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1、第七节抛物线第七节抛物线第九章第九章内容索引0102强强基础基础 增增分策略分策略增素增素能能 精精准突破准突破课标解读衍生考点核心素养1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.2.了解抛物线的简单应用.1.抛物线的定义及其应用2.抛物线的标准方程与简单几何性质3.与抛物线有关的最值问题直观想象逻辑推理数学运算强强基础基础 增增分策略分策略知识梳理1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.设点M是抛物线上的任意一点,它到准线l的距离为d,则抛物线定义的表达式为|MF|=d距离相等 焦点 准
2、线 微思考抛物线定义中,若直线l过点F,则点的轨迹会怎么样?提示 若直线l过点F,则到点F与到直线l距离相等的点的轨迹是过点F且与l垂直的直线.2.抛物线的标准方程和简单几何性质 取决于一次项变量(x或y)的取值范围 微点拨1.求抛物线方程时,要依据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向,正确选择抛物线的标准方程.2.由y2=mx或x2=my(m0)求焦点坐标时,只需将x或y的系数除以4,再确定焦点位置即可.微思考抛物线的开口大小与什么有关?提示 p的大小.抛物线的通径的长度为2p,p越大,通径越大,抛物线的开口就越大;p越小,通径越小,抛物线的开口就越小.(注:通径为过焦点且垂直于对称轴的弦
3、)常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则 对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(3)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是(,0)()2.(2022山东潍坊一模)抛物线C:x2=4ay的焦点坐标为(0,2),则C的准线方程为.答案 y=-2 解析 因为抛物线C:x2=4ay的焦点坐标为(0,2),所以C的准线方程为y=-2.3.顶点在原点,且过
4、点P(-2,3)的抛物线的标准方程是.增素增素能能 精精准突破准突破考点一考点一抛物抛物线的定的定义及其及其应用用典例突破例1.(1)动圆与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且和直线x=1相切,则动圆圆心的轨迹是()A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线(2)(2022全国乙,理5)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|=()(3)(多选)设抛物线y2=2px(p0)的焦点为点F,点M在y轴上,若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为 ,则点M的坐标可能为()A.(0,-4)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,4)答案
5、 (1)D(2)B(3)BC 解析(1)设动圆的圆心为点C,半径为r,则点C到定圆A:(x+2)2+y2=1的圆心的距离为r+1.又动圆的圆心到直线x=1的距离等于r,所以动圆的圆心到直线x=2的距离为r+1.根据抛物线的定义知,动圆圆心的轨迹为抛物线.故选D.名师点析抛物线定义的应用策略 对点训练1(1)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,点O为坐标原点,则OFP的面积为()(2)已知点F是抛物线y=4x2的焦点,点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,则y0=.解析(1)设P(xP,yP).由题可得抛物线焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.点P到焦点F的距离为2,点P
6、到准线的距离为2,xP+1=2,xP=1,|yP|=2,考点二考点二抛物抛物线的的标准方程与准方程与简单几何性几何性质典例突破例2.(2022山东肥城模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,点M是抛物线C上一点,过点M作准线l的垂线,交l于点H,若|MH|=2,HFM=30,则抛物线C的标准方程为.解析因为抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,所以|MF|=|MH|=2.答案 y2=6x 名师点析求抛物线的标准方程的两种常用方法 对点训练2(1)设点O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则抛物线C的焦点坐标为()(3)已
7、知点O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为点F,点P为抛物线C上一点,PF与x轴垂直,点Q为x轴上一点,且PQOP.若|FQ|=6,则抛物线C的准线方程为.(4)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴的正半轴上.若抛物线的准线与双曲线5x2-y2=20的两条渐近线围成的三角形的面积等于4 ,则抛物线的标准方程为.解析(1)因为直线x=2与抛物线y2=2px(p0)交于E,D两点,且ODOE,所以D(2,2)或D(2,-2).考点三考点三与抛物与抛物线有关的最有关的最值问题(多考向探究多考向探究)考向1.利用抛物线定义求最值典例突破(2)点P为抛物线y2=4x上的动点,点A(2,1)为
8、平面内一定点,点F为抛物线的焦点,则:|PA|+|PF|的最小值为;|PA|-|PF|的最小值为,最大值为.解析(1)由题可知此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.过点P作PMl,垂足为M(图略),则|PM|=|PF|,所以点P到y轴的距离|PM|-1=|PF|-1,(2)如图1,由抛物线定义可知|PF|=|PH|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PH|,所以|PA|+|PF|的最小值为点A到准线l的距离,所以|PA|+|PF|的最小值为3.名师点析利用抛物线定义求最值的三种题型与策略 对点训练3(1)若抛物线y2=4x的准线为l,点P是抛物线上任意一点,则点P到准线l的距离与点
9、P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是()(2)已知点F为抛物线C:x2=8y的焦点,点P为抛物线C上一点,M(-4,3),则|PF|+|PM|的最小值是.答案 (1)A(2)5 解析(1)如图所示,过点P作PAl,垂足为点A,过点P作直线3x+4y+7=0的垂线段PB,垂足为点B.由题可知抛物线y2=4x的准线为l:x=-1,焦点为点F(1,0),|PA|=|PF|.所以|PA|+|PB|=|PF|+|PB|d=2,当且仅当B,P,F三点共线时,等号成立,所以点P到准线l的距离与点P到直线3x+4y+7=0的距离之和的最小值是2.故选A.(2)由题可知抛物线的焦点为F(0,2),准线方程为y=-2,点M在抛物线的内部.如图,过点M作准线的垂线,交抛物线于点P,垂足为点N.因为|PF|=|PN|,所以|PF|+|PM|=|PM|+|PN|MN|=5.考向2.利用函数思想求最值典例突破答案 A 名师点析求抛物线上的动点到定直线的距离时可以利用单变量设点,利用函数思想求最值,也可以转化为平行线间的距离求解.对点训练4已知点P在抛物线y2=4x上,点Q在圆(x-5)2+y2=1上,则PQ长度的最小值为.答案 3
