《等差数列的前n项和》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等差数列的前n项和（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、等差数列的前n项和一、教学目标1知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。2. 过程与方法:通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个规律；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。3情态与价值：培养学生利用学过的知识解决与现实有关的问题的能力。二、教学内容分析本节课教学内容是普通高中课程标准
2、实验教科书数学（5）（北师大版）中第一章的第二节“等差数列的前n项和”（第二课时）本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法三、学生学习情况分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒
3、序相加法，这是学生学习的障碍四、设计思想根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习五、教学重点和难点重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式；学会用公式解决一些实际问题，体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系。难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得，灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题六、教学过程设计（一）创设情景等差数列在现实生活中比较常
4、见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+（50+51）=10150=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，n，前100项的和的问题。 今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。探索研究 我们先来看看人们由高斯求前100个正整数的方法得到了哪些启发。人们从高斯那里受到启发，于是
5、用下面的这个方法计算1，2，3，n，的前n项的和：由 1 + 2 + + n-1 + n n + n-1 + + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ +（n+1）+（n+1）可知上面这种加法叫“倒序相加法” 请同学们观察思考一下：高斯的算法妙在哪里？ 高斯的算法很巧妙，他发现了整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n项和的。等差数列求和公式的教学 一般地，称为数列的前n项的和，用表示，即1、 思考：受高斯的启示，我们这里可以用什么方法去求和呢？思考后知道，也可以用“倒序相加法”进行求和。我们用两种方法表
6、示： 由+，得 由此得到等差数列的前n项和的公式对于这个公式，我们知道：只要知道等差数列首项、尾项和项数就可以求等差数列前n项和了。2、 除此之外，等差数列还有其他方法（读基础教好学生要介绍）当然，对于等差数列求和公式的推导，也可以有其他的推导途径。例如： = = = = 这两个公式是可以相互转化的。把代入中，就可以得到引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道和n，不同点是
7、第一个公式还需知道，而第二个公式是要知道d，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。公式运用（课本52页练习1、2）1、 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和S. 例题分析例1、2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？、 先阅读题目；、 引导学生提取有
8、用的信息，构件等差数列模型；、 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2001年起各年投入的资金，其中 ， d=50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为 （万元）答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例2已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？ 引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程。若要确定其前n项求
9、和公式，则要确定的关系式，从而求得。分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与d的二元一次方程，由此可以求得与d，从而得到所求前n项和的公式. 解：由题意知 ， 将它们代入公式 得到 解这个关于与d的方程组，得到=4，d=6， 所以另解： 得 所以 -，得， 所以 代入得： 所以有 例题评述：此例题目的是建立等差数列前n项和与解方程之间的联系.已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.例3 已知数列的前n项为，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据 与 可知，当n1时， 当n=1时， 也满足式. 所以数列的通项公式为. 由此可
10、知，数列是一个首项为，公差为2的等差数列。 这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和，可求出通项（n1） 用这种数列的来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出的.思考：结合例3，思考课本51页“探究”：一般地，如果一个数列的前n项和为其中p、q、r为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？引导分析得出：观察等差数列两个前n项和公式，和，公式本身就不含常数项。所以得到：如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.例4 已知等差数列的
11、前n项和为，求使得最大的序号n的值. 分析：等差数列的前n项和公式可以写成，所以可以看成函数当x=n时的函数值.另一方面，容易知道关于n的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n的值. 解：由题意知，等差数列的公差为，所以 = 于是，当n取与最接近的整数即7或8时，取最大值.（三）设置典例，促进学生对公式的应用（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握练习1 已知等差数列an的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.练习2 等差数列an中，a1= 4， a8= 18， n=8，求公差d及前n项和Sn.选做题 已知函数f（x）= ，则f（-5）+f（-4）+f（
12、0）+f（5）+f（6）的值为 设计意图 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念（五）回顾反思，深化知识组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化1.从特殊到一般的研究方法；2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；3. 前n项和公式的函数意义4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式；知识链接（六）布置作业1.课本P52习题23，第1题（1）（
13、3），第2题（3）（4），第5题2.探索题（1）数列的前n项和= + + + + ，求；（2）若公差为d(d0）的等差数列中，= + + + ，你能否由题（1）的启发，得到的表达式？七、教学反思“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了
