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1、第四讲 排列组合一、 分类计数原理与分步计数原理：1、 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法；在第2类方案中有n种不同的方法，则完场这件事共有m+n种不同的方法。2、 分步乘法计数原理：完成一件事须要两个步骤，在第1步有m种不同的方法；在第2步有n种不同的方法，则完场这件事共有种不同的方法。二、 排列数：1、 组合：中取个，记作（1）（2） 阶乘：（3）（4）2、 排列：（1）全排列：将个数全排列，记（2）（3）中取个，并将个数全排列：三、二项式定理：1、二次项系数之和：2、绽开式的第项：例题1：的绽开式中的常数项是（ ）A、6 B、4 C、-4 D、-6
2、例题2：在二项式的绽开式中，含的项的系数是（ ）A、-20 B、-3 C、6 D、20随堂训练：1、 在二项式的绽开式中，含的项的系数是（ ）A、 -10 B、10 C、-5 D、52、 的绽开式中的常数项是（ ）A、5 B、-5 C、10 D、-103、 在二项式的绽开式中，含的项的系数是（ ）A、45 B、90 C、135 D、2704、 已知关于的二项式的绽开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则的值为（ ）A、1 B、 C、2 D、5、 的绽开式中，的系数等于 。6、 的绽开式中各项系数的和为243，则该绽开式中常数项为 。7、 绽开式中常数项是70，则 。8、若绽开式中常数项为-
3、40，则 。四、排列组合题型汇总（一）解决排列组合综合性问题的一般过程如下:（1）仔细审题弄清要做什么事（2）怎样才能完成所要做的事,即实行分步还是分类,或分步与分类同时进行,确定分多少步与多少类。（3）确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少与取出多少个元素.（4）解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必需驾驭一些常用的解题策略（二）题型演练：1、特别元素和特别位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特别要求,应当优先支配,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有 然后排首位共有 最终排其
4、它位置共有 由分步计数原理得位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先支配特别元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满意特别位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？2、相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原
5、理可得共有种要求某几个元素必需排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将须要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要留意合并元素内部也必需排列.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 3、不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场依次有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，其次步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同依次共有 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两
6、端练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.假如将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，则不同插法的种数为 304、定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人依次肯定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素依次肯定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是： (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。 思索:可以先让甲乙丙就坐吗定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题:10人身高
7、各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高渐渐增加，共有多少排法？5、重排问题求幂策略例5.把6名实习生安排到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生安排到车间有 7 种分法.把其次名实习生安排到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为探讨对象，元素不受位置的约束，可以逐一支配各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地支配在m个位置上的排列数为种练习题：1 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.假如将这两个节目插入原节目单中，则不同插法的种数为 42 2. 某8层大楼一楼电梯上来
8、8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法6、环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从今位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！ 一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.假如从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 1207、多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特别元素有种,再排后4个位置上的特别元素丙有种,其余的5
9、人在5个位置上随意排列有种,则共有种一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段探讨. 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现支配2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，则不同排法的种数是 346 8、元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种安排方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n
10、个元素排成一排的n-1个空隙中，全部分法数为练习题：1 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ 2 .求这个方程组的自然数解的组数 9、正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？解：这问题中假如干脆求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有。再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有有些排列组合问题,正面干脆考虑比较困难,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中
11、淘汰.练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种10、平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 解: 分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,其次步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有种分法。平均分成的组,不管它们的依次如何,都是一种状况,所以分组后要肯定要除以(为均分的组数)避开重复计数。练习题： 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（）
