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1、第一章实数和数列极限第八节基本列和收敛原理目的：在本节中，我们来推导一般的 数列收敛的必要充分条件，而不 再限于单调数列。一 、基本列或 Cauchy 列定义1.9设a 是一实数n列。对于任意给定的0，若存 在正整数n，使得凡是m, nN 时，都有I a - a 匕mn，则称数列 a 是一个基本列或nCauchy 列。粗略地说，基本列的特征是 只要数列中有两个项充分的靠后，而不论它们的相对位置如何， 它们之差的绝对值便可以小到事 先任意给定的程度。在定义 1.9 中，显然只需考虑 m n的情形。我们可以令 m = n + p。 这样一来，我们可以 把基本列的定义等价地叙述为：如果对于任意给定的
2、6 0 , 存在正整数 N ，使得凡是 n N 时，都有I a - a 10，对任意大的正整数 N ，总存在正整数m , nN，使得NNI a - a AmNnN0 .或者若存在某00，无论正整 数 N 多么大， 总存 在 正整数 n N 和正整数 p ，使得NNI a - aINnN + PNnN0 -，存在和a ，满足mIek0，或者若存在某s00nk两个子列anmkkk = 1,2,I a - ao二 、基本列或 Cauchy 列举例 我们来看几个列子。例1设1 q | 1 ,求证qn是基本列。证明我们已经知道，当1 q | 0，存在 正整数N，凡是n N时，都有| q |n N 时，I
3、 qn+p qn 1=1 q In I qp 11M q In (I q Ip +1)W 21 q I e 0所以(-1)n 不是基本列。（由此可以看出，验证一个数 列不是基本列比验证一个数列不 收敛就容易的多，这又是一个方 便的进步。）例3=1+22则a 是基本列。n证明由于对任何p G N* ,0 0，取N = L +1，则当n N时，都有|a _ a |V ，n + pn ，对一切p e N*成立，所以an是基本列。（验证一个数列是基本列比 验证一个数列收敛需要知道的条 件少，这又是一个方便之处。）x x x例令役=1 + 2. +才, 若 Xn是有界数列，则an是基本列。例4当a n
4、+1 n + 2n + p n + p，1对 0 = 2，任意正整数N，取p = N +1， n =(N +1)， 则有NNa - a p = 1nN+pNnNn + p 2，NN所以an不是基本列。三、 基本列与收敛列的关系定理1如果a是收敛的数n列，则an是基本列。（可先从直观的想象出来。）证明 因为 an 是收敛的lim a 二 ann fg因此，对于任意给定的 0, 存在正整数n，当m, n N时， 便有|ama lI a 一 a 1 N时，可得I a a I=I a a + a a Im n mnI a a I + I a a Imn , 存在正整数N，当m, n N时， 便有I a
5、 - a l ，存在一个正整数I，其中k N,使得laika lkN,于是有I a 一 a l in k所以，当nN时，便有I a - a l=l a - a + a - a Inn i ikkM a a I + I a a Inikik + = 戈 2,lim a = a这正说明n十n。定理3设an是基本列，则an是有界的。（可先从直观的想象出来。）证明由于an是基本列，因此，对 0 =1而言，可以找 到一个正整数 N ，当 n N 时， 便有I a a 匕=1nN+10，由此知I a 11 a - a I + I a InnN+1N+1 1+1 a I （、N+1,（ nN ）再令M =
6、max（I a I,I a12,I aI,1+ I a I），NN可见I a I i、i3 （ 32 ）使得a - ai ,如23定理 1.11（列紧性定理） （BolzanoWeierstass 定理） 从任何有界的数列中必 可选出一个收敛的子列。证明设a是一个有界的n数列。根据引理 1.1，从中可以 取出一个单调的子列ai,这个 n 子列当然也是有界的，利用单调 有界原理得知， ai 是一个收敛 n的数列。（用闭区间套定理，也可以证 明列紧性定理。利用列紧性定理 容易证明单调有界原理。）五、Cauchy 收敛原理定理 1.12 一个数列收敛的必要充分条件是它是基本列。证明 必要性。已由定理
7、 1 完成。充分性。设an是一个基本 列。由定理 3 ， an 是有界的， 再根据定理 1.11，从有界数列 an 可选出一 个 收敛的子列 a，由定理2,得，a 是收 n 敛的。（用闭区间套定理，也可以证 明 Cauchy 收敛原理；利用 Cauchy 收敛原理也可以证明单调有界原 理。）定 理 1.12 又 称为数 列 的 Cauchy 收敛原理，是一个在理论 上非常重要的定理，在数学分析 的全部内容中，有着各式各样的 变种。它告诉我们，当我们来判 断一个数列是否收敛时，只需通 过数列的自身，而无需求助于另 外的数。还应指出的是，单调有 界原理， BolzanoWeierstass 定理和
8、 Cauchy 收敛原理都是实 数系统连续性的另外三种表现形 式。其实可以证明它们是等价的。Cauchy 收敛原理，我们以后 会多次方便的用到它。Cauchy 收敛原理有多种证明 体系。Cauchy收敛原理说明实数 空间是完备的。由此而来，可证 明许多相关距离空间的完备性。在其它距离空间中，Cauchy 收敛原理不一定成立，不完备的 距离空间也是存在的。六、利用 Cauchy 收敛原理 判定数列的收敛性（熟记一些已知的基本列和非基 本列及其证明过程，作为标准，对做这类题目是需要的。) 例 1 设sin 2xsin3xsin nxa + +n 2(2 + sin 2 x) 3(3 + sin 3
9、 x)n( n + sin nx)n 2,3,x e R，。求证a 收敛。n证明显然1 sin ix 1-1,I i + sin ix l i一 I sin ix l i 一 15i 2,3, 考察I a 一 an+p nIIsin( n +1) x(n + 1)(n +1) + sin( n +1) x+sin( n + p) x(n + p)(n + p) + sin(n + p)x11+ .+(n +1) n(n + p)(n + p) -11 1 1- v ,n ( n + p ) n由此不等式，即刻得到an是基本列，根据 Cauchy 收敛原理 得出，a 收敛。n例 2 设数列I a a I + I a a I + + I a a 12132n n1有界，求证 an 收敛。n证明 设d =1 a a I + I a a I + + I a a I, n2132n n 1n = 2,3,5显然，d 是递增的且有界，n根据单调有界原理，得出d 是收敛的，再由 Cauchy 收 n敛原理，得出d是基本列；n于是，对Ve 0 , 3正整数N , 当n N时，有Id d In + pn=1 a a I + I a a I + + I a a lv
