故有m(n1)，即(m)(n1)0.因为O，A，B不共线，所以，不共线，所以所以mn1.1
