《第七章第7讲第2课时求空间角和距离.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第七章第7讲第2课时求空间角和距离.doc（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时求空间角和距离_异面直线所成的角_如图，已知两个正四棱锥PABCD与QABCD的高分别为1，2，AB4. (1)证明：PQ平面ABCD；(2)求异面直线AQ与PB所成角的余弦值解(1)证明：如图，连接OP，OQ，AC，BD，设ACBDO.PABCD与QABCD都是正四棱锥，PO平面ABCD，QO平面ABCD，从而P、O、Q三点在一条直线上PQ平面ABCD.(2)由题设知，四边形ABCD是正方形，ACBD.由(1)知，PQ平面ABCD，故可分别以CA，DB，QP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，由条件得P(0，0，1)，A(2，0，0)，Q(0，0，2)，B(0，2，0)
2、，(2，0，2)，(0，2，1)于是cos，.从而异面直线AQ与PB所成角的余弦值为.规律方法用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角的范围是，两向量的夹角的范围是0，所以要注意二者的区别与联系，应有cos |cos |.1. 如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，CACBCDBD2，ABAD. (1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值解：(1)证明：连接OC，由CACBCDBD2，ABAD，知CO，AO1.在AOC中，AC2AO2OC2，则AOOC.又AOBD，BDOCO，因此AO平面BCD.(2)如图建立空间直
3、角坐标系Oxyz.则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，0)，D(1，0，0)，(1，0，1)，(1，0)，|cos，|.即异面直线AB与CD所成角的余弦值为._直线与平面所成的角_(2014高考陕西卷)四面体ABCD及其三视图如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值解(1)证明：由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD1.由题设，BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，
4、FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又ADDC，ADBD，AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形(2)法一： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，(0，0，1)，(2，2，0)，(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，EFAD，FGBC，n0，n0，得取n(1，1，0)，sin |cos，n|.法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)E是AB的中点，F，G分别为BD，DC的中
5、点，得E，F(1，0，0)，G(0，1，0)，(1，1，0)，(2，0，1)设平面EFGH的法向量n(x，y，z)，则n0，n0，得取n(1，1，0)，sin |cos，n|.规律方法利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角2. 在如图所示的几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且ACBCBD2AE，M是AB的中点 (1)求证：CMEM；(2)求CM与平面CDE所成的角解：(1)证明：如图，以点C为坐标
6、原点，以CA，CB分别为x轴、y轴，过点C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系设EAa，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，E(2a，0，a)，D(0，2a，2a)，M(a，a，0)(a，a，a)，(a，a，0)，0，故CMEM.(2)设向量n(1，y0，z0)与平面CDE垂直，则n，n.(2a，0，a)，(0，2a，2a)，可解得y02，z02，即n(1，2，2)cosn，.直线CM与平面CDE所成的角是n与夹角的余角，45._二面角(高频考点)_二面角是高考的重点，是考查热点，题型多以解答题形式出现，一般为中档题，高考对二面角的考查，主要有以下两个命题角度：(1)求二面角；(
7、2)由二面角求其它量(2014高考课标全国卷) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C. (1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值解(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO.因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1CBC1，且O为B1C及BC1的中点又ABB1C，ABBOB，所以B1C平面ABO.由于AO平面ABO，故B1CAO.又B1OCO，故ACAB1.(2)因为ACAB1，且O为B1C的中点，所以AOCO.又因为ABBC，所以BOABOC，故OAOB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直以O为坐标原
8、点，、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为CBB160，所以CBB1为等边三角形又ABBC，OCOA，则A，B(1，0，0)，B1，C，.设n(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n(1，)设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m(1，)则cosn，m.所以二面角AA1B1C1的余弦值为.在本例条件下，若ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱ABCA1B1C1的高解：作ODBC，垂足为D，连接AD.作OHAD，垂足为H.由于BCAO，BCOD，故BC平面AOD，所以OHBC.又OHAD，所以OH平面ABC.因为CBB16
9、0，所以CBB1为等边三角形又BC1，可得OD.由于ACAB1，所以OAB1C.由OHADODOA，且AD，得OH.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为，故三棱柱ABCA1B1C1的高为.规律方法求二面角大小的常用方法：(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小3.(1)(2015洛阳市统考)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB，AD1，M是线段AD的中点试在平面ABCD内过M点作
10、出与平面A1B1CD平行的直线l，说明理由，并证明：l平面AA1D1D；若中的直线l交直线AC于点N，且二面角AA1NM的余弦值为，求AA1的长(2)(2015沈阳教学质量监测) 如图，BC为圆O的直径，D为圆周上异于B、C的一点，AB垂直于圆O所在的平面，BEAC于点E，BFAD于点F.求 证：BF平面ACD；若ABBC2，CBD45，求平面BEF与平面BCD所成锐二面角的余弦值解：(1)在平面ABCD内过M点作直线lDC，l平面A1B1CD，DC平面A1B1CD，l平面A1B1CD.在长方体ABCDA1B1C1D1中，DCAD，DCDD1，则lAD，lDD1.又ADDD1D，l平面AA1D
11、1D.由知，lDC且M是线段AD的中点N是线段AC的中点设AA1h，以A1为坐标原点，分别以A1B1，A1D1，A1A所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A1xyz.则A1(0，0，0)，A(0，0，h)，N(，h)，M(0，h)(0，0，h)，(，h)，(0，h)，(，0，0)设平面A1AN的法向量n1(x1，y1，z1)，则，取x11，n1(1，0)设平面A1MN的法向量n2(x2，y2，z2)，则，取z21，n2(0，2h，1)二面角AA1NM的余弦值为，cosn1，n2，即.，解得h1，即AA11.(2)证明：BC为圆O的直径，CDBD，AB圆O所在的平面，ABCD，又ABB
12、DB，CD平面ABD，BF平面ABD，CDBF，又BFAD，且ADCDD，BF平面ACD.法一：(向量法)由知，BF平面ACD，AC平面ACD，BFAC，又BEAC，且BEBFB，AC平面BEF，即是平面BEF的一个法向量又由已知AB垂直于圆O所在的平面，得是平面BCD的一个法向量，平面BEF与平面BCD所成的锐二面角与向量与所成的角相等，故所求锐二面角的余弦值为cosCAB.法二：(建系向量法)如图，以O为原点建立空间直角坐标系则B(0，1，0)，E(0，0，1)，D(1，0，0)，A(0，1，2)，BFAD，DFAD，得，F(，)，(，)，(0，1，1)，设平面BEF的法向量为n1(x，y
13、，z)，则，即，解得，不妨取平面BEF的一个法向量n1(0，1，1)而又由已知AB垂直于圆O所在的平面得是平面BDC的一个法向量，即n2(0，0，2)，设平面BEF与平面BCD所成的锐二面角为，即cos |cosn1，n2|.考题溯源有关二面角问题(2014高考课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点 (1)证明：PB平面AEC；(2)设二面角DAEC为60，AP1，AD，求三棱锥EACD的体积解(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，0)，E，.设B(m，0，0)(
