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1、第一章 概率论的基本概论确定现象:在一定条件下必然发生的现象,如向上抛一石子必然下落,等随机现象:称某一现象是“随机的”,如果该现象(事件或试验)的结果是不能确切地预测的。由此产生的概念有:随机现象,随机事件,随机试验。例:有一位科学家,他通晓现有的所有学科,如果对一项试验(比如:掷硬币),该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果(是正面朝上还是反面朝上),这一实验就是随机实验,其结果是“随机的”-为一随机事件。例:明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的,其结果为随机事件。随机现象的结果(随机事件)的随机度如何解释或如何量化呢?这就要引入”概率”的概念。概率的描述性定义:对于一随机事件
2、A,用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小,这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。1.1 随机试验序号条件观察特性可能结果E1抛一枚硬币正、反面出现的情况正面H,反面TE2将一枚硬币抛掷三次正、反面出现的情况HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTTE3同上出现正面的次数0,1,2,3E4抛一颗骰子出现的点数1, 2, 3,4,5,6E5记录电话交换机呼唤次数一分钟内接到的呼唤次数0,1,2,3,.E6一批灯泡中任抽取一次测量使用寿命非负实数E7记录某地昼夜温度最高和最低温度以上试验的共同特点是:1试验可以在相同的条件下重复进行;2试验的全部可能结果不止一个,并且
3、在试验之前能明确知道所有的可能结果;3每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个,但某一次试验究竟发生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验,它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验,简称试验,记E。1.2样本空间与随机事件(一) 样本空间与基本事件E的一个可能结果称为E的一个基本事件,记为,e等。E的基本事件全体构成的集,称为E的样本空间,记为S或,即:S=|为E的基本事件,=e.注意:的完备性,互斥性特点。例:1.1中试验E- E7E:S=H,T E:S= HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT
4、 E:S=0,1,2,3 E:S=1,2,3,4,5,6 E: S=0,1,2,3, E:S=t E7:S=(二) 随机事件 我们把试验E 的全部可能结果中某一确定的部分称为随机事件。记为 事件是由基本事件组成的,事件是样本空间的子集。集合论集合 点 子集概率论S A 在一次试验中,事件A 发生的含义是,当且仅当A 中的某一个基本事件发生。事件A 发生也称为事件A 出现。 必然事件:S 不可能事件: 例1.(P4) 在E2中事件A1:”第一次出现是的H”,即:(三) 事件的关系与运算 设E 的S ,A ,B, 123457。 记。(常用的关系) 补充1 2 3 吸收律 若,则特别注意: 德莫根
5、律(对偶公式)推广:,。例2:P6,在例1中.其它例子:例3:设甲中,乙中,问与各表示什么事件?是否是相等事件?留为练习例4:一射手向目标射击3发子弹,表示第i次射击打中目标。试用及其运算表示下列事件:(1)“三发子弹都打中目标”;(2)“三发子弹都未打中目标”;(3)“三发子弹至少有一发打中目标”;(4)“三发子弹恰好有一发打中目标”;(5)“三发子弹至多有一发打中目标”.留为练习1.3 概率与频率(一) 事件的频率及其稳定性 设某试验的样本空间为,为E的一个事件。把试验E重复进行了n次,在这n次试验中,A发生的次数称为A的频数。称为事件A在n次试验中发生的频率,记作:。 频率的基本性质(1
6、) 对任意事件A,有;(2) ,;(3) 若是互不相容的,则,推论:对任一事件A,有。实践证明:当试验次数n很大时,事件A的频率几乎稳定地接近一个常数p。频率的这种性质称为频率的稳定性,它是事件本身所固有的。书上p89页例1,2.概率的频率定义 定义1.1 在一组不变的条件下,重复作n次试验,记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时,如果频率稳定地在某数值p附近摆动,而且一般地说,随着试验次数的增加,这种摆动的幅度越来越小,则称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率,记作p。补充:概率的几种度量方法事件A的概率,记为P(A),表示该事件发生的可能性大小,是事件的一个非负实值函
