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1、张量场的可视化及其科学应用摘要：三维数据场的可视化是科学计算可视化的一个重要研究领域，其最初的应用大大推动了计算流体动力学的研究。从标量场数据发展到矢量场和张量场数据的可视化，我们对于新的可视化手段的需求与日俱增。本文从对三维二阶张量的基本数学分析开始，介绍张量场可视化的几类基本手段，图元法，特征法，艺术法，体绘制法，和形变法。在此基础上，本文介绍张量场可视化在大脑成像和地质勘探两个科学研究中的具体应用，以探讨其可能的发展方向和前景。关键词：张量数据;可视化;科学应用按照数据参量的复杂程度，数据场可以分为标量场，矢量场和张量场。标量场的数据结构简单，每一场点对应单一数据，因此其可视化在已经有了
2、成熟的技术，如体积光线投射，等值面等方法；而矢量场和张量场的可视化则在原有的单一变量的基础上，有了更多的数据维度，如方向，形变等，因此要求了更新、更复杂、更综合的可视化方法。与矢量场相比，张量场的数据点包含着更大的信息量，其可视化涉及了工程和基础科学的各个领域，因此是目前科学计算可视化的热点，也是难点。基本方法不同维度与阶数的张量为具体的可视化操作带来了巨大的挑战。在科学数据可视化的常见情况下，三维二阶对称张量数据是我们需要进行可视化操作的对象，比如流体微团的变形率张量，流体面元的应力张量等等。三维二阶张量包含个分量，这九个分量的可视化必须建立在统一表现的基础上，才得以显示出整个张量在空间点的
3、数据结构，甚至是物理意义，而不像标量场可视化那样，仅仅关注每个空间点的单一数据。在我们所讨论的张量可视化的方法和实例中，三维二阶对称张量都是我们的主要的，理想的研究对象。张量数据可视化的方法主要可以分为以下几类：图元类(glyph)，特征类(feature-based)，艺术类(art-based)，体绘制类(volume-rendered)以及形变类(deformation)。前两者是最常见的方法，在本文中会重点介绍。一、图元法(glyph)图元法是一种利用包含信息的图像符号直接表示每个张量数据点的方法。在了解具体的图元法实现手段之前，我们有必要了解张量数据的基本数学结构。以流体力学中流体微
4、团的变形率张量为例，流体微团的应变率张量是一个三维二阶实对称张量，通过矩阵形式表示：其中主对角线的， ， 代表坐标轴方向的变形速度， ， ， 代表坐标轴夹角的剪切应变率。由线性代数理论，存在正交矩阵，使得即使得原张量矩阵对角化。并且，矩阵的三个列矢量分别是上述对角矩阵的互相正交的特征矢量（特征方向）， ， ， 是与特征矢量相对应的特征值。通过这个数学变换，原张量数据所包含的信息，即六个独立分量，被等价变换为三个实特征值和对应的互相正交的特征矢量所包含的信息，而后者正是张量数据可视化的图元法所主要依赖的理论基础。在众多可供选择的图元中，三维椭球图元是最为常见的可视化元素。将椭球中心置于数据原点，
5、椭球的三个主轴方向对应于三个特征矢量方向，三个轴长对应于相应的特征值大小。如此，张量场中每一规则格点的数据都可以通过取向，大小和形状不同的椭圆来对应表示，实现了多分量数据的统一可视化。将椭球作为图元的方法有易见的优点：椭球的几何特征和张量数据结构的合理对应，因而容易辨别每个分离点的张量数据特征。但是，椭球图元也有其局限性：(1) 特征值的符号无法通过椭球的几何特征表现，而只能通过颜色标记等其他方法区分；(2) 椭球有其自身的光滑几何表面，不合适的视角很容易影响观者对特征方法和特征值数据的观察判定；(3) 在三维情况下，密集的数据点容易发生堆积、层叠，从而影响视线；(4) 单一图元表达的信息量局
