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1、导数题型总结例1：设函数在区间D上的导数为,在区间D上的导数为,若在区间D上,恒成立,则称函数在区间D上为凸函数,已知实数m是常数,1若在区间上为凸函数,求m的取值范围；2若对满足的任何一个实数,函数在区间上都为凸函数,求的最大值.解:由函数 得1在区间上为凸函数,则 在区间0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于解法二：分离变量法：当时, 恒成立, 当时, 恒成立等价于的最大值恒成立,而是增函数,则当时在区间上都为凸函数则等价于当时 恒成立变更主元法再等价于在恒成立视为关于m的一次函数最值问题-22例2：设函数 求函数fx的单调区间和极值； 若对任意的不等式恒成立,求a的取值
2、范围.解：3aaa3a令得的单调递增区间为a,3a令得的单调递减区间为,a和3a,+当x=a时,极小值= 当x=3a时,极大值=b.由|a,得：对任意的恒成立则等价于这个二次函数的对称轴放缩法即定义域在对称轴的右边,这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题.上是增函数. 9分于是,对任意,不等式恒成立,等价于 又点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴重视单调区间与定义域的关系例3：已知函数图象上一点处的切线斜率为,求的值；当时,求的值域；当时,不等式恒成立,#数t的取值范围.解：, 解得由知,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递减又的值域是令思路1：要使恒成立,只需,即分离变量思路2：二
3、次函数区间最值二、参数问题1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为在给定区间上恒成立, 回归基础题型解法2：利用子区间即子集思想；首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚在m,n上是减函数与函数的单调减区间是a,b,要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集例4：已知,函数如果函数是偶函数,求的极大值和极小值；如果函数是上的单调函数,求的取值范围解：. 是偶函数,. 此时, 令,解得：. 列表如下：22+00+递增极大值递减极小值递增可知：的极大值为,的极小值为. 函数是上的单调函数,在给定区间R上恒成立判别式法则解得：. 综
4、上,的取值范围是. 例5、已知函数 I求的单调区间； II若在0,1上单调递增,求a的取值范围.子集思想a-1-1解：I 1、 当且仅当时取=号,单调递增. 2、 单调增区间： 单调增区间：II当 则是上述增区间的子集：1、时,单调递增 符合题意2、,综上,a的取值范围是0,1. 2、题型二：根的个数问题题1函数f与g或与x轴的交点,即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即穿线图即解导数不等式和趋势图即三次函数的大致趋势是先增后减再增还是先减后增再减；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式组；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式组即可.例6、已知函数,且在区间上为增
5、函数（1） #数的取值范围；（2） 若函数与的图象有三个不同的交点,#数的取值范围解：1由题意在区间上为增函数,在区间上恒成立分离变量法即恒成立,又,故的取值范围为2设,令得或由1知,当时,在R上递增,显然不合题意当时,随的变化情况如下表：极大值极小值由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不同的实根,故需,即,解得综上,所求的取值范围为根的个数知道,部分根可求或已知.例7、已知函数1若是的极值点且的图像过原点,求的极值；2若,在1的条件下,是否存在实数,使得函数的图像与函数的图像恒有含的三个不同交点？若存在,求出实数的取值范围；否则说明理由.解：1的图像过原点,则,又是的极值点,则-
