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1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! 目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11反函数的定义及其性质11.1反函数的定义11.2反函数的性质21.2.1反函数的简单性质21.2.2关于反函数图像的性质31.2.3反函数的连续性与可微性52反函数存在性的判定62.1反函数存在性判定（一）62.1反函数存在性判定（二）63反函数的求法83.1反函数的一般求法83.2几类特殊函数的反函数的求解93.2.1周期函数的反函数93.2.2分段函数的反函数113.2.3复合函数的反函数12参考文献14致谢14如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!如果您需要使用本文档，请点击
2、下载按钮下载!函数的反函数的存在性及其求法 数学与应用数学专业 薛 云 指导老师 武秀美摘要 反函数是数学中的一个重要概念,文章分三部分阐述了反函数的概念、存在条件及其求法.首先,文章从不同角度给出了反函数的定义；其次,文章详细阐述了反函数的存在条件,从图像、定义及单调性等多方面加以论述；最后,文章给出了反函数的求法一般的步骤,并在此基础上介绍了一些特殊函数的反函数的求法.关键词 反函数 周期函数 反函数存在性定理 The Existence and Solution of Inverse Function of FunctionsStudent majoring in Mathematics
3、 and applied mathematics Xue Yun Tutor Wu XiumeiAbstract The inverse function is an important concept in mathematics. This article has three parts about the concept of inverse function, the condition of existence of inverse function and the solution of inverse function. First, it gives the definitio
4、n of inverse function, secondly, it gives the conditions of existence of inverse function and descries this aspects from image, definition and monotonicity. Finally, it gives the method of solution of inverse function and introduces the solution of the inverse function of some special functions.Key
5、words Inverse function Periodic function Existence theorem of inverse function 引言函数是数学中的一个基本概念,对函数的性质、图像及其相关问题的研究自然地引发了对函数的反函数的探讨；同时在生活中,函数的反函数也占有较为重要的地位,但是反函数的定义很抽象,难于理解,中学数学中有一些基本的反函数的知识,在现有的数学分析和高等数学教科书中,也都有对反函数的简要介绍,但都不做重点讲述,这使对反函数的系统理解和应用更加不利.这篇文章在总结前例的基础上,对反函数的定义、性质、图像、存在性、求法等进行了详细地讨论.1 反函数的定义
6、及其性质1.1 反函数的定义定义 一般地,式子表示是自变量的函数,设它的定义域为,值域为.从式子中解出,得到式子.如果对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯一确定的值和它对应,那么式子如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!就表示是自变量的函数,这样的函数叫做的反函数,记作:,即.习惯上改写为,此时是自变量,为函数.定义 对于函数或者,若任意,有（或）,那么就出现下述情况:对于集合中的每个数,集合中有且仅有一个数,使得.如果就让这个数与相对应,便立刻得到一个定义在上的新函数,称为的的反函数,记作:或者.1.2 反函数的性质1.2.1反函数的简单性质由定义1和定义2易得,若函数存在反函数,
7、则其反函数是唯一的；反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域；函数和互为反函数.除此之外,函数的反函数还有以下性质:性质1 根据定义2,有.注1 和不一定是同一函数,只有当时,即的定义域与值域相同时,才可以看作是同一函数.对这一性质的理解,有助于解决一些十分繁琐的问题.例题1 已知函数,求和的值.分析 如果利用反函数的定义1,先解出,再把变换成代入,求第一式,把代入求第二式,此题将十分繁琐,计算量很大.此时,利用性质1,有=,可轻松解出答案.性质2 如果一个函数存在反函数,则原函数与其反函数在各自定义域内具有相同的单调性.设函数的定义域为,值域为,且为上的单调增函数,其反函数为如果您需要
