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1、北京市汇文中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）一选择题1. 已知，则直线AB的斜率为（ ）A. 2B. 1C. D. 不存在【答案】A【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB的斜率.【详解】由，可得.故选：A.2. 圆心为且过点的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案【详解】圆心为（3，2）且过点A（1，1），圆的半径，则圆的方程为（x+3）2+（y2）225故选D【点睛】本题考查圆的方程的求法，两点间距离，是基础的题型3. 焦点在轴上的椭圆的离心率是，则实数的值是（ ）A. B.
2、 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得，则，再由离心率是，可得，从而可求出实数的值详解】解：由题意可得，则，因为，所以，所以，解得，故选：A4. 已知圆，直线，则直线被圆所截的弦长为（ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】设直线与圆交于两点，从点向直线作垂线，垂足为，连结，由点到直线的距离公式，可求出，再结合，可求出答案.【详解】设直线与圆交于两点，从点向直线作垂线，垂足为，连结，则，.故选：C.5. 已知抛物线的焦点为F，是C上一点，则=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出【详解】由抛物线可得
3、，准线方程，是上一点，解得故选：6. 过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先设直线点斜式，再根据圆心到直线距离小大于半径得斜率范围，最后根据斜率与倾斜角关系得结果.【详解】由题意得直线斜率存在，设为k，则直线：，由直线与圆有公共点得，从而倾斜角取值范围是，选D.【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线倾斜角与斜率关系，考查基本求解能力.7. 已知抛物线的动弦的中点的横坐标为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，可得，由抛物线的定义可知，再结合，可求出的最大值.【详解】设，则.由抛物线的定义可
4、知，由图可知，即，当且仅当直线过焦点F时，取得最大值6.故选：B.8. 直线l：ax+ y1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：a1，SAOB=；a1，|AB|CD|；a1，SCOD.其中，所有正确结论的序号是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】当a1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论正确；当a1时，反证法可得结论错误；由三角形的面积公式可得SCODsinAOC，可得结论正确【详解】解：当a1时，把x0代入直线方程可得ya，把y0代入直线方程可得x，SAOBa，故结论正确；当a1时，|AB|，故|AB
5、|2a2，直线l可化为a2x+ya0，圆心O到l的距离d，故|CD|24（1d2）4（1），假设|AB|CD|，则|AB|2|CD|2，即a24（1），整理可得（a2）24（a2）+40，即（a22）20，显然矛盾，故结论错误；SCOD|OA|OC|sinAOCsinAOC，故a1，使得SCOD，结论正确故选：C【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，涉及基本不等式和三角形的面积公式，属中档题二填空题9. 已知直线与直线平行，则实数【答案】1或-1【解析】【分析】直接利用两直线平行斜率相等列方程求解即可.【详解】时，不合题意；时，由直线与直线平行可得直线斜率相等，即，故答案为：1或-1.10. 双
6、曲线的两条渐近线的方程为_.【答案】【解析】【分析】令解得结果【详解】令解得两条渐近线的方程为【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.11. 已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数_；直线的方程为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】易知直线的斜率存在，设斜率为，由与圆相切，可建立等式关系，即可求出的方程，再由直线与直线垂直，可建立斜率关系，即可求出的值.【详解】由题意，圆的圆心为，半径为.若直线的斜率不存在，则直线为，此时与圆不相切，不符合题意；若直线的斜率存在，设斜率为，则直线为，则，解得，即直线为，因为直线与直线垂直，所以，即.故答案为：；.
7、12. 已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为_.【答案】1【解析】分析】求出双曲线的，可设，可得双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到【详解】双曲线的，则可设，设双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，故答案为：113. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，为直线上的点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】【详解】过点作轴于点，如图所示：由是底角为的等腰三角形得，所以，所以，所以，即离心率，故答案为【 方法点睛】本题主要考椭圆的定义及离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直
8、接求出，从而求出; 构造的齐次式，求出; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; 根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据建立关于焦半径和焦距的关系从而找出之间的关系，求出离心率14. 已知点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则【答案】【解析】分析】设，根据条件结合距离公式求出，即可求得.【详解】由已知可得，设，则，解得，.故答案为：.三解答题：15. 已知圆C：x2+y2+10x+10y+34=0.（）试写出圆C的圆心坐标和半径；（）圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程；（）过点P(0,2)的直线交（）中圆D于E，F两点，求弦EF的中点M的轨迹
9、方程.【答案】（）圆心坐标为(-5,-5)，半径为4；（）(x+5)2+(y-12)2=169；（）x2+y2+5x-14y+24=0.【解析】试题分析：（）将圆的方程化为标准方程，即可得到圆心坐标和半径；（）设圆的半径为，圆心纵坐标为，由已知条件列出方程，求出与，由此能求出圆的方程；（）设，根据列出且，化简可得到的轨迹方程.试题解析：（）将圆的方程改写为(x+5)2+(y+5)2=16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. （）设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)2+52，解得r=13.此时圆心纵坐标b=r-1=12.所以圆D的方程为(x+5)2+(y-12)2=1
10、69. （）设M(x,y)，依题意有DMPM.即（x0且x-5），整理得x2+y2+5x-14y+24=0（x0且x-5）当x=0时，y=12，符合题意，当x=-5时，y=2，符合题意.故所求点M的轨迹方程为x2+y2+5x-14y+24=0.点睛：求点的轨迹方程的基本步骤是：建立适当的平面直角坐标系，设是轨迹上的任意一点；寻找动点所满足的条件；用坐标表示条件，列出方程；化简方程为最简形式；证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.16. 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于两点.（1）将表示为的函数；（2）若，求的周长.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设点，联立直线方程和抛
11、物线方程，运用韦达定理和弦长公式，化简计算即可得到所求函数；（2）运用抛物线的定义和（1）的结论，结合，进而得到的周长【详解】（1），整理得，则，其中；（2）由，则，解得，经检验，此时，所以，由抛物线的定义，有，又，所以的周长为【点睛】求曲线弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.17. 已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.（1）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；（2）当面积等于时，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先求出的方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，可求出的坐
12、标，进而利用两点间的距离公式可求出答案；（2）易知直线斜率存在，可表示出的方程，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，进而求出的表达式，及点到直线的距离的表达式，结合，可求出直线的斜率.【详解】（1）因为直线l过，斜率为，所以：.联立，得到.由韦达定理，有，设，则，所以，.（2）由题意，可知直线斜率存在，设斜率为，则为：，联立，得到，由韦达定理，有，O到直线l的距离为，.则.所以，化简得，解得，所以直线：或.18. 如图，已知直线与椭圆交于两点.过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为.（1）求直线与的斜率之积；（2）若直线与轴交于点，求证：与轴垂直【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设，可得，分别表示出，即可得到的表达式，结合P，A都在椭圆上，可得，代入中，可求出答案；（2）易知，结合PQPA，即，可得，进而求出直线的方程，令，可得得，结合P在直线y=kx上，可求出B点的横坐标为，从而可知直线PB与x轴垂直.【详解】（1）设，则，则，因为P，A都在椭圆上，所以.所以.（2）因为，又PQPA，即，所以，所以直线：，令，得，因为P在直线y=kx上，所以，代入得到B点的横坐标为，所以直线PB与x轴垂直.
