《适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第3课时利用导数研究函数的零点课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用高考解答题专项一第3课时利用导数研究函数的零点课件（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第3 3课时利用导数研究函数的零点课时利用导数研究函数的零点高高 考考解答题解答题专项一专项一考点一考点一确定函数零点的个数确定函数零点的个数考向1.利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1.(2023安徽合肥二模)已知函数f(x)=2ln x+mx2-(2m+1)x,其中mR.(1)若函数y=f(x)图象仅有一条垂直于y轴的切线,求m的取值范围;(2)讨论函数f(x)的零点个数.当m0时,x0,mx-10,f(x)单调递增;当x(2,+)时,f(x)0,f(x)单调递减,此时f(x)max=f(2)=2ln 2+2m-2(2m+1)=2ln 2-2m-2.当f(2)=0,m=ln 2-
2、1时,f(x)只有一个零点x=2;当f(2)0,ln 2-10,mln 2-10且x0或x+时,f(x)-,f(x)分别在(0,2)和(2,+)上各有唯一零点,此时f(x)有两个零点.f(x)在(0,+)上单调递增.当x0且x0时,f(x)-;当x+时,f(x)+,f(x)在(0,+)上有唯一零点.又当x+时,f(x)+,函数f(x)在区间(2,+)上有唯一零点.综上所述,当mln 2-1时,函数f(x)有且仅有2个零点;当ln 2-10时,函数f(x)有且仅有1个零点.方法点拨利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数
3、零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.对点训练1已知函数f(x)=-ln x+2x-2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于1的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)设g(x)=x2f(x)-2f(x),判断函数g(x)的零点个数,并说明理由.x0=1,所以y0=-ln 1+2-2=0,故切线方程为y=x-1.考向2.利用两个函数图象的交点确定零点个数例2.已知函数f(x)=axex,a为非零实数.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)讨论方程f(x)=(x+1)2的实数解的个数.解(1)f(x)=aex+axex=a(x+1)ex,令f
4、(x)=0,得x=-1.当a0时,令f(x)0,得x-1,所以f(x)的单调递减区间为(-,-1);当a0时,令f(x)-1,所以f(x)的单调递减区间为(-1,+).综上所述,当a0时,f(x)的单调递减区间为(-,-1);当a0,函数g(x)单调递增;当x(-1,0)(0,+)时,g(x)0时,原方程有且只有一个解;当a0,得0 xe-3;令f(x)e-3.f(x)在(0,e-3)内单调递增,在(e-3,+)上单调递减,f(x)在x=e-3处取得极大值,且极大值为f(e-3)=e-3,f(x)没有极小值.(2)(方法1)由f(x)=0,得ax-ln x+a-2=0,则a(x+1)=ln x
5、+2.当0 x0,当1xe时,(x)0,h(x)在(0,1)内单调递增,在(1,e)内单调递减,则h(x)max=h(1)=1.考点二考点二已知函数零点个数求参数取已知函数零点个数求参数取值范范围例3.已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解(1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f(x)=ex-1.当x0时,f(x)0时,f(x)0.所以f(x)在区间(-,0)上单调递减,在区间(0,+)上单调递增.(2)f(x)=ex-a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在区间(-,+)上单调递增,故f(x)至多存在
6、1个零点,不符合题意.当a0时,令f(x)=0,得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.所以f(x)在区间(-,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+)上单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).因为f(-2)=e-20,所以f(x)在区间(-,ln a)上存在唯一零点.由(1)得,当x2时,ex-x-20,方法总结已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法 对点训练3已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2,aR.(1)若a0,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有2个不同的零点,求实数a的取值范围.解(1)f(x)=xex+2ax=x(ex+2a).已知a0,令f(x)=0,得x1=0,x2=ln(-2a).h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增.因为h(1)=0,所以当x1时,h(x)0.若f(x)有2个不同的零点,则函数h(x)的图象与直线y=-a有两个交点,即-a0,故实数a的取值范围为(0,+).