8、使用本文档，请点击下载按钮下载!,求证:为上的增函数.证明 取任意且,因为为增函数,所以,即在上有 使得.由反函数的定义1得 因为 所以.综上所述,当时有,故是上的增函数.同理可证减函数的情况.例题2 （2008高考天津（理）设函数的反函数为,则（ ）.A. 在其定义域上是增函数,且最大值为1.B. 在其定义域上是减函数,且最小值为0.C. 在其定义域上是减函数,且最大值为1.D. 在其定义域上是增函数,且最小值为0.解 函数为增函数,由性质2得也为增函数；由互为反函数的的两个函数的定义域和值域互换,的定义域为0,1）,可得的值域为0,1）,故的最小值为0,答案为.性质3 存在反函数的奇函数其
9、反函数仍为奇函数；而偶函数一般不存在反函数,除外,它的反函数为.注2 对于偶函数一般不存在反函数的描述和反函数的定义2是吻合的,周期函数和一般偶函数都是一个值对应多个值,所以这些函数在其定义域上没有反函数,但是,将函数限定在定义域的某个子集上,就可能存在反函数.1.2.2关于反函数图像的性质性质4 互为反函数的两个函数图像关于直线对称.注3 （1）理解性质4时应注意,这里的反函数是指经过习惯性改写后的反函数,即把,对调后的反函数；如果不经对调,则原函数与其反函数的图像在同一坐标系内是相同的.如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载! （2）一般情况下,原函数与其反函数的解析式是不同的,但也有一
10、些函数外,即对定义域内的任意,都有,这样的函数称为自反函数,显然,自反函数的定义域和值域相等,原函数与反函数图像重合.例如等函数都是自反函数.（3）由此性质引出了互为反函数的两个函数图像交点问题,各种情况分类如下:1) 两图像没有交点.例如指数函数和它的反函数,即对数函数就没有交点.2) 两图像的交点只在直线上.例如函数和它的反函数图像有两个交点都在上.3) 两图像的交点都不在直线上.例如和它的反函数的图像重合,有无数个交点,但交点都不在直线上.4) 两图像的交点有的在直线上,有的在直线外.例如函数和它的反函数就有三个交点,一个在直线上,两个不在其上.由几何画板给出他们的图像如下:如果您需要使
11、用本文档，请点击下载按钮下载!可以清晰地看到三个交点.总结以上情况,可以归纳出以下两条结论:结论1 互为反函数的增函数,若两函数图像有交点,则交点定在直线上；求交点坐标可解方程组或.结论2 互为反函数的函数不是增函数,若两函数图像有交点,则交点以直线为对称轴成对出现；求交点坐标时应解方程组,以防漏解.例题3 已知函数与其反函数的图像没有公共交点,求实数的取值范围.解 首先容易看出为其定义域上的增函数,则根据结论1,与同解,题目可化为方程无解,求实数的取值范围.化简方程得,令解出.例题4 解方程.分析 若用传统方法将方程化为,解这个高次方程将十分困难.此时,我们发现令,则的反函数为,上述方程就是
12、求这两个函数图像的交点横坐标,由于两函数为增函数,则可化为,解这个方程得,因为,故即是原方程的解.例题5 求与其反函数的交点坐标.解 首先,在其定义域上为减函数,故不能用结论1.根据反函数的定义1反解出,联立方程,解得,交点坐标为（0,0）,（1,-1）,（-1,1）.1.2.3反函数的连续性与可微性如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!性质 连续函数的反函数也是连续函数.性质 如果函数在某区间上连续、可导且,并且存在反函数,那么它的反函数在对应的区间内也可导,且有,即反函数的导数等于原函数导数的倒数.证明详细参见参考文献3.2 反函数存在性的判定2.1 反函数存在性判定（一）并非所有函数
13、都有反函数,对于函数的反函数的存在性的判定,有以下结论:定理 严格单调函数必存在反函数.证明 设在数集上有定义,值域为,且为上的严格增（减）函数,由函数的定义得:使得成立.取且,因为为上的严格增（减）函数,所以 即当时,有,这就证明了严格单调函数必存在反函数.注4 这条定理是充分不必要的,即存在反函数的函数不一定是严格单调的,非严格单调的函数也可能存在反函数,例如在整个定义域上不是严格单调的,但它有反函数,且它为自反函数.推论1 当连续时,严格单调是函数存在反函数的充要条件.例题6 证明函数存在反函数.证明 取任意 则因为 故,即为严格减函数,根据定理1得,存在反函数.2.1 反函数存在性判定
14、（二）如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!当的单调性利用单调性的定义不容易确定时,这条定理就无能为力了,例如判断是否存在反函数,根据定理1,取任意,则虽然,但的符号很难判断,也就无法判断的单调性,下面我们给出判定反函数存在的其他方法.定理（反函数存在性定理）若在的某邻域内有连续的导函数且,则一定能在的某邻域内存在反函数.证明 在的某邻域内有连续的导函数,则在的这个邻域内是连续函数,又即则在的某个邻域内是严格增（减）函数,根据定理1,可得定能在的某个邻域内存在反函数.由定理2再判断是否存在反函数,因为,所以,根据定理2 存在反函数.定理3 函数存在反函数的充要条件是函数的映射是一一映射.这
15、条定理可直接由反函数的定义2得出,这种一一映射的关系可以在函数图像上反映出来.推论2 函数存在反函数的充要条件是直线与函数的图像最多有一个交点.注5 对于推论的理解,可以设的值域为,则当时,（为常数）与有且仅有一个交点；当时,与没有交点.这条推论的应用可实现数形结合,大量减少代数运算.例题7 判断双曲余弦函数和双曲余切函数在其定义域上是否存在反函数.如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!解 双曲余弦函数和双曲余切函数都是初等函数,画出它们的图像分别为: 当时,直线与有两个交点,根据定理3推论双曲余弦函数在定义域上不存在反函数.对于,当时,与没有交点,当时,与有且仅有一个交点,根据定理3推论,双曲余切函数在定义域上存在反函数.3 反函数的求法3.1 反函数的