6、12设函数的图像与函数的图像恒存在含的三个不同交点,等价于有含的三个根,即：整理得：即：恒有含的三个不等实根有含的根,则必可分解为,故用添项配凑法因式分解, 十字相乘法分解：恒有含的三个不等实根等价于有两个不等于-1的不等实根.题2切线的条数问题,即以切点为未知数的方程的根的个数例7、已知函数在点处取得极小值4,使其导数的的取值范围为,求：1的解析式；2若过点可作曲线的三条切线,#数的取值范围1由题意得：在上；在上；在上因此在处取得极小值,由联立得：,2设切点Q,过令,求得：,方程有三个根.需：故：；因此所#数的范围为：题3已知在给定区间上的极值点个数则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别
7、式法例8、解：函数的定义域为当m4时,f x3x210x,x27x10,令 , 解得或.令 , 解得可知函数f的单调递增区间为和5,单调递减区间为x2xm6, 1要使函数yf 在1,有两个极值点,x2xm6=0的根在1,根分布问题：则, 解得m3例9、已知函数,1求的单调区间；2令x4fxxR有且仅有3个极值点,求a的取值范围解：1当时,令解得,令解得,所以的递增区间为,递减区间为.当时,同理可得的递增区间为,递减区间为.2有且仅有3个极值点=0有3个根,则或,方程有两个非零实根,所以或而当或时可证函数有且仅有3个极值点其它例题：1、最值问题与主元变更法的例子.已知定义在上的函数在区间上的最大
8、值是5,最小值是11.求函数的解析式；若时,恒成立,#数的取值范围.解： 令=0,得因为,所以可得下表：0+0-极大因此必为最大值,因此, , 即,等价于, 令,则问题就是在上恒成立时,#数的取值范围,为此只需,即, 解得,所以所#数的取值范围是0,1.2、根分布与线性规划例子已知函数 若函数在时有极值且在函数图象上的点处的切线与直线平行,求的解析式； 当在取得极大值且在取得极小值时, 设点所在平面区域为S, 经过原点的直线L将S分为面积比为1:3的两部分, 求直线L的方程.解：.由, 函数在时有极值 ,又在处的切线与直线平行, 故 . 7分 解法一: 由与在取得极大值且在取得极小值, 即 令
9、, 则 故点所在平面区域S为如图ABC, 易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为:另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为1:3的两部分, 设直线L方程为,它与AC,BC分别交于F、G, 则 , 由 得点F的横坐标为:由 得点G的横坐标为:即 解得: 或 故这时直线方程为:综上,所求直线方程为:或 .12分 解法二: 由与在取得极大值且在取得极小值, 即 令, 则 故点所在平面区域S为如图ABC,易得, , , , , 同时DE为ABC的中位线, 所求一条直线L的方程为:另一种情况由于直线BO方程为:, 设直线BO与AC交于H , 由 得直线L与A
10、C交点为:, , 所求直线方程为: 或3、根的个数问题已知函数的图象如图所示.求的值；若函数的图象在点处的切线方程为,求函数f 的解析式；若方程有三个不同的根,#数a的取值范围.解：由题知：由图可知函数f 的图像过点,且= 0得依题意= 3 且f = 5解得a = 1 , b = 6 所以f = x3 6x2 + 9x + 3依题意f = ax3 + bx2 x + 3 = 3ax2 + 2bx 3a 2b由= 0b = 9a若方程f = 8a有三个不同的根,当且仅当满足f 8af 由得 25a + 38a7a + 3a3 所以当a3时,方程f = 8a有三个不同的根.4、根的个数问题已知函数
11、 1若函数在处取得极值,且,求的值与的单调区间； 2若,讨论曲线与的交点个数 解：1令得令得的单调递增区间为,单调递减区间为2由题得即令令得或当即时此时,有一个交点；当即时,当即时,有一个交点；当即时,有两个交点； 当时,有一个交点综上可知,当或时,有一个交点； 当时,有两个交点5、简单切线问题已知函数图象上斜率为3的两条切线间的距离为,函数 若函数在处有极值,求的解析式； 若函数在区间上为增函数,且在区间上都成立,#数的取值范围1f= 3/a2 x2,由 3/a2 x2=3得x=a,即切点坐标为a,a,-a,-a切线方程为y-a=3x-a,或y+a=3x+a2分整理得3x-y-2a=0或3x-y+2a=0解得a=1,fx=x3gx=x3-3bx+34分gx=3x2-3b,gx在x=1处有极值,g1=0,即312-3b=0,解得b=1gx=x3-3x+36分2函数gx在区间-1,1上为增函数,
