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1、全等三角形一、全等三角形知识梳理:全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形；全等三角形的性质：全等三角形对应边；对应角相等；对应边上的中线相等；对应边上的高相等；对应角的平分线相等. 三角形全等的条件：（1）SSS; (2) SAS; (3) ASA; (4) AAS; (5) HL两个三角形不全等的情况：（1）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形； （2） 有三个角对应相等的两个三角形.全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫全等变换.平移、翻折、旋转前后的图形全等，具有全等的所有性质.（1）平移变换：把图形沿某直线平行移动.（2）对称变换：将图形沿直线翻着1800
2、.（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置.二、角平分线：角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线.角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.到角两边距离相等的点在角的角平分线上.三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等.三、几何证明的一般步骤：1. 根据题意，画出图形；2. 根据题设、结论、，结合图形，写出已知、求证.3. 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.考点分析1. 全等的概念和性质；2三角形全等的条件：只给出三角形三角三边六个条件中的一个或两个条件时，都不能保证所画
3、出的三角形一定全等.3. 全等三角形的利用：证明角相等：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等，内错角相等；（4）角平分线的定义；（5）等式性质；（6）全等三角形的对应角相等；（7）等边对等角.证明线段线段：（1）中点定义；（2）等式性质；（3）全等三角形的对应边相等；（4）等角对等边；（5）角平分线的性质；（6）中垂线性质。证明垂直的方法：（1）证明两直线夹角等于900；（2）证明邻补角相等；（3）若三角形的两锐互余，则第三个角是直角；（4）垂直于平行线中的一条直线也垂直于另一条直线；（5）证明该角所在的三角形与已知直角三角形全等；（6）邻补角的平分线
4、互相垂直.证明一条线段等于另外两条线段的和：采用截长补短法. （1）截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；（2）补短法：延长较短线段和较长线段相等.4. 角平分线的性质及相关证明；（1）有角平分线时，常用角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.（2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形.5. 中线的性质相关证明：（1）取线段中点构造全等三有形；（2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形；例1图例2图（3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形 (倍长中线).类型1. 全等的概念和性质笔记例1. 如图
5、，已知，则对应边为_，对应角为_.例2. 如图，已知，若，求的度数. 例3. 如图, ,点A和点B、点C和点D分别是对应顶点，如果AB=6cm，BD=7cm，AD=4cm，那么BC的长为（ ） A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 不能确定变式题：如图，,并且AB=CD，那么下列结论错误的是（ ） B C A DD 1 22 D C B A A. 12 B. DB C. CA=AC D. AC=BC例3图 变式题图C A B 例4. 如图所示，绕顶点A顺时针旋转（旋转角度不大于1800），若B300，C400，问：（1）顺时针旋转多少度时，旋转后的的顶点与原的顶点B和A在同一条直线上
6、？（2）再继续旋转多少度时，、在同一条直线上（原是指开始位置）？类型2. 三角形全等的条件： 1、“SSS”A B F E C D (4) A B E F D C (3) 例1. 如图，点E、F在BC上，AB=DC，AF=DE,BE=CF.求证：.A D B E F C (1) A BB F E D C (2) A D B E C F 变式题：已知点B,E,C,F在同一条直线上，AB=DF,AC=DE,BE=CF.求证：A=D.B D C A 例2. 如图，AC=AD,BC=BD.求证：C=D.A D B C O 例3. 如图，已知：AC，BD相交于O点，且.求证：B=C.提升练习：如图，已知
7、：.求证：（1）;(2)AEDF. 2、“SAS”A B C D 例1. 在中，AB=AC,AD平分BAC，求证：A B C D E 1 2 例2. 如图，AB=AC,AD=AE,12.求证：. A F D B C EE 例3如图，已知：. 求证：. 【拓展提升】1. 如图，已知： ，求证：2.如图，已知：，. 求证：. 3、“ASA（AAS）”A BBB E D C G F 例1. 由ABBD,EDBD,垂足分别为B、D点，点C在BD上，且BC=CD,点A、C、E在同一条直线上，求证：DE=AB.例2. 和中，A=500, B=300,AB=10, B=500, F=1000,DE=10,求
8、证：变式题：如图, ABC=DCB, ACB=DBC,求证：AC=DB.A B C DD A D BBB CC E F 例3. 如图，在AFD和CEB中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个论断：（1）AD=CB,(2)AF=CE,(3) B=D ,(4) ADBC.请用其中三个条件，余下一个作为结论，编一道数学题并写出解答过程.例4. 如图，已知：. 求证：. D F C O A E B 例5. 如图，两条直线AC,BD相交于O，BO=DO,AO=CO，直线EF过点O且分别交AB、CD于点E,F，求证：OE=OF例6. 如图，已知：，.求证：点B是线段AC的中点.例7.如图，已知：，直
9、线DC过E点交AD于D，交BC于C.求证：.提升练习：1、如图，已知：，.求证：.2. 如图，已知： AD为的高，且，F为AD上一点，连结BF并延长交AC于E，. 求证：C E B A F D 3. 如图所示：在ABC和DBC中，ACB=DBC=,E是BC的中点，EFAB,垂足为F，且AB=DE. （1）求证：BD=BC; （2）若BD=8cm，求AC的长.A C B DD E F O 4. 某人在河的一岸，要测河面一只船B与码头A距离，他的做法是：（1）在岸边确定一点C，使C与A、B在同一直线上，（2）在AC的垂直方向画线段CD，取其中点O，（3）画DFCD，使F、O、A在同一直线上，（4）
10、在线段DF上找到一点E，使E与O、B共线.他说只要测出线段EF的长就是船B与码头A的距离.他这样做有道理吗？为什么？A C F D E BB 5. 如图，在ABC中，ACBC,AC=BC,D为AB上一点，AFCD交CD的延长线于F，BECD于E.求证：EF=BEAF4、“HL”D A E F B C 例1. 如图，已知AB=CD，DEAC,BFAC,DE=BF，求证：ABCD.B F G C D E A 例2. 如图，ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，BD=CE，DFBC于点F,EGBC,于点G，且DF=EG.求证：BE=CD.BB C A E D F G 例3如图，AB=AC,点D
11、、E分别在AC、AB上，AGBD,AFCE,垂足分别为G、F，且AG=AF. 求证：AD=AE.【拓展提升】 A D B C 1. 已知，如图，ABC和都是锐角三角形，CD、分别是高，且,.求证：ABC .2、如果ABC和都是钝角三角形，其余条件不变，结论：“ABC ”还成立吗？3、如图，已知：,.求证：点B是线段AC的中点.典型题型分析巩固练习：1. 如图，已知：求证：. 2. 如图，已知：求证：.3. 如图，已知：D、E是BC上的两点，且求证：.4已知：在中，M在BC上，D在AM上，（如图）求证：5. 如图所示，已知，E是AC上一点. 求证：. 6.已知：（如图）. 求证：7. 如图，已知：，直线AE，BD相交于点C，交BD于F.求证：.8. 如图，已知：，EF过点O.求证：.10. 如图，已知：在中，AD是的平分线，于E，于C，求证：.C D A E F B 11. 如图：ACBC,ADBD,AD=BC,CEAB,DFAB,垂足分别是E,F，求证：CE=DF.第 7 页 共 7 页
