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1、第四章四边形综合知识点：一、平行四边形1、平行四边形（1）平行四边形定义： （2）平行四边形的性质： 对称性（3）平行四边形的判定：2、菱形（1）菱形定义： （2）菱形的性质： 对称性菱形的面积=（3）菱形的判定：3、矩形（1）矩形定义： （2）矩形的性质： 对称性（3）矩形的判定： 4、正方形（1）正方形定义： （2）正方形的性质： 对称性（3）正方形的判定： 二、梯形梯形的分类：（1）等腰梯形定义： （2）等腰梯形性质： 对称性（3）等腰梯形的判定： 例题解析:例1、.下列说法：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。
2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 顺次连结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是()(A).(B).(C)(D)。例2、已知：如图，在 口ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG/ DB交CB勺延长线于 G.(1) 求证： ADE CBF;例3、如图，过四边形 ABCD的四个顶点分别作对角线AC、BD的平行线，所围成的四边形 EFGH显然是平(2 )若四边形 BEDF是菱形，则四边形 AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.EFGH定是“菱形、矩形、正ABCD必须满G行四边形.(1 )当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形 方形
3、”中的哪一种？请将你的结论填入下表：四边形ABCD菱形矩形等腰梯形平行四边形EFGH(2) 反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形足怎样的条件?例 4、如图所示，=ABCD中,AE,AF是高，/ BAE=30o,BE=2,CF=1,DE交 AF于 G.求 ABCD的面积；(2)求厶ECD的面积;(3)求证: AEG为等边三角形例 5、矩形 ABCDh AB=2, AD= .3 .(1) 在边CD上找一点E,使EB平分/ AEC并加以说明;(2 )若P为BC边上一点，且 BF=2CR连接EP并延长交AB的延长线于F. 求证：点B平分线段AF 、PAE能否由
4、 PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由.I例6、如图，P是边长为1的正方形ABCD寸角线AC上一动点(P与A、C不重合)，点E在射线BC上，且PE=PB(1 )求证： PE=PD; PEL PD(2) 设AP=x, PBE的面积为y.求出y关于x的函数关系式4D例7、如图，已知 AD与 BC相交于 E,Z仁/ 2=7 3, BD=CD / ADB=90 , CH丄 AB 于 H, CH交 AD 于 F.1求证：CD/ AB; (2)求证：BDE ACE 若0为AB中点，求证：0F=? BE.图1E例8如图1，操作：把正方形 CGEF的对角线CE
5、放在正方形ABCD勺边BC的延长线上(CG BC),取线段 AE的中点 M(1) 探究：线段 MD MF的关系，并加以证明。(2) 在你经历说明(1)的过程之后，可以从下列、 中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。 DM的延长线交 CE于点N,且AD= NE 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45(如图2)，其他条件不变；在的条件下且CF= 2ADb(3) 将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图MF的关系，并加以证明。课后练习：一、 选择题1、下列命题中，正确的是(A一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形；B一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；C对角线互相平分且相等的四边
6、形一定是正方形；D两条对角线相等的四边形是矩形.2、如果顺次连接四边形各边中点所围成的四边形是矩形，那么原来的四边形一定是（）A平行四边形； B梯形；C对角线相等的四边形；D对角线垂直的四边形3、 若等腰梯形的对角线互相垂直，且中位线长是10,则它的面积为（）A、50 B 、100 C 、150 D 、2004、 下列图形中，面积最大的是（）A、边长为.3的正方形 B 、边长为2,高为1的平行四边形C、对角线长分别为 4和1的菱形 D、中位线长为2,高为2的梯形。5、 七边形的对角线的条数是（）A 10 B12C14 D 166、下列图形中,既是中心对称图形,又是轴对称图形的是（）A平行四边形
7、B等边三角形 C矩形D等腰梯形7、如图 5，在梯形 ABC中, AD/ BC, AC丄 BD,（1） 四边形ACED!平行四边形 （ 2）ZAC=3cm BD=4cm作DE/ AC,交BC勺延长线于E,则下列结论： BDEW BOC=90;(2) BC+AD=BE=5cm;梯形 ABC的高DH=BD 匹=2.4cm,面积为 6cm2； EB（5） S 梯形 abc=Sa BDE。 其中正确的有（A 5个 B 4 个 C 3 个D 2&如图，是由两个正方形组成的长方形花坛中点0走到正方形OCDF的中心O1，再从中心O1走到正方形OFH的中心 02IHJ的中心03,再从。3走到正方形 O3KJP的
