博士教育 李老师 2213918490 等腰三角形复习知识总结归纳：（－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定注意：1：等腰三角形的性质定理1 （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直 说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。
（4）：等腰三角形的判定作用：证明同一个三角形中的边相等 （5）证明一个三角形是等腰三角形（等边三角形）的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理 【典型例题分析】基础知识应用题：例1. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数 解：∵AP=PQ=AQ（已知）∴△APQ是等边三角形（等边三角形的定义）∴∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°（等边三角形的性质）∵AP=BP（已知）∴∠PBA=∠PAB（等边对等角）又∠APQ=∠PAB+∠PBA=60°∴∠PBA=∠PAB=30°同理∠QAC=30°∴∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°解答此类题的步骤如下： （1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数 （2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解 例2. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B求证：△DEF是等腰三角形 证明：∵∠B+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）∠BED+∠DEF+∠FEC=180°（平角性质）∠B=∠DEF（已知）∴∠BDE=∠FEC（等角的补角相等）在△BED和△CFE中∠BDE=∠FEC中 （已证）BD=CE （已知）∠B=∠C （已知）∴△BED≌△CFE （ASA） ∴DE=EF （全等三角形对应边相等）∴△DEF是等腰三角形 （等腰三角形定义） 例3. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB∥CD，OA=OB，求证：OC=OD 证明：∵AB∥CD （已知）∴∠A=∠C，∠B=∠D （两直线平行，内错角相等）∵OA=OB （已知）∴∠A=∠B （等边对等角）∴∠C=∠D （等量代换）∴OC=OD （等角对等边） 例4. 如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，试判断DC与AC的位置关系，并证明你的结论。
证法一：证明：作DE⊥AB于E∵DA=DBDE⊥AB∴AE=BE=∵AB=2AC∴AE=AC在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD∴∠C=∠AED=90°∴DC与AC的位置关系为：DC⊥AC证法二：证明：延长AC到F，使CF=AC，连结DF∵AB=2AC，AF=2AC∴AB=AF在△ABD和△AFD中∴△ABD≌△AFD∴DF=DB∵DA=DB∴DA=DF又∵AC=CF∴DC⊥AF说明：法一是利用了“截长法”即在长线段AB上截取AE=AB法二是利用了“补短法”即在短线段AC上补足AF=AB，从而达到解决问题的目的 例5. 求证：等腰三角形两腰上的中线相等 解：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线求证：BD=CE证明：∵BD，CE是△ABC的中线∴AE=AB，AD=AC∵AB=AC∴AE=AD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD=CE（全等三角形的对应边相等） 说明：这是一个证明文字叙述的几何命题的题目，做这类题时首先要分清题设，结论，画出草图，结合图形写出：已知、求证、然后再证明 例6. 如图，点C为线段AB上的一点，△ACM，△BCN是等边三角形，AN，MC相交于点E，CN与BM相交于点F。
1）求证AN=BM（2）求证△CEF为等边三角形证明：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠NCB=60°∴∠ACN=∠BCM=120°在△ACN和△MCB中∴△ACN≌MCB（SAS）∴AN=BM（2）由（1）中△ACN≌△MCB∴∠ANC=∠MBC在△CEN和△CFB中∴△CEN≌△CFB（ASA）∴CE＝CF又∵∠ECF＝60°∴△CEF为等边三角形 例7. 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，苏老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知，等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角同学们经片刻的思考与交流后，李明举手讲：“其余两角30°和120°，”卫华同学说：“其余两角是75°和75°”还有一些同学也提出了不同的看法……（1）假如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话表示）解略 练习:1、在△ABC中，AB=AC1)若∠A=50°，则∠B= °，∠C= °；(2)若∠B=45°，则∠A= °，∠C= °；(3)若∠C=60°，则∠A= °，∠B= °；(4)若∠A=B，则∠A= °，∠C= °。
2、等腰三角形的一个角是30°，则它的底角是 3、等腰三角形的周长是24cm，一边长是6cm，则其他两边的长分别是 4、等腰三角形中的一个角等于100°，则另两个角的度数分别为 ( )A.40°、40° B.100°、20° C.50°、50° D.40°、40°或20°、100°5、等腰三角形中的一个角是50°，则另两个角的度数分别是 ( )A.65°、65° B.50°、80° C.65°、65°或50°、80° D.50°、50°6、等腰三角形的一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是 ( )A.26cm B.22cm C.16cm D.22cm或26cm7、已知：如图，AD∥BC，点E在AB的延长线上，且CE=CB求证：∠A=∠E8、已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是外角∠CAE的平分线求证：AD∥BC9、已知：如图，AB=AC，DB=DC，AD交BC于O。
求证：AD⊥BC，OB=OC10、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的高，AE分别交CB、CD于E、F，且CE=CF求证：AE平分∠BAC12、11.如图，点D在AC上，AB=BD=DC，∠C=40°，则∠ABD度数12、如图，AD是等边△ABC的中线，AE=AD，则∠EDC度数13、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点M、N在BC上，且BM=CN求证：AM=AN14、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，BE、CD相交于点O，且BO=CO求证：BE=CD15、已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且AD=BE=CF求证：△DEF是等边三角形 17、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB求：∠A的度数 18. 如图，已知△ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且△DEF是等边三角形（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想是正确的。
2）你所证明相等的线段可以通过怎么样的变化相互得到？写出变化过程19. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为求证：M是BE的中点 20. 已知：如图，中，于D 21. 中，，AB的中垂线交AB于D，交CA延长线于E，求证： 22. 已知在△ABC中，∠DBC =∠DCB，∠BAD =∠CAD，说明AB=AC. 23.如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，求证：△DBE是等腰三角形．。