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1、2023-2024学年广东省佛山市高明一中高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.等比数列23，a，16，112中a的值等于()A. 2B. 12C. 13D. 32.在一次高台跳水比赛中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系(t)=4.9t2+2.8t+11，则该运动员在t=2s时的瞬时速度为()A. 16.8m/sB. 16.8m/sC. 9m/sD. 9m/s3.若函数y=f(x)在x=x0处的导数等于a，则x0limf(x0+2x)f(x02
2、x)x的值为()A. aB. 2aC. 3aD. 4a4.已知数列an满足an+1=kan1(nN,k0)，若数列an1是等比数列，则k的值为()A. 1B. 1C. 2D. 25.如图，已知四面体ABCD的棱长都是2，点M为棱AD的中点，则ABCM的值为()A. 1B. 1C. 2D. 26.已知函数f(x)=ln(x2)+ln(4x)，则f(x)的单调递增区间为()A. (2,3)B. (3,4)C. (,3)D. (3,+)7.设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|的值为()A. 3B. 4C. 6D. 98.丹麦
3、数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f(x)，f(x)在(a,b)上的导函数记为f(x).若在(a,b)上f(x)an，则q1D. 若Sn=3n+r，则r=110.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则下列命题正确的是()A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于4B. 点C到平面ABC1D1的距离为 2C. 异面直线D1C和BC1所成的角为4D. 线段PQ长度的最小值为2 3311.已知函数f(x)=lnxex，则()A. 曲线y=f(x
4、)在点(1,0)处的切线方程是xey1=0B. 函数f(x)有极大值，且极大值点x0(1,2)C. f(2)0,b0)的左、右焦点分别为F1(2,0)，F2(2,0)，渐近线方程为y= 3x，P为双曲线C上一点，且满足|PF1|=2|PF2|，则|PF1|= _14.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，且f(x)f(x)，若f(0)=0，则不等式f(2x25x7)0的解集为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn=2an1(1)求数列an的通项公式；(2)已知bn=an2+log2
5、an，求数列bn的前n项和为Tn16.(本小题15分)在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABB1A1平面ABC，ABC为正三角形，D，E分别为BC和A1C1的中点()求证：DE/平面ABB1A1；()若AB=2，AA1=3，BB1AC，求DE与平面A1B1C所成角的正弦值17.(本小题15分)已知函数f(x)=13x3+ax+b，当x=2时，y=f(x)有极大值，且f(4)=283(1)求函数f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，讨论函数f(x)在4,m上的最大值18.(本小题17分)已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)，离心率为 32，点( 3,12)在椭圆上(1)求E的方程；(
6、2)过K(1,0)作互相垂直的两条直线l1与l2，设l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N.探究：OMN与KMN的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由19.(本小题17分)约数，又称因数.它的定义如下：若整数a除以整数m(m0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数设正整数a共有k个正约数，即为a1，a2，ak1，ak(a1a2.ak). ()当k=4时，若正整数a的k个正约数构成等比数列，请写出一个a的值；()当k4时，若a2a1，a3a2，.akak1构成等比数列，求正整数a；()记A=a1a2+a2a3+.
7、+ak1ak，求证：Aa2参考答案1C2A3D4D5B6A7C8C9ABD10ABD11AB122713414(1,72)15解：(1)当n=1时，S1=2a11，所以a1=1，当n2时，Sn1=2an11，所以an=2an2an1，即an=2an1，因为a1=10，所以an0，所以anan1=2，所以an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an=a1qn1=2n1；(2)bn=4n1+n1，Tn=(40+41+42+4n1)+0+1+2+(n1) =1(14n)14+n(0+n1)2 =4n13+n(n1)216()证明：如图，取AB的中点为F，连接DF，A1F， 则DF/AC，DF=12
8、AC，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC/A1C1且AC=12A1C1，又E为A1C1的中点，所以DF/A1E且DF=A1E，所以四边形A1FDE为平行四边形，所以A1F/DE，又DE平面ABB1A1，A1F平面ABB1A1，所以DE/平面ABB1A1；解：()由于平面ABB1A1平面ABC，且交线为AB，又ABCF，CF平面ABC，所以CF平面ABB1A1，又BB1平面ABB1A1，所以CFBB1，又BB1AC，CFAC=C，CF，AC平面ABC，所以BB1平面ABC，以F为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1,0,3),B1(1,0,3),C(0, 3,0),D(12, 32
9、,0),E(12, 32,3)，所以A1B1=(2,0,0),A1C=(1, 3,3),DE=(1,0,3)，设n=(x,y,z)为平面A1B1C的一个法向量，则nA1B1=0nA1C=0，即2x=0x+ 3y3z=0，令y= 3，所以n=(0, 3,1)，设直线DE与平面A1B1C所成的角为，则sin=|cos|=|nDE|n|DE|=32 10=3 1020，所以直线DE与平面A1B1C所成的角的正弦值为3 102017解：(1)函数f(x)=13x3+ax+b，可得f(x)=x2+a，当x=2时，y=f(x)有极大值，f(2)=0，即4+a=0，a=4，当a=4时，y=f(x)在(,2)
10、上单调递增，在(2,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增，故y=f(x)在x=2处取得极大值，符合题目条件又f(4)=283，函数f(x)=13x34x+b，b=4，函数f(x)的解析式：f(x)=13x34x+4(2)由(1)知，y=f(x)在(,2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，在(2,+)上单调递增当4m4是，函数f(x)在4,2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，在(2,m上单调递增，且f(2)f(m)，f(x)max=f(m)=13m34m+4，综上：当4m4时，f(x)max=13m34m+4；当2m4时，f(x)max=28318解：(1)由题意可知e=ca= 323a
11、2+14b2=1c2=a2b2，解得a=2，b=1，所以椭圆E的方程为：x24+y2=1；(2)因为当直线BA斜率为0时，则AB为x轴，可得AB的中点M为原点O，不存在三角形OMN，所以直线l1，l2的斜率存在，且不为0，设直线l1的方程为x=my1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立x=my1x24+y2=1，整理可得：(4+m2)y22my3=0，可得y1+y2=2m4+m2，所以AB的中点M的纵坐标为yM=m4+m2，代入直线AB中，可得xM=mm4+m21=44+m2，即M(44+m2,m4+m2)，由题意可得N(44+(1m)2,1m4+(1m)2)，即N(4m21+4m2,
12、m1+4m2)，可得|yMyN|=|m4+m2m1+4m2|=5|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)，则S四边形KNOM=12|OK|yMyN|=1215|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)，|MK|= (44+m2+1)2+(m4+m2)2=|m| 1+m24+m2，|NK|= (4m21+4m2+1)2+(m1+4m2)2= 1+m21+4m2，所以SKMN=12|MK|NK|=12|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)，所以SOMN=S四边形KNOMSKMN=12(5|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)=124|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)，所以SOMNSKMN=124|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)12|m|(1+m2)(4+m2)(1+4m2)=4即OMN与KMN的面积之比为定值，且定值为419解：()当k=4时正整数a的4个正约数构成等比数列，比如1，2，4，8为8的所有正约数，即a=8()由题意可知a1=1，ak=a，ak1=aa2，ak2=aa3，因为k4，依题意可知a3a2a2a1=akak1ak1ak2，所以a3a2
