鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解..

《鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解..》由会员分享，可在线阅读，更多相关《鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解..（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数X总头数）三（每只兔的脚数-每只鸡的脚数） 二兔数；总头数-兔数二鸡数。或者是（每只兔脚数X总头数-总脚数）三（每只兔脚数-每只鸡脚数） 二鸡数；总头数-鸡数二兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-2X36）三（4-2） =14 （只）兔；36-14=22 （只）鸡。解二 （4X36T00）三（4-2） =22 （只） 鸡；36-22=14 （只）兔。（答略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚 数多时，可用公式

2、（每只鸡脚数X总头数-脚数之差）三（每只鸡的脚数F每只兔的 脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数或（每只兔脚数X总头数+鸡兔脚数之差）三（每只鸡的脚数+ 每只免的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数 多时，可用公式。（每只鸡的脚数X总头数+鸡兔脚数之差）三（每只鸡的脚数+ 每只兔的脚数）二兔数；总头数-兔数二鸡数。或（每只兔的脚数X总头数-鸡兔脚数之差）三（每只鸡的脚数+ 每只兔的脚数）二鸡数；总头数-鸡数二兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公 式：（1只合格品得分数X产品总数-实得总分数）三（每只合格

3、品得 分数+每只不合格品扣分数）二不合格品数。或者是总产品数-（每只 不合格品扣分数X总产品数+实得总分数）三（每只合格品得分数+ 每只不合格品扣分数）二不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产 一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了 1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合 格？”解一 （4X1000-3525）三（4+15）=475219=25（个）解二 1000- （15X1000+3525）三（4+15）= 1000-18525219=1000-975=25 （个）（答略）“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”

4、运到完好无损者每只给 运费XX元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本XX元。它的 解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔 各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和）2 （每只鸡兔脚数和）+ （两次总脚数之差）2（每只鸡兔脚数之差）22=鸡数；（两次总脚数之和）2（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之 差）2（每只鸡兔脚数之差）22=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则 共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解 (52+44) 2 (4+2) + (52-44) 2 (4-2)22=20三2=10 （只）（52+44）三（4+

5、2） - （52-44）三（4-2）三2兔（答略）=12三2=6（只）鸡兔同笼目录 1 总述 2 假设法 3 方程法 一元一次方程 二元一次方程4 抬腿法 5 列表法 6 详解 7 详细解法基本问题 特殊算法 习题8 鸡兔同笼公式1 总述鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在 1500年前，孙子算经 中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼， 上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是： 有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头,从下面数，有 94 只脚。问笼中各有几只鸡和兔？算这个有个最简单的算法。（总脚数-总头数X鸡的脚数）三（兔的脚数-鸡的脚

6、数）=兔的只数（9435X2）三2=12（兔子数）总头数（35）兔子数（12）二鸡数23)解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数X2 只，由于鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2 就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。2 假设法假设全是鸡：2X35=70 （只）鸡脚比总脚数少： 9470=24 （只）兔：242（4-2）=12 （只）鸡： 3512=23（只）假设法（通俗）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用两 只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只） 兔：2422=12

7、（只） 鸡： 35-12=23（只）3 方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有（35-x）只。4x+2（35-x）=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24 三 2 x=1235-12=23(只)或 解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只) 答：兔子有12只，鸡有23只。注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡 兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94(x+y=35) X 2=2x+2y=70(2x+2y=70)-

8、(2x+4y=94)=(2y=24)y=12把 y=12 代入( x+y=35)x+12=35 x=35-12 （只） x=23 （只）。答：兔子有12只，鸡有23 只4 抬腿法法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起 2 只脚，还有 94 除以 2=47 只脚。笼 子里的兔就比鸡的头数多 1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就 是兔子的只数。法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下9435X2=24只脚,这时鸡 是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上， 所以有24三2=12只兔子，就有35 12=23只鸡5 列表法腿数鸡（只数）兔（只数）6 详解中国古代孙子算经共三卷，成书

9、大约在公元5 世纪。这本书浅显 易懂，有许多有趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 题目中给出雉兔共有 35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来， 看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔 子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是35X2=70 （只）比题中所说的94只要少94-70=24 （只） 现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2 只，即 70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2， 2, 2,一直继续下去，直至增加24,因此兔子数：24三2=1

10、2（只）， 从而鸡有 35-12=23（只）。我们来总结一下这道题的解题思路：如果先假设它们全是鸡,于 是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚,把这样得到的脚 数与题中给出的脚数相比较,看看差多少,每差2只脚就说明有1 只 兔,将所差的脚数除以2,就可以算出共有多少只兔。概括起来,解 鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数二（实际脚数-每只鸡脚数X鸡兔总 数）三（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。 我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x,鸡的数量为y 那么：x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：兔子有12 只, 鸡有 23 只。7 详细解法基本问题鸡兔

11、同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在孙子算经 中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题,或者用解它的典型 解法-假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头, 244只脚,鸡和兔 各有多少只解：我们设想,每只鸡都是金鸡独立,一只脚站着；而每只兔子都用 两条后腿，像人一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是244三2=122 （只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。 因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），有34只兔子.当然鸡就有54只。答：有兔子34只,鸡54只。 上面的

12、计算，可以归结为下面算式：总脚数三2-总头数=兔子数.总头数-兔子数二鸡数特殊算法上面的解法是孙子算经中记载的。做一次除法和一次减法，马上 能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别 是 4 和 2,4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时， 脚 数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们对这类 问题给出一种一般解法.还说例1.如果设想88只都是兔子，那么就有4X88只脚，比244只脚多了88X4-244=108 （只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡（88X4-244）三（4-2）= 54 （只）.说明我们设想的88只兔子中，有54只

13、不是兔子。而是鸡.因此可以 列出公式鸡数二（兔脚数X总头数-总脚数）三（兔脚数-鸡脚数）.当然，我们也可以设想88只都是鸡,那么共有脚2 X 88=176 （只）， 比 244 只脚少了244-176=68（只） .每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，682=34 （只）.说明设想中的鸡,有34只是兔子，也可以列出公式兔数二（总脚数-鸡脚数X总头数）三（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去 减，就知道另一个数。假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为假设 法.现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.1

14、1元，两种铅笔共买了16 支，花了2.80 元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以分作为钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚，一种兔子 有19只脚，它们共有16个头，280只脚。现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公 式，就有蓝笔数=(19 X 16-280)三(19-11)=24 三 8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13 支红铅笔和3 支蓝铅笔。对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚数19与1 1之和是30.我们也可以设想16只中，8只是兔子,8只是 鸡,根据这一设想，脚数是8X（11+19）=240 （支）比 280 少 40.40

15、2（19-11）=5 （支）就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡（蓝铅笔）数是3.30 X 8比19 X 16或1 1 X 16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠 心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，兔数为 10,鸡数为 6，就有脚数19X 10+11X 6=256.比 280 少 24.242（19-11）=3,就知道设想6只鸡,要少3只。要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.下面再举四个稍有难度的例子。例 3 一份稿件，甲单独打字需6 小时完成.乙单独打字需10小时完成， 现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7 小时。甲 打字用了多少小时？解：我们把这份稿件平均分成30 份（30是 6 和10的最小公倍数），甲每小时打30三6=5 （份）乙每小时打30三10=3 （份）.现在把甲打字的时间看成兔头