谱估计实验报告

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1、第四章上机作业实验报告实验题目1、假设一平稳随机信号为x(n) = 0.8x(n-1)+ w(n)，其中w(n)是均值为0,方差 为1的白噪声，数据长度为1024。(1) 、产生符合要求的w(n)和x(n)；(2) 、给出信号x(n)的理想功率谱；(3) 、编写周期图谱估计函数，估计数据长度N=1024及256时信号功率谱，分 析估计效果。(4) 、编写Bartlett平均周期图函数，估计当数据长度N=1024及256时，分段 数 L 分别为 2 和 8 时信号 x(n) 的功率谱，分析估计效果。2、假设均值为0，方差为1的白噪声w(n)中混有两个正弦信号，该正弦信号的 频率分别为100Hz和

2、110Hz，信噪比分别为10dB和30dB，初始相位都为0,采 样频率为 1000Hz。(1) 、采用自相关法、 Burg 法、协方差法、修正协方差法估计功率谱，分析数 据长度和模型阶次对估计结果的影响(可采用 MATLAB 自带的功率谱分析函 数)。(2) 、调整正弦信号信噪比，分析信噪比的降低对估计效果的影响。报告内容一、实验题目一1、问题分析(1)、w(n)与x(n)的产生w(n)产生：均值为0，方差为1白噪声w(n)利用matlab中randn函数即可。表达如下： w=sqrt(1)*randn(1,N); sqrt( 1)表示方差为 1。x(n)产生：第一种思路：利用迭代的方法由x(

3、n) = 0.8x(n-1)+ w(n)，其中x(0) = w(0)，然后利用上述公式依次向后 递推即可得x(n)。matlab代码实现如下，注意到matlab中元素下标都是从1开 始的：x=w(1) zeros(1,N-1);for i=2:Nx(i)=0.8*x(i-1)+w(i);end此方法简单，可以很容易地产生所需数目的数据。 第二种思路：利用卷积的方法对线性时不变系统，输入输出满足卷积关系：x(n) = w(n) *h(n)。由x(n) = 0.8x(n-1)+ w(n)，可得H(z) =1，从而可得系统的冲击响应：1 - 0.8 z -1h(n) = 0.8nu(n)。然后进行卷

4、积运算即可。Matlab代码实现如下：n=1:N;h(n) = (0.8)(n-l);%要注意n-1不是n,因为冲击响应是从0开始的y=conv(w(n),h(n) ；%共 2*N-1 项，取前 N 项即可需注意：实际h(n)是从0开始的，matlab处理元素从下标1开始，因此，公式中应 是n-1不是n。而且，计算完成后卷积结果是为2*N-1项，取前N项即可。 两种方法结果为方便观察，令 N=5 时，实验结果如下：x =0.6232 1.2976 1.9790 0.5911 0.6849y =0.6232 1.2976 1.9790 0.5911 0.6849 0.3437 0.0131 -0

5、.2978 0.0868取卷积的前N项，可以看出两种方式结果是相同的。(2)、信号x(n)的理想功率谱系统为AR模型，理想功率谱为：Pxx(ejw) =b 2 H(ejw)2 = H(ejw)|2因此，对h(n)进行傅里叶变换后，取模的平方即可。3)、周期图法谱估计e-jwnn=0根据周期图法谱估计原理：p (ejw)=丄七-x(n)xxN先对观测数据x(n)进行傅里叶变换，后平方，最后除以N即可。4)、Bartlett 平均周期图谱估计为了减小估计的方差，将数据分为L段，则每段有M=N/L个数据，分别用 周期图法进行估计后求平均。具体公式如下：戈 I (n)e -jwnin=0将得到的L个周

6、期图进行平均，作为信号x(n)的功率谱估计，公式如下:p (ejw)=才 I (w)xxL ii=0经过平均处理，可使估计方差减小。2、实验结果与分析图 3 信号的理想功率谱冬pdd独牌s从图中可以看出，理想功率谱是平滑的。下图 4 是功率谱的分贝形式：缶3qp 冬:-ds020040060080010001200图4信号的理想功率谱(dB)-4-6(3) 、周期图法谱估计当数据长度 N 为 1024 时，实验结果如下图5 所示：xdM-s当数据长度 N 为 256 时，实验结果如下图 6 所示：1201111 i-256100 -80 -6040201200对比图如下图7：150015005

7、001000频率f ( Hz)1024201024406040频率f ( Hz)20xdM-s2002562020-OHL O40-256S3OH5050xdM-s频率f ( Hz)频率f ( Hz)图 7N=1024/256 周期图谱估计对比从以上结果可以看出N=1024时频谱分辨率明显要高于N=256时的频谱分辨 率。（4）、Bartlett 平均周期图谱估计当数据长度N=1024及256时，分段数L分别为2和8时信号x（n）的功率谱为便于对比，将结果表示如下图8一幅图中：图 8 Bartlett 平均周期图谱估计 结果分析：1、首先数据的长度对分辨率有影响，数据长度 N=1024 时的频

