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1、博士教育 李老师 QQ2213918490 等腰三角形复习知识总结归纳：（）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上
2、的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。（二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本
3、节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。注意：1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在ABC中，因为AB=AC，所以B=C2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，
4、底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。（4）：等腰三角形的判定作用：证明同一个三角形中的边相等。（5）证明一个三角形是等腰三角形（等边三角形）的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求BAC的度数。 解：AP=PQ=AQ（已知）APQ是等边三角形（等边三角形的定义）APQ=AQ
5、P=PAQ=60（等边三角形的性质）AP=BP（已知）PBA=PAB（等边对等角）又APQ=PAB+PBA=60PBA=PAB=30同理QAC=30BAC=PAB+PAQ+QAC=30+60+30=120解答此类题的步骤如下： （1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。 （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解。 例2. 已知：如图，在ABC中，B=C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，DEF=B。求证：DEF是等腰三角形。 证明：B+BDE+BED=180（三角形内角和定理）BED+DEF+FEC=180（平角性质）B=DEF（已知）BDE
6、=FEC（等角的补角相等）在BED和CFE中BDE=FEC中 （已证）BD=CE （已知）B=C （已知）BEDCFE （ASA） DE=EF （全等三角形对应边相等）DEF是等腰三角形 （等腰三角形定义）例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，ABCD，OA=OB，求证：OC=OD 证明：ABCD （已知）A=C，B=D （两直线平行，内错角相等）OA=OB （已知）A=B （等边对等角）C=D （等量代换）OC=OD （等角对等边） 例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，1=2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。证法一：证明：作DEAB于EDA=DBDEA
7、BAE=BE=AB=2ACAE=AC在AED和ACD中AEDACDC=AED=90DC与AC的位置关系为：DCAC证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DFAB=2AC，AF=2ACAB=AF在ABD和AFD中ABDAFDDF=DBDA=DBDA=DF又AC=CFDCAF说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的。例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等 解：已知：如图所示，在ABC中，AB=AC，BD，CE是ABC的中线求证：BD=CE证明：BD，CE是ABC的中线AE=AB，AD=ACAB=
8、ACAE=AD在ABD和ACE中ABDACE（SAS）BD=CE（全等三角形的对应边相等） 说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明。例6. 如图，点C为线段AB上的一点，ACM，BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。（1）求证AN=BM（2）求证CEF为等边三角形证明：（1）ACM，CBN是等边三角形AC=MC，CN=CB，ACM=NCB=60ACN=BCM=120在ACN和MCB中ACNMCB（SAS）AN=BM（2）由（1）中ACNMCBANC=MBC在CEN和CFB中CENCFB
9、（ASA）CECF又ECF60CEF为等边三角形例7. 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30，请你求出其余两角。”同学们经片刻的思考与交流后，李明举手讲：“其余两角30和120，”卫华同学说：“其余两角是75和75”还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）解略练习:1、在ABC中，AB=AC。(1)若A=50，则B= ，C= ；(2)若B=45，则A= ，C= ；(3)若C=60，
10、则A= ，B= ；(4)若A=B，则A= ，C= 。2、等腰三角形的一个角是30，则它的底角是 。3、等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则其他两边的长分别是 。4、等腰三角形中的一个角等于100，则另两个角的度数分别为 ( )A.40、40 B.100、20 C.50、50 D.40、40或20、1005、等腰三角形中的一个角是50，则另两个角的度数分别是 ( )A.65、65 B.50、80 C.65、65或50、80 D.50、506、等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是 ( )A.26cm B.22cm C.16cm D.22cm或26cm7、已知：如图
11、，ADBC，点E在AB的延长线上，且CE=CB。求证：A=E。8、已知：如图，ABC中，AB=AC，AD是外角CAE的平分线。求证：ADBC。9、已知：如图，AB=AC，DB=DC，AD交BC于O。求证：ADBC，OB=OC。10、已知：如图，在ABC中，ACB=90，CD是AB上的高，AE分别交CB、CD于E、F，且CE=CF。求证：AE平分BAC。12、11.如图，点D在AC上，AB=BD=DC，C=40，则ABD度数。12、如图，AD是等边ABC的中线，AE=AD，则EDC度数。13、已知：如图，在ABC中，AB=AC，点M、N在BC上，且BM=CN。求证：AM=AN。14、已知：如图，
12、在ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点O，且BO=CO。求证：BE=CD。15、已知：如图，ABC是等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD=BE=CF。求证：DEF是等边三角形。 17、已知：如图，在ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB。求：A的度数。 18. 如图，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。（2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程。19. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CECD，DMBC，垂足为求证：M是BE的中点。 20. 已知：如图，中，于D。求证：。 21. 中，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证：。 22. 已知在ABC中，DBC =DCB，BAD =CAD，说明AB=AC. 23.如图，ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DFAC于F交BC于E，求证：DBE是等腰三角形
