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1、（人教版）精品数学教学资料第二章基本初等函数()2.1指数函数【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹x1为判底线，交点y标看小大重视数形结合法，横轴上面图象察此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心如图所示的就是上面举的指数函数的图象不难看出，它们就像一束花每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实当a1时，从左往右看指数函数yax的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数yax是增
2、函数；当0a1与0a10a0y1；x00y00y1；x1在R上是增函数在R上是减函数三、图象应用1比较大小例1 若a0，则2a，()a,0.2a的大小顺序是_解析分别作出函数y2x，y()x和y0.2x的图象，如图所示，从图象可以看出，当a()a2a.答案0.2a()a2a点评本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y1及指数函数图象的走向正确作图：当a1时，底数a越大图象越陡；当0a0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_解析当a1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知12a2，即a1矛盾当0a1时，同样通过平移变换和翻折变
3、换可得如图2所示的图象，则由图可知12a2，即a1，即为所求答案a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.注意点1：为什么要规定a0且a1呢？(1)若a0，则当x0时，ax0；当x0时，ax无意义(2)若a0且a1.在规定以后，对于任意xR，ax都有意义，且ax0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0，)注意点2：函数y3()x是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式yax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如yaxk(a0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如yax(a0且a1)，因为它可以化为y()x，其中0，且1.学习根式和分数指数
4、幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换如当a0时，()m，而当a0时，则不一定可换，应视m，n的情况而定(2)分数指数幂不能对指数随意约分(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析例4 设f(x)，且0a1，求f(a)的值错解f(a) a.剖析在开方运算中忽视根式
5、的两个重要性质：(1)当n为奇数时，a；(2)当n为偶数时，|a|性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n为偶数，所以不论a取怎样的值，总有意义因此在上面的解答中应有：由00)；(3)aa；(4)(8)(8)2；(5).A0 B1 C2 D3请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原因剖析忽视运算性质致错：(1)应为(a3)2a6，比如，(23)28229；(2)应为aaaa.忽视字母的取值范围致错：(3)应为a|a|，比如(2)应是一个正数，而(2)却是一个负数在分数指数幂与根式的化简中致错：(4)显然应是一个正数，这里(8)(8)；(5)显然.故答案为A.教材中，规定了正分数指数幂
6、的意义a(a0，m，nN*，且为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述三、忽视隐含条件致错例6 化简：(1x)(x1)2(x).错解(1x)(x1)2(x)(1x)(x1)1(x)(x).剖析题目中含有(x)，要注意考虑x0这个前提条件，即x0.正解由(x)可知x0，即x0，所以(1x)(x1)2(x)(1x)(1x)1(x)(x).点评在指数运算过程中，一定要注意题目中隐含的一些特殊条件，只有充分挖掘这些隐含的特殊条件，才能为正确解答打下坚实
7、的基础初学指数函数应当心一、指数函数概念出错例7 已知指数函数yax的底数a满足方程a2a60，求该指数函数错解由方程a2a60，解得a2或a3.所以该指数函数为y2x或y(3)x.剖析在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数a的限定，这个隐含条件对解题往往起到至关重要的作用正解由方程a2a60，解得a2或a3.由于指数函数yax的底数a满足a0且a1，故取a2.所以该指数函数为y2x.点评指数函数定义中的底数a满足a0且a1这个隐含条件，在解答过程中一定要加以注意二、指数函数值域出错例8 求函数y2的定义域和值域错解要使函数y2有意义，则x10，即x1.所以函数y2的定义域为x|x1因为x1
8、，即0，所以21.所以函数y2的值域为y|y1剖析在解题过程中忽视了指数函数的值域y|y0这个隐含条件，而只是根据题目条件得出y1是不全面的正解要使函数有意义，则x10，即x1.所以函数y2的定义域为x|x1因为x1，即0，所以21.又20，所以函数y2的值域为y|y0，且y1点评指数函数yaf(x)(a0，且a1)的值域只能是R的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨论三、指数函数图象出错例9 根据函数y|2x1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x1|m无解？有一解？有两解？错解由方程|2x1|m可得2x1m，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x1m0，即m1或m1时，方程|2x1
9、|m无解；当2x1m0，即1m1时，方程|2x1|m有一解；不存在实数m使方程|2x1|m有两解剖析不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答可以把这个问题加以转换，将求方程|2x1|m的解的个数转化为求两个函数y|2x1|与ym的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误正解函数y|2x1|的图象可由指数函数y2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x轴下方的部分关于x轴的对称图形，如图所示函数ym的图象是与x轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x1|m无解；当m0或m1时，两函数图象只有一
10、个公共点，此时方程|2x1|m有一解；当0m1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x1|m有两解点评由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析一、逆用公式例1 已知a，b，c，试比较a，b，c的大小解因为a，b，c，而121123cb.即.二、妙用公式变形引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如：ab(ab)(aabb)，ab(ab)(ab)等等，运用这些公式新变形，可快速巧妙求解问题例2 (12).解原式a.aaaaaa.三、整体代换在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解例3 已知a23a10，求aa的值分析若先求出a的值