8、谱分辨率比 N=256 时的频谱分辨率高；2、分段数L对频谱的分辨率和平滑性（方差）也有很大影响。当数据数目N 一定时， L 加大，每一段的数据量 M 就会减小，因此估计方差减小，曲线越平滑，但此时偏移加大，分辨率降低，即估计量的方差和分辨率是一对 矛盾，二者的效果可以通过合理选取L互换。3、收获体会1、通过实验，对经典谱估计法有了更深刻的理解，根据课堂中经典谱估计 的理论，掌握了周期图法，分段周期图法的具体实现，更加深刻地体会到了理论 的原理以及这些估计方法的优缺点，对这些估计方法获得了真正的理解；2、很小的细节也要注意，也需要认真思考，如信号x(n)的产生，通过两种 方法的对比，对卷积有了

9、更深入的认识，通过不同方法得到相同结果，学会了从 不同的角度分析问题；3、对 matlab 掌握更好，如自己利用子函数调用的方式实现了对不同分段平 均周期图法的实现。函数传递参数分段数L即数据x(n)，子函数代码如下：function Px_L=Px_mean(L,x)N=length(x);%计算数据长度M=N/L;%每段有 M 个数据tmp=zeros(1,M); %初始化中间变量，用于保存每段观测数据的功率 for i=1:L%观每段有 M=N/L 个数据for j=1:M y(i,j)=x(j+i*M-M); %取出 L 段数据 endxk=fft(y(i,:),M); %fft 变换

10、Ix=(abs(xk).人2)./M; %计算每段的功率Px=tmp+Ix; %累加每段的功率endPx_L=Px./L; %平均功率谱二、实验题目二1、问题分析 (1)、信号产生首先根据题目给定的信噪比计算正弦信号的幅度，产生所需的正弦信号后与 噪声信号叠加形成观测信号。若正弦信号幅度为A，则其功率为：S =；2信噪比：SNT = lOlog -，其中P为噪声功率；10 p由以上公式便可计算出两个正弦信号的幅度。(2)利用MATLAB功率谱分析自相关法 首先由观测数据估计出其自相关函数，再解该方程得到模型参数，进而求得 信号的功率谱，一般利用 Levenson-Durbin 递推法求解。ma

11、tlab 中的自相关法谱估计如下：pyulear(xn,p,nfft,fs);其中，xn是输入观测信号，p是阶数，nfft是观测数据两倍长度的频率采 样点， fs 是采样频率。Burg 法Burg 法直接利用观测数据计算 AR 模型参数，适用于观测数据长度较短的 时候。matlab 中 Burg 法谱估计如下：pburg(xn,p,nfft,fs);其中，pxl是返回的功率谱，fl是返回的频率分布；xn是输入观测信号，p 是阶数，nfft是观测数据两倍长度的频率采样点，fs是采样频率。协方差法 协方差法利用到的数据完全一致，相对自相关法没有数据为 0 的假设。 matlab 中协方差法谱估计如

12、下：pcov(xn,p,nfft,fs);其中，pxl是返回的功率谱，fl是返回的频率分布；xn是输入观测信号，p 是阶数，nfft是观测数据两倍长度的频率采样点，fs是采样频率。修正协方差法 修正协方差法使用到了前向和后向预测误差对模型参数进行估计。 matlab 中的修正协方差法谱估计如下：pmcov(xn,p,nfft,fs);其中，pxl是返回的功率谱，fl是返回的频率分布；xn是输入观测信号，p 是阶数，nfft是观测数据两倍长度的频率采样点，fs是采样频率。2、实验结果与分析（1）数据长度的影响：将四种方法产生的功率谱显示在了一幅图中。L=1024时, 如下图9所示。L=256时，

13、结果如下图10所示。分析：对比两幅图可以发现：随着数据长度的减小功率谱的分辨率在逐渐降低。即数据长度越大，功率谱分辨率越高，数据长度越小，功率谱分辨率越低。(2)模型阶次的影响：当阶次发生变化时，如p=100时结果如图11所示，p=30时，结果如图 12 所示。自相关法功率谱估计15001000500080100120140协方差法功率谱估计曲均法功率谱估计频率f ( Hz)xdH-sxds频率f ( Hz) 自相关法功率谱估计频率f ( Hz) 协方差法功率谱估计-工10050I .0.I-I.)100120140频率f ( Hz)修正协方差法功率谱估计100120140频率f ( Hz)

14、burg法功率谱估计修正协方差法功率谱估计分析：对比阶次p=100与阶次p=30时的结果可以看出，当阶次太小时，分辨率比较低，无法估计出小信噪比的信号，即小信噪比信号无法在图中观察出来。(3)信噪比的影响：将110Hz正弦信号信噪比降低到10,结果如下图13所示:图 13SNR1=10 SNR2=10对比发现：变化最明显的是自相关法和Burg 法,当两个正弦信号信噪比相 差不多时，自相关法的估计效果还是较好的；而 Burg 法效果很差，每次实验的 结果不同，经常分辨不出一个正弦频率，出现了谱峰偏移和谱线分裂的现象。而对于自相关法，并不适合于分辨信噪比相差较多的两个正弦信号混合的 情况，结果会谱峰偏移，出现观测不到一个正弦信号的频率。如修改信噪比 SNR1=30 SNR2=10的情况，结果如下图14所示，仍然分辨不出信噪比较低的信号, 即 110Hz ，SNR2=10 的正弦信号。150010005008010012