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1、-时间序列的小波分析时间序列Time Series是地学研究中经常遇到的问题。在时间序列研究中，时域和频域是常用的两种根本形式。其中，时域分析具有时间定位能力，但无法得到关于时间序列变化的更多信息；频域分析如Fourier变换虽具有准确的频率定位功能，但仅适合平稳时间序列分析。然而，地学中许多现象如河川径流、地震波、暴雨、洪水等随时间的变化往往受到多种因素的综合影响，大都属于非平稳序列，它们不但具有趋势性、周期性等特征，还存在随机性、突变性以及多时间尺度构造，具有多层次演变规律。对于这类非平稳时间序列的研究，通常需要*一频段对应的时间信息，或*一时段的频域信息。显然，时域分析和频域分析对此均无
2、能为力。20世纪80年代初，由Morlet提出的一种具有时-频多分辨功能的小波分析Wavelet Analysis为更好的研究时间序列问题提供了可能，它能清晰的提醒出隐藏在时间序列中的多种变化周期，充分反映系统在不同时间尺度中的变化趋势，并能对系统未来开展趋势进展定性估计。目前，小波分析理论已在信号处理、图像压缩、模式识别、数值分析和大气科学等众多的非线性科学领域内得到了广泛的应。在时间序列研究中，小波分析主要用于时间序列的消噪和滤波，信息量系数和分形维数的计算，突变点的监测和周期成分的识别以及多时间尺度的分析等。一、小波分析根本原理1. 小波函数小波分析的根本思想是用一簇小波函数系来表示或逼
3、近*一信号或函数。因此，小波函数是小波分析的关键，它是指具有震荡性、能够迅速衰减到零的一类函数，即小波函数且满足：1式中，为基小波函数，它可通过尺度的伸缩和时间轴上的平移构成一簇函数系：其中，2式中，为子小波；a为尺度因子，反映小波的周期长度；b为平移因子，反响时间上的平移。需要说明的是，选择适宜的基小波函数是进展小波分析的前提。在实际应用研究中，应针对具体情况选择所需的基小波函数；同一信号或时间序列，假设选择不同的基小波函数，所得的结果往往会有所差异，有时甚至差异很大。目前，主要是通过比照不同小波分析处理信号时所得的结果与理论结果的误差来判定基小波函数的好坏，并由此选定该类研究所需的基小波函
4、数。2. 小波变换假设是由2式给出的子小波，对于给定的能量有限信号，其连续小波变换Continue Wavelet Transform，简写为CWT为：3式中，为小波变换系数；f(t)为一个信号或平方可积函数；a为伸缩尺度；b平移参数；为的复共轭函数。地学中观测到的时间序列数据大多是离散的，设函数，k=1,2,N; 为取样间隔，则式3的离散小波变换形式为：4由式3或4可知小波分析的根本原理，即通过增加或减小伸缩尺度a来得到信号的低频或高频信息，然后分析信号的概貌或细节，实现对信号不同时间尺度和空间局部特征的分析。实际研究中，最主要的就是要由小波变换方程得到小波系数，然后通过这些系数来分析时间序
5、列的时频变化特征。3. 小波方差将小波系数的平方值在b域上积分，就可得到小波方差，即 (5)小波方差随尺度a的变化过程，称为小波方差图。由式(5)可知，它能反映信号波动的能量随尺度a的分布。因此，小波方差图可用来确定信号中不同种尺度扰动的相对强度和存在的主要时间尺度，即主周期。二、小波分析实例-时间序列的多时间尺度分析(Multi-time scale analysis)例题河川径流是地理水文学研究中的一个重要变量，而多时间尺度是径流演化过程中存在的重要特征。所谓径流时间序列的多时间尺度是指：河川径流在演化过程中，并不存在真正意义上的变化周期，而是其变化周期随着研究尺度的不同而发生相应的变化，
6、这种变化一般表现为小时间尺度的变化周期往往嵌套在大尺度的变化周期之中。也就是说，径流变化在时间域中存在多层次的时间尺度构造和局部变化特征。表1给出了*流域*水文观测站1966-2004年的实测径流数据。试运用小波分析理论，借助Matlab R2012a、suffer 12.0和其他相关软件E*cel、记事本等，完成下述任务：1计算小波系数；2绘制小波系数图实部、模和模方、小波方差图和主周期变化趋势图，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。表1 *流域*水文观测站1966-2004年实测径流数据108m3年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量年份径流量19661.43819742
7、.23519820.77419901.80619981.70919671.15119754.37419830.36719910.44919990.00019680.53619764.21919840.56219920.12020000.00019691.47019772.59019853.04019930.62720012.10419703.47619783.35019860.30419941.65820020.00919714.06819792.54019870.72819951.02520033.17719722.14719800.80719880.49219960.95520040.92
