《第7讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第7讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 7 讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、知识梳理1离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为Xx1X2 x. i xnPPlP2 Pi Pr n(1)均值称E(X)= x+xqP：xpix”pn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差n称D(X)= 厶厂E(X)2pp为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的i1平均偏离程度，并称其算术平方根-】DX)为随机变量X的标准差.2均值与方差的性质(1) E(aX+ b)=aE(X)+b.(2) D(aX+b)=a2D(X). (a, b 为常数)3 两点分布与
2、二项分布的均值、方差(1) 若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p, D(X)=p(1-p).(2) 若 XB(n, p),则 E(X)=np, D(X)=np(1 -p).4 正态曲线的特点(1) 曲线位于x轴上方，与x轴不相交.(2) 曲线是单峰的，它关于直线x=“对称.曲线在x=处达到峰值十爲-(4) 曲线与x轴之间的面积为1.(5) 当o 一定时，曲线的位置由“确定，曲线随着“的变化而沿x轴平移.(6) 当“ 一定时，曲线的形状由o确定.o越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集 中；o越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.常用结论均值与方差的七个常用性质若Y=aX+b,其中a
3、, b是常数，X是随机变量，则(1)E(k)=k, D(k) = 0,其中 k 为常数.(2) E(aX+b)=aE(X)+b, D(aX+b)=a2D(X).(3) E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).(4) D(X)=E(X2) (E(X)2.若 X1，X2相互独立，则 E(X X2)=E(X).E(X2).若X服从两点分布，则E(X)=p, D(X)=p(1p).(7)若 X 服从二项分布，即 XB(n, p),则 E(X)=np, D(X)=np(1 p).二、教材衍化1. 已知X的分布列为X-101111PJL236设 Y= 2X+ 3，则 E(Y)= 解析：e(x)=-|+6
4、=-|,E(y)=E(2X+3)=2E(X) + 3=-|+3=|.7答案：32. 甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X, Y其分布列分别为X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是解析：E(X) = 0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1 = 1.E(y)= 0X0.3 + 1X0.5+2X0.2=0.9, 因为E(Y)2cl)=P(X2c-1)=P(Xc+3),4所以 2c1+c+3 = 3X2,所以 c=3-答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“厂，错误的打“X”)(1) 随机变量的均
5、值是常数,样本的平均数是随机变量,它不确定. ()(2) 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()(3) 正态分布中的参数“和o完全确定了正态分布，参数“是正态分布的均值，o是正态分布的标准差()(4) 一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布()(5) 均值是算术平均数概念的推广，与概率无关()答案：(1”(2)V (3)V (4)V (5)X二、易错纠偏常见误区| (1)期望、方差的性质不熟导致错误；(2) 二项分布的数学期望公式用法不当；(3) 求错分布列，导致E(
6、勺出错.1. 已知两个随机变量X,Y满足X+2Y=4,且XN(1,22),则E(Y),D(Y)依次是.X解析：由 XN(1, 22)得 E(X)=1, D(X)=4.又 X+2Y=4,所以 Y=2，所以 E(Y) = 2131e(x)=2, d(y)=4D(x)=13答案：2，12. 在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立2完成所抽取的3道题.乙能正确完成每道题的概率为3,且每道题完成与否互不影响.记乙 能答对的题数为Y,则Y的数学期望为.解析：由题意知Y的可能取值为0, 1, 2, 3,且YB(3, I)，则E(Y) = 3x|=2. 答案： 23. 一个人
7、将编号为1, 2, 3, 4的四个小球随机放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时就放对了,否则就放错了.设放对个数 记为5则乙的期望值为.解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有Ag种不同放法，93放对的个数 可取的值有0, 1, 2, 4,其中P(=O)=A4=8，C1X21C2111311P(=1)= A4 =I，p(=2)=A4=4，P(=4) = A4 = 24，e(O = 0X8+1X| + 2X4 + 4X24=1.答案： 1考点一 均值与方差的计算（基础型、复习指导| 理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的