8、中心O4,共走了 则长方形花坛ABCD勺周长是（）A. 36m B . 48m C . 96cm D . 60m9、把长为8cm的矩形按虚线对折， 按图中的虚线剪出一个直角梯形， 得到一个等腰梯形，剪掉部分的面积为 6cnt则打开后梯形的周长疋ABCD小明从顶点 A沿着花坛间小路走到长边中点O,再从02,又从中心。2走到正方形A. (10 2、13) cmB. (1013) cmC. 22cmD. 18cm13。，若AC=5, BD=12，中位线长为三， AOB的面积为S,)D. .6510、在梯形 ABCD中，AB / CD,AC BD相交于点 COD的面积为S2，则.S的值为（A. 30B
9、.35C. 215二、填空题1、 一个多边形内角和为 1440，则它的边数为 ，共有对角线 条，外角和为 2、 一个多边形除去一个内角外，其余内角的和为25700,则这个多边形的边数是 .3、?如图，？是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动的菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm 则/ 1=4 .如图，矩形ABCD中，0是两对角线交点,5、如图，正方形AE丄 BD 垂足为 E。若 OE: 0D=1: 2, AE= 3 cm,贝U DE EF1cm.1ABCD的边长为1, EF分别在BC CD上，/ EAF=45d,若厶CEF的面积为一，则 EAF的4面积为6、如图，正方
10、形 ABCD以AB为边分别在正方形内、外作等边 ABE ABF,则/ CFB=若AB=4,贝y s四边形afbe =.7、如图，梯形 ABCD 中，AB / DC , ADCBCD =90：，且DC =2AB，分别以DA, AB, BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为s, S2, S，贝u 3, S2, S3之间的关系是.&如图，菱形AB1C1D1的边长为1，/B =60 ；作AD 2 -BCf 1于点D2,以AD2为一边，做第二个菱形 AB2C2D2，使 B60 ；作AD3 _BC2P于点D3，以AD3为一边做第三个菱形 AB3C3D3，使 B6 ；依此类推，这样做的第 n个菱形ABnCn
11、Dn的边ADn的长1是.9、如图，矩形 ABCD 中，AB=3cm, AD = 6cm，点 E为AB边上的任意一点，四边形EFGB也是矩形，且2EF = 2 BE，则 Saafc =cm .10、如图，点 A在线段BG上，四边形 ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7平方厘米和11平方厘米。则 CDE的面积等于平方厘米三、解答题BAG1、如图，已知：在四边形ABFC中，.ACB =90 , BC的垂直平分线 EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE(1)试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形当.A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论FDC4、如图，平行四
12、边形 ABCD中，AB_AC , AB=1, BC ,5 对角线 线AC绕点0顺时针旋转，分别交 BC, AD于点E, F (1) 证明：当旋转角为 90时，四边形 ABEF是平行四边形；(2) 试说明在旋转过程中，线段 AF与EC总保持相等；(3) 在旋转过程中，四边形 BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由； 如果能，说明理由并求出此时 AC绕点0顺时针旋转的度数.5、如图甲，四边形 ABCD是等腰梯形，AB/ DC由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.(1) 求四边形ABCD四个内角的度数；(2) 试探究四边形 ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；(3) 现有图
13、甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，？请你画出示意图.2、如图，矩形 ABCD中，0是AC与BD的交点，过 0点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于 E，F .(1) 求证： BOE = DOF ；(2) 当EF与AC满足什么关系时，以 A E, C, F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.3、梯形ABCD中, AB/ CD E是AD的中点，证明 如果 AB+CD=BC则有/ DEC=90和CE是/ DCB的平分线 如果/ BEC=90，则有 AB+CD=BC在 RtA ABC 与 Rt ABDB 若 DEC的面积是12,求梯形ADCB勺面积 ABC二.BAD =90；, AD =BC, AC, BD相交于点G ,过点A作AE / DB交CB的延长线于点E ,过点B作BF / CA交DA的延长线于点F, AE, BF相交于点H (1 )图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；(不添加任何辅助线)(2) 证明四边形 AHBG是菱形；(3) 若使四边形 AHBG是正方形，还需在 Rt ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条 件.(不必证明)7、如图，在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , AB=DC=5, AD =6 , BC =12 动点