8、119733.93119810.57319890.00719971.341分析1. 选择适宜的基小波函数是前提在运用小波分析理论解决实际问题时，选择适宜的基小波函数是前提。只有选择了适合具体问题的基小波函数，才能得到较为理想的结果。目前，可选用的小波函数很多，如Me*ican hat小波、Haar小波、Morlet小波和Meyer小波等。在本例中，我们选用Morlet连续复小波变换来分析径流时间序列的多时间尺度特征。原因如下：1.1 径流演变过程中包含多时间尺度变化特征且这种变化是连续的，所以应采用连续小波变换来进展此项分析。1.2实小波变换只能给出时间序列变化的振幅和正负，而复小波变换可同时
9、给出时间序列变化的位相和振幅两方面的信息，有利于对问题的进一步分析。1.3 复小波函数的实部和虚部位相差为/2，能够消除用实小波变换系数作为判据而产生的虚假振荡，使分析结果更为准确。2. 绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图是关键中选择好适宜的基小波函数后，下一步的关键就是如何通过小波变换获得小波系数，然后利用相关软件绘制小波系数图、小波方差图和主周期变化趋势图，进而根据上述三种图形的变化识别径流时间序列中存在的多时间尺度。具体步骤1. 数据格式的转化2. 边界效应的消除或减小3. 计算小波系数4. 计算复小波系数的实部、模、模方、方差5. 绘制小波系数实部、模、模方等值线图6. 绘制
10、小波方差图7. 绘制主周期趋势图下面，我们以上题为例，结合软件Matlab R2012a、suffer 12.0、E*cel、记事本等，详细说明小波系数的计算和各图形的绘制过程，并分别说明各图在分析径流多时间尺度变化特征中的作用。1. 数据格式的转化和保存将存放在E*cel表格里的径流数据以时间为序排为一列转化为Matlab R2012a识别的数据格式.mat并存盘。具体操作为：在Matlab R2012a 界面下，单击File-Import Data，出现文件选择对话框Import后，找到需要转化的数据文件本例的文件名为runoff.*ls，单击翻开。等数据转化完成后，单击Finish，出现
11、图1显示界面；然后双击图1中的Runoff，弹出Array Editor: runoff对话框，选择File文件夹下的Save Workspace As单击，出现图2所示的Save to MAT-File:窗口，选择存放路径并填写文件名runoff.mat，单击保存并关闭Save to MAT-File窗口。图1 数据格式的转化图2数据的保存2. 边界效应的消除或减小因为本例中的实测径流数据为有限时间数据序列，在时间序列的两端可能会产生边界效用。为消除或减小序列开场点和完毕点附近的边界效应，须对其两端数据进展延伸。在进展完小波变换后，去掉两端延伸数据的小变换系数，保存原数据序列时段内的小波系数
12、。本例中，我们利用Matlab R2012a小波工具箱中的信号延伸Signal E*tension功能，对径流数据两端进展对称性延伸。具体方法为：在Matlab R2012a界面的mand Window中输入小波工具箱调用命令Wavemenu，按Enter键弹Wavelet Toolbo* Main Menu小波工具箱主菜单界面图；然后单击Signal E*tension，翻开Signal E*tension / Truncation窗口，单击File菜单下的Load Signal，选择runoff.mat文件单击翻开，出现图4信号延伸界面。Matlab R2012a的E*tension Mo
13、de菜单下包含了6种根本的延伸方式Symmetric、Periodic、Zero Padding、Continuous、Smooth and For SWT和Direction to e*tend菜单下的3种延伸模式Both、Left and Right，在这里我们选择对称性两端延伸进展计算。数据延伸的具体操作过程是：Desired Length可以任意选，只要比原始信号长度大，建议在原始信号的根底上加20这样左右对称地延伸10个数据，这里选择默认的64；Dircetion to e*tend下选择Both；E*tension Mode下选择Symmetric；单击E*tend按钮进展对称性两
14、端延伸计算，然后单击File菜单下的Save Tranformed Signal，将延伸后的数据结果存为erunoff.mat文件。从erunoff文件可知，系统自动将原时间序列数据向前对称延伸12个单位，向后延伸13个单位。图3 小波工具箱主菜单图4 径流时间序列的延伸3. 计算小波系数图5 小波变换菜单界面选择Matlab R2012a小波工具箱中的Morlet复小波函数对延伸后的径流数据序列erunoff.mat进展小波变换，计算小波系数并存盘。小波工具箱主菜单界面见图3，单击Wavelet 1-D下的子菜单ple* Continuous Wavelet 1-D，翻开一维复连续小波界面，
15、单击File菜单下的Load Signal按钮，载入径流时间序列erunoff.mat图5。图5的左侧为信号显示区域，右侧区域给出了信号序列和复小波变换的有关信息和参数，主要包括数据长度Data Size、小波函数类型Wavelet：cgau、shan、fbsp和cmor、取样周期Sampling Period、周期设置Scale Setting和运行按钮Analyze，以及显示区域的相关显示设置按钮。本例中，我们选择cmor (1-1.5)、取样周期为1、最大尺度为32，单击Analyze运行按钮，计算小波系数。然后单击File菜单下的Save Coefficients，保存小波系数为cerunoff.mat文件。4. 计算Morl