6、限于最基本的层面，无法表现出张量数据的互相关联和局域性特征。事实上，特征值符号，图元视角缺陷和区域结构缺乏这三个问题较为普遍地存在于使用离散型图元法的张量可视化问题。因为缺乏对特征值符号的最优表现方法，椭球以及其他图元一般仅用于正定矩阵张量（所有特征值均为正）的可视化，如脑成像中的扩散张量等，而较少的应用于既有拉伸又有压缩的地应力问题。为了克服椭球的视角问题，使用高级图元的方法被提出，如Westin使用的球，盘和棒的复合图元组合，Kindlmann使用超二次曲面图元，将椭球，长方体，圆柱体的最佳特征整合在一起。这些方法都有效地丰富了图元法的可视化表现力。图一 椭圆半径，圆盘半径和棒长分别对应于
7、最小特征值，中间特征值，和最大特征值的两倍（左）；相交的大脑白质束的张量场模拟将图元法与特征法结合，可以弥补传统图元法在表达区域结构上的不足，从而能够呈现局域特征，在表达信息层面更高一级。这样的方法包括线图元和图元堆积，在如下的特征方法中集中讲述。二、特征法(feature-based)基于特征的可视化方法着眼于数据场对象特征的提取与再呈现，是一种呈现信息层面较高的方法。最常用的能够表现张量场数据局域性特征的方法是Delmarcelle和Hesselink提出的超流线(Hyperstreamline)。超流线的概念衍生于矢量场中的流线（描述速度场的连续曲线），其数学结构基础同样基于我们在图元法
8、中对三维二阶张量的特征矢量和特征值的分析。超流线通过以下方法生成：沿张量场的某一个特征矢量的轨迹作超流线的轨迹方向（主特征矢量对应于主超流线），垂直于轨迹方向的横截面积采用以另两个特征矢量的大小为轴长的椭圆形（简并情况下则为圆形），通过这样的图形扫过的空间区域表面就成为超流线。首先，主超流线的轨迹在实际物理背景下，能够表示应力的传播或者动量的传递。我们还可以对超流线沿轨迹方向做不同的颜色标度，这样可以直观地表现出例如主超流线轨迹方向的主特征值变化趋势。其次，横截面的图形除了使用椭圆形（圆形）之外，还可以采用十字形，即通过两个正交轴的长度来表示对应的两个的特征值大小。相比之下，前者的使用能够使得
9、横向特征矢量简并的状况（对应与横截面为圆形）更容易判断，而后者的使用则能够更清晰地指明两个横向特征矢量的方向，但不适合用于简并而特征矢量方向不唯一的情况。通过横截面在空间的连续变化，可以得到主特征矢量之外另两个特征矢量方向的区域信息。因此，超流线的方法的显著优点即是表现出了标量场数据的连续变化。 (a) (b) (c) (d)图2 用超流线表现两个点压缩力引起的应力分布 (a) 主超流线；(b) 中超流线；(c) 辅助超流线；(d) 三种超流线一起呈现尽管超流线在表现数据连续性上要优于图元法，但是充分表现局域特征的同时也牺牲了数据的细节。因此，如何能够兼顾大特征与小细节是一个需要解决的问题。在
10、图元法的基础上改进, Kindlmann和Westin在可视化扩散张量时提出了图元堆积方法(Glyph Packing)。图元堆积的方法并非试图寻找更佳的几何图元组合来呈现最佳视图， 而是在常规椭球坐标法上增加基于纹理的可视化方法。它抛弃了数据点分布的规则格子，避免了在视觉上造成的错误数据分布结构，而是将点坐标类比于粒子系统，通过基于张量场数据演算得到的势函数，来计算图元“粒子”之间的相互作用，从而得到他们的平衡网络位置。规则格子和图像堆积这两种情况的可视化效果如图1。图像堆积的可视化方法，在点图元方法的基础上，自然地避免了数据点之间的交叠和空隙，更加有效地地显现了张量场数据的连续变化特征，将
11、传统的图元法提升到了得以表现特征的层次。 (a) Regular Grid (b) Glyph Packing图三 常规点坐标方法与图像堆积方法的可视化结果对比7三、艺术法(art-based)艺术法是参考艺术作品的创作表现方式，而将其基本手段应用于张量数据可视化的方法。Lailaw在可视化小鼠脊椎神经的扩散张量时，巧妙借用了油画中的分层绘制的概念，将复杂的扩散张量和相关联的解剖标量信息一起表现于复杂的多层叠加的可视化图像（底板层、检测板层和线条层）。通过分析数据，将参量与可视化技巧作如下对应：解剖标量-底板层颜色亮度，体积元大小-检测板层阵列间距，本征值大小比值-线条长宽比和透明度，主本征方