8、概念.核心素养：数学运算A. 91.已知某离散型随机变量X服从的分布列如表，则随机变量X的方差D（X）等于（、X01Pm2mB.29D.C解析：选B.法由m+2m= 1得3,1 2 2所以 e(x)=ox3+ix=3.(2、21 (2、2 2 2D=0-3丿遐+(1-3丿七=2法二：由 m+2m= 1 得 m=3,2 一-222根据两点分布的期望和方差公式可得e（x）=3，d（x）=3X2.有10张卡片，其中8张标有数字2， 2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3 张卡片上的数字之和为X则X的数学期望是（）A. 7.8B. 8C. 16D. 15.6解析：选A. X的取值为6, 9, 12
9、,相应的概率宀_6、_8_丄 （v_9、_CO_ZP（X=6） = c3： =15, P（X=9）=苛=15，丄15.( = 6送+9送十1215=7.8.3. 某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某 个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成 语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1 分，猜不对得0 分，这两个 同学各猜1次，则他们的得分之和X的数学期望为（）A0.9B0.8C1.2D1.1解析：选 A.由题意，X=0, 1, 2,贝q P(X=0) = 0.6X0.5 = 0.3, P(X=1) =
10、 0.4X0.5 +0.6X0.5 = 0.5, P(X=2)=0.4X0.5 = 0.2,所以 E(X)=O X 0.3 +1 X 0.5+2 X 0.2=09求均值与方差的方法技巧技巧方法适用题型巧用特殊分布列利用相应公式直接求解两点分布、二项分布巧借性质利用 E(aX+b)=aE(X)+bD(aX+b)=a2D(X)两随机变量有明确的线性关系利用公式D(X)=E(X2)-E(X)2计算复杂的方差考点二 二项分布的均值与方差（应用型） 复习指导| 能计算二项分布的均值与方差 核心素养： 数学建模雾霾天气对人体健康有伤害，应对雾 霾污染、改善空气质量的首要任务是控制 PM 2.5，要从压减燃
11、煤、严格控车、调整产业、 强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措，聚焦重点领域，严格考核指标某省 环保部门为加强环境执法监管，派遣四个不同的专家组对A、B、C三个城市进行治霾落实 情况抽查(1) 若每个专家组随机选取一个城市，四个专家组选取的城市可以相同，也可以不同， 求恰有一个城市没有专家组选取的概率；(2) 每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价，并对所选取的城市进行评 价，每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为2若四个专家组均评价为优则检查通过 不用复检，否则需进行复检.设需进行复检的城市的个数为X,求X的分布列和期望.【解】(1)随机选取，共有34=81种不同方法,
12、恰有一个城市没有专家组选取的有C3(C4A+C4)=42种不同方法,故恰有一个城市没有专家组选取的概率为42811427-设事件A: “一个城市需复检”，则P(A) = 1g)4=16，X的所有可能取值为0,1,2， 3， p(x=o)=c3 (苟=4_096, P(X=1)=C3 (苟丫1!) =4096? P(X=2)=C3 (刊 (132= 675=4 096,P(X=3)=C3 = 3 375=4 096-所以X的分布列为X0123P1456753 3754 0964 0964 0964 096XB(3, -J5), E(X) = 3X15=4516 = 16(1) 求离散型随机变量d
13、的均值与方差的步骤 理解d的意义，写出d可能的全部取值； 求d取每个值的概率； 写出 d 的分布列； 由均值的定义求E(d); 由方差的定义求D(d).(2) 二项分布的期望与方差如果dB(n，p)，则用公式E(d)=np； D(d)=np(1p)求解，可大大减少计算量.提醒均值E(X)由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不 变的，它描述X取值的平均水平.电子商务在我国发展迅猛，网上购物 成为很多人的选择某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供您选择(其中有1 种为草莓口味)小王点击进入网页一看， 只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行 选择(各种口味的高级口香糖均超过三瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网 页自动补充相应的口香糖)(1)小王花 10 元钱买三瓶，请问小王收到货的组合方式共有多少种？(2)小王花 10 元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的 瓶数d的分布列，并计算其数学期望和方差.解：(1)若三瓶口味均不一样，有C? = 56(种)；若其中两瓶口味一样，有CC7=56(种)；若三瓶口味一样， 有 8 种故小王收到货的组合方式共有56+56+8 = 120(种).(2)d所有可能的取值为0, 1, 2, 3.因为各