7、数,满足某种概率进行代数运算的公理。 对概率P(A)有几种不同的度量方法:前面给出了用频率度量概率的方法,也称为古典概率度量。还是二种度量方法。1. 几何概率度量表示”在区域中随机取一点,而该点落在区域g中”这一事件。例:这时,可以是整个园:测度为面积;也可以是整个园周:测度为长度。2. 主观概率度量对事件A的信念度称为这一事件的概率P(A).主观概率(信念度)是通过相对似然的概念来运算的。 例如:见朱手稿。现通过例子说明此方法:例1:事件A”明天下午3点深圳市区有雨”,求P(A): 即求A的主观概率;现有一大转盘,标有红色区域,事件B:”指针落在红色区域”。让你选择A发生还是B发生的可能性大
8、,为了迫使你选择,有这样的将励机制,。选择对的话,将10万元。 红色区域 如果开始时,红色区域充满整个园,你当然要选B发生的可能性大,逐步调节红色区域的大小,渐渐缩小,。等到选A或B都一样时停止,这时,可以由B的几何概率作为A的主观概率。当你对选A或B谁发生的可能性大没有偏好时,。例2. 假如你面临以下两种选择:1.如果事件A发生,你将得到少量的报酬R;否则没有报酬。2.参加抽奖,你赢得一份小报酬R的概率为P,但是你输或者说你得不到报酬的概率为1-P。如果你对1,2两种选择没有偏好,那么你判断事件A发生的概率为P.(主观)(二) 概率的公理化定义概率的公理化定义 定义1.2 设试验E的样本空间
9、为S,如果对每一个事件A都有一个实数与之对应,且满足下面三条公理:公理1(非负性):对任一事件A,有;公理2(规范性):对必然事件S,有;公理3(完全可加性)若可列无穷多个事件互不相容,则,那么称为事件A的概率。 概率的性质(1);(2)有限可加性: 若互不相容,则; (3)对事件A,都有;(4) 若,则 ; ; 特别的,对任何事件A,都有;(5) 对任何两个事件A,B,都有 ;(6) 对任何n个事件,都有例10-12为第一版上的例子。例10: A,B是E中二个事件,已知 ,求 解:例11:在某城市的居民中订购报纸的情况是:订购A报的占45%,订购B报的占35%;订购C报的占30%,同时订购A
10、,B的占10%,同时订购A,C的占8%,同时订购B,C的占5%,同时订购A,B,C的占3%。求下列事件的概率(百分率)(1)只订购A报纸的;(2)至少订一种报纸的。 例12:在所有的两位数(即从10至99)中,任取一个数,求这个数能被2或者3整除的概率。 1.4 等可能概型(古典概型)一、古典概率1古典概型与计算公式 E满足: S中基本事件个数是有限的n ; 每个基本事件发生是等可能的.称E为古典概型。 E中事件A包含k个基本事件,则A发生的概率为P(A). 2古典概率的基本性质 设E是古典概型,其样本空间为,A,A,A,A是E中事件: 0P(A)1 P(S)=1,P()=0 若A,A,A是互
11、不相容的事件,则有P; 推论: P(A)=1- P()。 例1 P13,将一枚硬币掷三次,。P14-17 例27.照书上讲。以下例4-9为第一版上的例子:例4:E中求任取一球的号码为偶数的概率。解:设A=所取的球的号码为偶数= w2,w4,w6 即A中基本事件数k=3,于是P(A)=.例5:(1.10)在一袋中有10 个相同的球,分别标有号码。每次任取一个球,记录其号码后放回袋中,再任取下一个。这种取法叫做“有放回抽取”。今有放回抽取3个球,求这3个球的号码均为偶数的概率。例6:(1.11) 在一袋中有10 个相同的球,分别标有号码。每次任取一个球,记录其号码后不放回袋中,再任取下一个。这种取
12、法叫做“不放回抽取”。今不放回抽取3个球,求这3个球的号码均为偶数的概率。 例7:盒中有a个红球,b个白球(a2 , b1),每次从中任取一球,不放回地连取三次,求下列事件的概率:(1) “ 取出的三个球依次为红,白,红色球 ”A ;(2)“ 取出的三个球有两个是红色球 ”B . 例:(1.13) 在一袋中有10 个相同的球,分别标有号码。今任取两个球,求取得的第一个球号码为奇数,第二个球号码为偶数的概率。 例8:(1.14)设一批同类型的产品共有件,其中次品有件。今从中任取(假定)件,求次品恰有件的概率 例9:一箱内装有同类产品六件(其中4件是正品,二件是次品)。从中每次取一件,连取两次。求
13、下列事件的概率:(1)“ 取到的两件产品的质量是相同的 ”A ;(2)“取到的两件产品至少有一件是正品”B .1.5条件概率(一) 条件概率例1 将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况,设事件A为”到少有一次为H”, 事件B为”两次掷出同一面”。现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。解:样本空间为S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT于是在A发生的条件下B发生的概率(记为P(B/A))为:P(B/A)=1/3注意到:易知:1. 定义:设A,B为E中的二个事件,且,则在事件A已发生的条件下,事件B发生的条件概率定义为:.同样若,则。2. 性质(定理)如果,则是概率.3. 计算方法法一:公式计算法;法二:直接计算法.不难验证,条件概率P(/A)符合概率定义中的三个条件:1.非负性2.完全性3.可加性P19例2 P19,。下面的例11-13为第一版。例11:甲乙二厂同生产一种零件,分放在