12、向-线条方向，主本征x方向-线条红饱和度，扩散率大小-线条的纹理频率。所以，这样的技巧可以将扩散张量的所有数据参数都一起可视化，供观者获取自己需要的数据信息。图四 小鼠脊椎神经的分层结构可视化Kirby也是采用分层的绘画方法，用二维的椭圆图元表示流体场内流体微团的形变率张量，并且通过箭头方向，箭头面积，底板颜色来分别表示流场速度，大小和涡量场信息，实现了独立信息的统一呈现。图五 流体场的参量组合可视化由此可见，在这些基于艺术手法的方法中，尽管图元，线条的运用仍然是其张量数据可视化方面的基本思想，但他们很好的利用了多参量数据可视化的现有技巧，得以有效地将众多的参量数值以不同方式整合到可视化图像中
13、，统一显示。观者通过他们熟悉的类绘画的可视化手段，可以有效获取他们需要的参量信息以及整体理解。四、体绘制方法(volume-rendered)体绘制方法与以上三种方法的出发点不同。前三者都离不开点、线图元的使用，先分析变换张量数据，再把多维信息整合到一个图像中的数据点，其信息显示层面是独立的或者是局域的；而体绘制方法的思想则是以全局的方式展现数据的部分信息，不求全但求广，这对于展现特定研究对象的整体结构是很有益处的。张量数据的庞大信息量使得对特定信息的选择性忽略是技术上的必然，而如何进行参量选择并呈现则是张量数据体绘制所需要研究的问题。Kindlmann在白质纤维束的可视化中使用了体绘制，利用
14、重心透明度贴图(barycentric opacitymaps)，灰度球（颜色）(Hue-balls)，光照张量（阴影）(lit-tensor)这三种方法，可以从张量信息中生成相对应的透明度，颜色和阴影，通过设计传递函数，可以突出显示感兴趣的数据结构。图六 图示透明度和光照下的张量体绘制结果（左）和经过lit-tensor处理后的结果五、形变法(deformation)形变法可视化的基本思想是实现张量场的“实体化”，即呈现出特定张量场在理想物体上产生的作用。因此，对于具有明确物理意义的张量数据来说，形变的可视化方法直观，有效，将抽象的数据还原成具体的更易被观者接受的视觉信息。这种方法在力学教科
15、书中介绍材料应力，变形率的时候，在研究地质形变和液晶分子取向等等问题时都被广泛的采用。Zheng在可视化张量场形变时提出两种各有优势的方法：法向量形变法和各向异性形变法，前者适合于展现张量场的方向信息，后者适合于表现张量场的压缩和剪切性质。图七 以线框绘制和用颜色标记应力张量的各向异性形变：法向量方法（左）和各向异性形变法（右）科学应用张量场的可视化在工程和科学的研究和教学中尤其具有巨大意义，其热门应用领域集中在医学的核磁成像中扩散张量数据，物理学中的地质学应力张量数据和流体中张量场的可视化。以下，通过对于这几个具体应用领域可视化工作的概述以及实例，来体现说明张量数据可视化的应用价值和发展前景。一、磁共振成像(MRI)扩散磁共振成像技术(diffusion MRI)由于在神经疾病诊断方面的巨大价值而很早已被广泛应用。技术发展使得测量大脑中各向异性的扩散系数成为可能，扩散张量成像技术(diffusion tensor imaging, DTI)的发展，对白质束的走向，完整性和连通性的检查，对大脑功能的基础和临床研究都有重要的应用。因此，扩散张量的可视化研究不仅在医学领域有重要的应用价值，还对于张量可视化，尤其是扩散张量数据的可视化的基础研究自身也具有推动作用。扩散张量是一个三维二阶的正对称矩阵
