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1、泛函分析知识点小结及应用第七章 度量空间1 度量空间的进一步例子一 度量空间的定义设X是任一非空集合，假设对于Vx,y e X,都有唯一确定的实数d (x, y )与之对应，且满足1非负性：d(x, y) 0， d(x, y)=0 o x 二 y ;2. 对称性：d(x,y)二d(y,x);3. 三角不等式：对Vx, y,z e X，都有d(x, y) d(x,z) + d(y,z),则称(X，d )为度量空间，X中的元素称为点。欧氏空间Rn对Rn中任意两点x = (x ,x ,x )和y = (y , y，,y)，规定距离为12 n12 nd(x, y)=(x y2.iii=1，定义d (x
2、, y )= maxa t blp 1 p V +8)空间记 lp =x=k=1设 x = tx 8k k =1y = ty 8 e l p ，定义k k =1d(x, y)= x.-ypi ii=1二 度量空间的进一步例子例 1 序列空间 SCla,b空间 Cla,b表示闭区间la,bl da,b中任意两点x, y xC)- y().x1+xk- yk令 d （x，y ）=雪k=1令S表示实数列(或复数列)的全体，对Vx = x L ， y = y ck k =1S ，k k =1例2有界函数空间B(A) 设A是一个给定的集合，令B(A)表示A上有界实值(或复值)函数的全 体.Vx, y e
3、 B(A)，定义 d(x, y)=sup|xC)- yQ.teA例3可测函数空间M(X)设M(X)为乂上实值(或复值)的可测函数的全体，m为Lebesgue 1，故不等式左边为X上可积函数.令测度，假设m(X)s，对任意两个可测函数f C)及gC),由于 f)- g (t)f CL g （t ）|、 /（ y）- g（t）d （/，g ）= J Xdt.1 + | f ()- g ()1+2度量空间中的极限设L L是(X,d)中点列，假设3x e X， s.t.n n=1limd(x ,x)= 0nns则称L L是收敛点列，x是点列L的极限.n n=1n n=1收敛点列的极限是唯一的.假设设X
4、既牧敛于x又收敛y，则因为n0 d(x, y) d(x, x )+ d(y, x )t 0 (n T s)，而有 d(x, y)=0.所以nnx= y .注(*)式换一个表达方式：limd(x , x )= d lim x , x .即当点列nn n Tgn Tg极限存在时，距离运算与极限运算可以换序.更一般地有距离d (x, y)是x和y的连续函数.证明d(x,y) d(x,x )+ d(x , y )+ dC , y ) n0 0 0 0d(x,y)-d(x ,y )d(x,x )+d(y ,y );0 0 0 0d(x,y )d(x,x)+d(x,y)+d(y,y )nd(x,y )-d
5、(x,y)0 0 0 0 0 0 d(x,x )+ d( ,y ).所以 | d(x,y) d(x ,y )| d(x,x )+ d( ,y )0 0 0 0 0 0具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间 Rnx = (x(m), xCm),x(m), m = 1,2，,为 Rn 中m 12n的点列，x = (x, x ,x )G Rn ,12 nx T xm，有 x(m) T x (m T g).iid (x, x)=、：C Cm) x+ C Cm) xHFm1122(m t g) O 对每个 1 i n2.Cla,bl设(x J u Cla,b， x e Cla,b,贝Un n =1
6、d(x , x)= max|x Q-xQt 0 (n t g) O x J 在 L, b一致收敛于 na t 0， 3 5 0， St 0都有Tx ）e，则称T在x连续：00定理1设T是度量空间（X,d）到度量空间Y,d ）中的映射：V x g X 且 d (x, x ) 0, 3N = N C )wN m, n N 时，有 d (x , x )0 及d (T x , T x )= d (x , x ) 0，知T x 丰 T x .1 2 1 2 1 2 1 2定理1 (度量空间的完备化定理)设X = (X , d )是度量空间，那么一 定存在一完备度量空间X = ( X, d)，使X与X的其
7、个稠密子空间W等iX_r距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即假设(X , d )也是一完 备度量空间，且X与X的其个稠密子空间W等距同构，贝y (X , d )与 (X , d )等距同构.7压缩映照原理及其应用定义 设X是度量空间，T是X到X中的压映照，假设存在一个数 :0 a 1， s.t. V x、y e X，成立d(IX,Ty)a d(x,y)则称T是X到X中的压缩映照(简称压缩映照).定理1.(压缩映射定理)设X是完备度量空间，T是X上的压缩映照， 则T有且只有一个不动点(即方程Tx = x有且只有一个解).补充定义：假设TX=X，则称X是T的不动点，即X是T的不动点OX 是方
8、程TX=X的解。定理2.设函数f(x,y)在带状域a x b， g y v+s中处处连续, 且处处有关于y的偏导数f(x,y)，假设存在常数m和M，满足ym M， 0 m f f(x, y) 0; 且|X = 0 o X 二0 ;非负性仪兀| =训兀| , a eF ；正齐次性(3)卜+y| 斗|+| j|x, yeX ；三角不等式X 为赋范线性空间则称X为x的范数（norm）,称（X, |.|）或:定义 完备的赋范线性空间称为巴拿赫Banach空间。例子：Ca, b，空间 lp， n 维 Euclidean 空间 rn， La, b，都是 Banach 空间。度量空间与赋范线性空间区别:度量空间是定义了度量的线性空间，也就是两个元素之间的“长度”，满足非负性、对称性、三角不等式 赋范线性空间就是定义了范数的线性空间，其满足范数公理非负性 齐次性，三角不等式 联系:都是在线性空间的前提下讨论的。赋范线性空间是一种特殊的 度量空间
